2階微分の対称性

数学において、2階導関数の対称性（混合偏導関数の等式とも呼ばれる）とは、多変数関数の偏導関数の順序を入れ替えても、$${\displaystyle f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}$$いくつかの連続条件が満たされる 場合（下記参照）、結果は変わりません。つまり、2階偏導関数は次の恒等式を満たします。$$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}$$ 言い換えれば、2階偏導関数の行列、すなわちヘッセ行列は対称行列である。

対称性が成り立つための十分条件は、シュワルツの定理（クレローの定理またはヤングの定理とも呼ばれる）によって与えられる。^{[ 1 ] [ 2 ]}

偏微分方程式の文脈では、これはシュワルツ積分可能性条件と呼ばれます。

記号で表すと、対称性は次のように表現できます。

$$\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{または}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$$

別の表記法としては、次のものがあります。

$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{または}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$$

x _iに関する偏微分をとる微分演算子D _iの構成に関して言えば、次のようになる。

$${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}.}$$

この関係から、D _iによって生成される定数係数微分作用素の環は可換であることが導かれる。ただし、これは十分に微分可能な関数の領域上の作用素としてのみ成り立つ。単項式に適用した場合の対称性を確認するのは容易であり、 x _iの多項式を領域として取ることができる。実際、滑らかな関数も有効な領域である。

全導関数の観点から見ると、2回微分可能な関数の2階導関数は${\displaystyle f\colon X\to Y}$ある時点で${\displaystyle p\in X}$線形マップ $${\displaystyle D^{2}f_{p}\colon X\to {\mathcal {L}}(X,Y)}$$ どこ$\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$は、線形写像のノルムベクトル空間である。${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$。カリー化を解除すると、双線形式と同一視される可能性がある。${\displaystyle X\times X}$に${\displaystyle Y}$2 階微分の対称性から、これは対称である、つまり、${\displaystyle D^{2}f_{p}(u)(v)=D^{2}f_{p}(v)(u)}$すべての人々のために${\displaystyle u,v\in X}$設定${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$標準基底ベクトルとなる${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$そして${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$偏微分バージョンを復元します。より一般的には、${\displaystyle f}$は${\displaystyle r}$ある点における導関数を、- 回微分可能である。${\displaystyle p}$対称的である${\displaystyle r}$線形形式${\displaystyle D^{r}f_{p}\colon X^{\otimes r}\to Y}$。

ある条件下での混合偏微分の等価性に関する結果には長い歴史がある。提案された証明の失敗のリストは、1740年に発表されたオイラーの証明から始まった^{[ 3 ]}が、すでに1721年にはベルヌーイが正式な正当化なしに暗黙のうちにこの結果を仮定していた^{[ 4 ]} 。クレローも1740年に提案された証明を発表したが、18世紀末まで他の試みはなかった。それ以降、70年間にわたって、多くの不完全な証明が提案された。ラグランジュの証明(1797)はコーシー(1823)によって改良されたが、偏微分の存在と連続性を仮定していた。${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$そして${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$[ ^{5 ]他の試みは、} P. ブランシェ (1841)、デュアメル(1856)、シュトゥルム(1857)、シュレーミルヒ(1862)、ベルトラン(1864) によって行われた。最終的に 1867 年にリンデレーフは、それまでのすべての欠陥のある証明を体系的に分析し、混合導関数が等しくならない具体的な反例を示すことができた。^{[ 6 ] [ 7 ]}

その6年後、シュワルツは最初の厳密な証明を与えることに成功した。^{[ 8 ]}ディニは後にシュワルツの条件よりも一般的な条件を見つけることで貢献した。最終的に、 1883年にジョーダンによってより簡潔で一般的なバージョンが発見され、それは現在でもほとんどの教科書に載っている証明である。初期の証明のマイナーな変種は、ローラン（1885）、ペアノ（1889年と1893）、J.エドワーズ（1892）、P.ハーグ（1893）、JKウィッテモア（1898）、ヴィヴァンティ（1899） 、ピアポント（1905）によって発表された。1907年から1909年にかけて、 EWホブソンとWHヤングがシュワルツとディニの条件よりも弱い条件の証明を見つけたことで、さらなる進歩があった。 1918年、カラテオドリはルベーグ積分に基づく別の証明を与えた。^{[ 7 ]}

数学解析において、アレクシス・クレローとヘルマン・シュワルツにちなんで名付けられたシュワルツの定理（または混合部分関数の等式に関するクレローの定理）^{[ 9 ]は}、関数に対して次のことを述べている。${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$集合上で定義される$\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$、 もし$\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$は、の近傍がとなるような点である。${\displaystyle \mathbf {p} }$に含まれる${\displaystyle \Omega }$そして${\displaystyle f}$その近傍で連続な2階偏導関数を持つ${\displaystyle \mathbf {p} }$すると、すべてのiとjについて${\displaystyle \{1,2\ldots ,\,n\},}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$$

その点において、この関数の偏導関数は可換である。

この定理には次のようなバージョンが存在する。${\displaystyle f}$点において2回微分可能であることのみが必要である${\displaystyle \mathbf {p} }$。

この定理を証明する簡単な方法の一つは、${\displaystyle n=2}$、${\displaystyle i=1}$、 そして${\displaystyle j=2}$（一般に、グリーン定理を勾配に適用することで、容易に結果が得られる）${\displaystyle f.}$

平面の開集合上の関数に関する初等的な証明は次のとおりである（簡単な簡約により、シュワルツの定理の一般の場合が容易に平面の場合に帰着する）。^{[ 10 ]}${\displaystyle f(x,y)}$開いた長方形上で微分可能な関数である${\displaystyle \Omega }$ポイントを含む${\displaystyle (a,b)}$そして、${\displaystyle df}$連続的で連続的${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$そして${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$以上${\displaystyle \Omega .}$定義する

$${\displaystyle {\begin{aligned}u{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a{+}h,\,b\right),\\v{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a,\,b{+}k\right),\\w{\left(h,\,k\right)}&=f\left(a{+}h,\,b{+}k\right)-f\left(a{+}h,\,b\right)-f\left(a,\,b{+}k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$$

これらの関数は、${\displaystyle \left|h\right|,\left|k\right|<\varepsilon }$、 どこ${\displaystyle \varepsilon >0}$そして${\displaystyle \left[a{-}\varepsilon ,\,a{+}\varepsilon \right]\times \left[b{-}\varepsilon ,\,b{+}\varepsilon \right]}$に含まれる${\displaystyle \Omega .}$

平均値の定理によれば、固定されたhとkがゼロでない場合、${\displaystyle \theta }$、${\displaystyle \theta '}$、${\displaystyle \phi }$、${\displaystyle \phi '}$開区間で見つけることができます${\displaystyle (0,1)}$と

$${\displaystyle {\begin{aligned}w{\left(h,\,k\right)}&=u{\left(h,\,k\right)}-u{\left(0,\,k\right)}=h\,\partial _{x}u{\left(\theta h,\,k\right)}\\[0.5ex]&=h\left[\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}k\right)}-\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b\right)}\right]\\[0.5ex]&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}\\[1ex]w{\left(h,\,k\right)}&=v{\left(h,\,k\right)}-v{\left(h,\,0\right)}=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\[0.5ex]&=k\left[\partial _{y}f{\left(a{+}h,\,b{+}\phi k\right)}-\partial _{y}f{\left(a,\,b{+}\phi k\right)}\right]\\[0.5ex]&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)}.\end{aligned}}}$$

以来${\displaystyle h,\,k\neq 0}$以下の最初の等式は、${\displaystyle hk}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)},\\\partial _{y}\partial _{x}f{\left(a{+}\theta h,\,b{+}\theta ^{\prime }k\right)}&=\partial _{x}\partial _{y}f{\left(a{+}\phi ^{\prime }h,\,b{+}\phi k\right)}.\end{aligned}}}$$

賃貸${\displaystyle h,\,k}$最後の等式ではゼロに近づく傾向があり、連続性の仮定は${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$そして${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$今度はそれを暗示する

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$$

この説明は、例えばバーキル、アポストル、ルーディンなどの多くの教科書に見られる、単純な古典的な方法です。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

上記の導出は初歩的なものですが、このアプローチはより概念的な観点からも見ることができ、その結果がより明確になります。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}実際、差分演算子は${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$通勤と${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$傾向${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$として${\displaystyle t}$0 に近づく傾向があり、2 階演算子についても同様の記述があります。^{[ a ]}ここで、${\displaystyle z}$平面内のベクトルと${\displaystyle u}$方向ベクトル${\displaystyle {\tbinom {1}{0}}}$または${\displaystyle {\tbinom {0}{1}}}$差分演算子は次のように定義される。

$${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$$

微積分学の基本定理により${\displaystyle C^{1}}$関数${\displaystyle f}$オープンインターバル中${\displaystyle I}$と${\displaystyle (a,b)\subset I}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$$

したがって

$${\displaystyle \left|f(b)-f(a)\right|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\left|f^{\prime }(c)\right|.}$$

これは平均値の定理の一般化されたバージョンです。実数値関数の最大値または最小値に関する基本的な議論から、次のことが導かれることを思い出してください。${\displaystyle f}$連続している${\displaystyle [a,b]}$微分可能${\displaystyle (a,b)}$そうすれば、${\displaystyle c}$で${\displaystyle (a,b)}$そのため

$${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(c).}$$

ベクトル値関数の場合${\displaystyle V}$有限次元ノルム空間では、上記の等式に相当するものは存在せず、実際には成り立たない。しかし、${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$上記の不等式は有用な代替手段である。さらに、の双対のペアリングを使用すると${\displaystyle V}$双対ノルムを用いると、次の不等式が得られる。

$${\displaystyle \left\|f(b)-f(a)\right\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\left\|f^{\prime }(c)\right\|.}$$

平均値定理のこれらのバージョンは、Rudin、Hörmander、およびその他の文献で議論されている。^{[ 19 ] [ 20 ]}

のために${\displaystyle f}$1${\displaystyle C^{2}}$平面上の開集合上の関数を定義する${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$そして${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$さらに、${\displaystyle t\neq 0}$セット

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}^{t}f(x,y)&={\frac {f(x{+}t,\,y)-f(x,y)}{t}},\\\Delta _{2}^{t}f(x,y)&={\frac {f(x,\,y{+}t)-f(x,y)}{t}}.\end{aligned}}}$$

それから${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$開集合においては、一般化平均値の定理を2回適用することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|&\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},\,y_{0}{+}ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\\[1ex]&\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}{+}tr,\,y_{0}{+}ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.\end{aligned}}}$$

したがって${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$傾向${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$として${\displaystyle t}$0 に近づく。同じ議論により、${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$傾向${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$したがって、差分演算子は可換であるため、偏微分演算子も可換である。${\displaystyle D_{1}}$そして${\displaystyle D_{2}}$主張どおり。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

注記。古典的な平均値の定理を2回適用すると、

$${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f{\left(x_{0}{+}t\theta ,\,y_{0}{+}t\theta ^{\prime }\right)}}$$

一部の人にとって${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle \theta ^{\prime }}$で${\displaystyle (0,1)}$したがって、最初の基本的な証明は差分演算子を用いて再解釈することができる。逆に、2番目の証明では一般化された平均値の定理の代わりに、古典的な平均値の定理を用いることもできる。

連続関数Fのコンパクト長方形[ a , b ] × [ c , d ]上の繰り返しリーマン積分の性質は容易に確立できる。^{[ 26 ]} Fの一様連続性は、関数が${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$そして${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$連続である。^{[ 27 ]}したがって、

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy;}$$

さらに、 Fが正であれば、反復積分が正になることは明らかです。^{[ 28 ]}上記の等式は、測度論を伴わないフビニの定理の単純なケースです。ティッチマーシュ (1939)は、長方形をより小さな長方形に分割することに対応するリーマン近似和を使用して、これを直接的に証明しています。

クレローの定理を証明するために、fは開集合U上で微分可能な関数であり、混合二階偏導関数f _yxとf _xyが存在し、連続であると仮定します。微積分学の基本定理を2 回使用して、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy&=\int _{c}^{d}\left(f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\right)\,dy\\[1ex]&=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).\end{aligned}}}$$

同様に

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx&=\int _{a}^{b}\left(f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\right)\,dx\\[1ex]&=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).\end{aligned}}}$$

したがって、2 つの反復積分は等しくなります。一方、f _xy ( x , y )は連続であるため、2 番目の反復積分は、最初にxについて積分し、次にyについて積分することで実行できます。しかし、その場合、 [ a , b ] × [ c , d ]上のf _yx − f _xyの反復積分はゼロにならなければなりません。しかし、連続関数Fの反復積分がすべての矩形でゼロになる場合、F は恒等的にゼロでなければなりません。そうでなければ、 Fまたは− F はある点で厳密に正になり、したがって矩形上での連続性により、それは不可能です。したがって、f _yx − f _{xy は}恒等的にゼロにならなければならず、すべての場所でf _yx = f _xyとなります。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

対称性を保証するのに十分な、2 階偏導関数の連続性 (後者によって暗示される) よりも弱い条件は、すべての偏導関数がそれ自体微分可能であることである。^{[ 34 ]}置換混合偏導関数の存在を主張する定理のもう 1 つの強化は、ペアノがMathesisに関する 1890 年の短いノートで提供した。

もし${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$は開集合上で定義される${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$;${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$そして${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$あらゆる場所に存在する${\displaystyle E}$;${\displaystyle \partial _{2,1}f}$連続${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$、そしてもし${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$近隣に存在する${\displaystyle x=x_{0}}$、それから${\displaystyle \partial _{1,2}f}$存在する${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$そして${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$[ ^{35 ]​}

分布（一般化関数）の理論は、対称性に関する解析上の問題を解消します。積分可能な関数の導関数は常に分布として定義でき、混合偏導関数の対称性は常に分布の等式として成り立ちます。分布の微分を定義するために形式的な部分積分を使用すると、対称性の問題はテスト関数に戻ります。テスト関数は滑らかで、確かにこの対称性を満たします。より詳細には（ここで、fは分布であり、テスト関数の演算子として記述され、φはテスト関数です）、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]&=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]\\&=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]\\&=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].\end{aligned}}}$$

関数のフーリエ変換を定義する別のアプローチは、そのような変換では偏微分が乗算演算子となり、それがはるかに明白に可換になることに注目することです。 ^{[ a ]}

連続性の要件は必須ではありません。ある点における第 2 項の可換性については、関数が多変数微積分の意味でその点で2 回微分可能であることのみが必要です。 ^{[ 36 ]}つまり、関数の第 1 項がその点で微分可能でなければなりません。ただし、これは第 2 項の存在だけとは異なります。第 2 項の連続性は、この意味での 2 回微分可能性を保証するための一般的な十分条件ですが、必要条件ではありません。

非対称の例としては、( Peanoによる)関数^{[ 37 ] [ 38 ]が挙げられる。}

これは極座標形式で視覚化できる。${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$; 関数は至るところで連続ですが、(0, 0)における導関数は代数的に計算できません。むしろ、差分商の極限は、${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$グラフは${\displaystyle z=f(x,y)}$(0, 0)に水平接平面を持ち、偏導関数は${\displaystyle f_{x},f_{y}}$は存在し、至るところで連続である。しかし、2階偏導関数は(0, 0)で連続ではなく、対称性が破れる。実際、x軸に沿ってy導関数は${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$、 など： $${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$$

対照的に、y軸に沿ってx微分は${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$、 など${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$つまり、${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$(0, 0)では混合偏微分が存在するが、他のすべての点では対称性が成り立つ。

上記の関数は、極座標で表すと、次のように表現できます。 $${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$$

これは、関数が原点を含む任意の小さなループを一周する際に4回振動することを示している。したがって、直感的には、(0, 0)における関数の局所的な挙動は二次形式で記述することはできず、ヘッセ行列は対称行列にならない。

一般に、極限操作の交換は可換ではない。(0, 0)付近の 2 つの変数と、上の 2 つの極限プロセス が与えられた場合$${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$$

これは、まずh → 0にすることと、まずk → 0 にすることに対応します。1 次項を見ると、どちらを先に適用するかが重要になる場合があります。これにより、2 階微分が非対称となる病的な例が構築されます。この種の例は、関数の点ごとの値が重要な実解析の理論に属します。分布として見た場合、2 階偏微分の値は、ルベーグ測度が0である限り、任意の点の集合で変更できます。この例では、ヘッセ行列は(0, 0)を除いてどこでも対称であるため、シュワルツ分布として見た場合のヘッセ行列が対称であるという事実と矛盾はありません。

1階微分演算子D _{i を}ユークリッド空間上の無限小演算子とみなします。つまり、D _{i は}ある意味でx _i軸に平行な1パラメータ群を生成します。これらの群は互いに可換であり、したがって無限小生成子も可換です。リー括弧

これは、この性質の鏡像です。言い換えれば、ある座標を別の座標で微分すると、その座標はゼロになります。

クレロー・シュワルツの定理は、すべての${\displaystyle C^{\infty }}$（または少なくとも2回微分可能な）微分形式${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$2次外微分はゼロになる。${\displaystyle d^{2}\omega$ :=d(d\omega )=0} 。これは、微分可能な完全形式 (つまり、形式)がすべて${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle \alpha =d\omega }$何らかの形で${\displaystyle \omega }$) は閉じられています(つまり、${\displaystyle d\alpha =0}$）、 以来${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$[ ^{39 ]​}

18世紀半ば、微分形式の理論は、平面上の1形式の最も単純な場合、すなわち${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$、 どこ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は平面上の関数である。1形式と関数の微分に関する研究は、1739年と1740年のクレローの論文から始まった。当時、彼の研究は常微分方程式を解く方法として解釈されていた。形式的には、クレローは1形式が${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$開いた長方形は閉じている、つまり${\displaystyle d\omega =0}$、かつその場合に限る${\displaystyle \omega }$形式は${\displaystyle df}$ある関数に対して${\displaystyle f}$ディスク内。${\displaystyle f}$コーシーの積分公式で表すことができる

$${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$$

もし${\displaystyle \omega =df}$閉鎖された物件${\displaystyle d\omega =0}$アイデンティティ${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$（現代の言葉で言えば、これはポアンカレの補題の1つのバージョンである。）^{[ 40 ]}

• 「偏微分」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]