フィルタ（信号処理）

信号処理において、フィルタは信号から不要な成分や特徴を取り除く装置またはプロセスです。フィルタリングは信号処理の一種で、フィルタの定義機能は信号の何らかの側面を完全にまたは部分的に抑制することです。ほとんどの場合、これは一部の周波数または周波数帯域を取り除くことを意味します。ただし、フィルタは周波数領域でのみ機能するわけではありません。特に画像処理の分野では、フィルタリングの対象が他にも多数存在します。周波数領域で動作しなくても、特定の周波数成分の相関を取り除き、他の周波数成分の相関は取り除かないようにすることができます。フィルタは、電子機器や電気通信、ラジオ、テレビ、オーディオ録音、レーダー、制御システム、音楽合成、画像処理、コンピュータグラフィックス、構造力学で広く使用されています。

フィルターを分類する基準は多種多様で、さまざまな方法で重複しています。単純な階層的分類はありません。フィルターには次のようなものがあります。

• 非線形または線形
• 時間変化または時間不変、シフト不変性とも呼ばれます。フィルタが空間領域で動作する場合、特性は空間不変性です。
• 因果的か非因果的か: 現在の出力が将来の入力に依存する場合、フィルターは非因果的です。時間領域信号をリアルタイムで処理するフィルターは因果的である必要がありますが、空間領域信号に作用するフィルターや時間領域信号の遅延時間処理は因果的ではありません。
• アナログかデジタルか
• 離散時間（サンプリング）または連続時間
• パッシブ型またはアクティブ型の連続時間フィルタ
• 無限インパルス応答(IIR) または有限インパルス応答(FIR) タイプの離散時間フィルタまたはデジタル フィルタ。

線形連続時間回路は、信号処理の世界でフィルタの最も一般的な意味であり、単に「フィルタ」はしばしば同義語として扱われます。これらの回路は、通常、特定の周波数を除去し、他の周波数を通過させるように設計されています。この機能を実行する回路は、通常、応答が線形、または少なくともほぼ線形です。非線形性があると、出力信号に入力信号に存在しない周波数成分が含まれる可能性があります。

線形連続時間フィルタの最新の設計手法は、ネットワーク合成と呼ばれます。この方法で設計された重要なフィルタ ファミリには次のものがあります。

• チェビシェフ フィルターは、指定された次数とリップルに対するあらゆるフィルターの理想的な応答に最もよく近似します。
• バターワース フィルターは、最大限に平坦な周波数応答を持ちます。
• ベッセル フィルタは、最大限に平坦な位相遅延を持ちます。
• 楕円フィルターは、指定された次数とリップルに対して、あらゆるフィルターの中で最も急峻なカットオフを持ちます。

これらのフィルタ ファミリ間の違いは、理想的なフィルタ応答に近似するために、それぞれ異なる多項式関数を使用していることです。この結果、それぞれが異なる伝達関数を持ちます。

もう 1 つの古くてあまり使用されていない手法は、画像パラメータ法です。この手法で設計されたフィルタは、昔から「波形フィルタ」と呼ばれています。この手法で設計された重要なフィルタには、次のものがあります。

• 定数 k フィルター。波形フィルターの元来の最も単純な形式です。
• m 導出フィルタは、カットオフの急峻さとインピーダンス整合を改善した定数 k の修正版です。

線形フィルタを説明および分類するために使用されるいくつかの用語:

• 周波数応答は、フィルタがどの周波数帯域を通過させるか（通過帯域）とどの周波数帯域を拒否するか（阻止帯域）を表す、いくつかの異なるバンド形式に分類できます。
  • ローパス フィルター - 低周波数は通過し、高周波数は減衰されます。
  • ハイパス フィルター - 高い周波数は通過し、低い周波数は減衰されます。
  • バンドパス フィルター - 周波数帯域内の周波数のみが通過します。
  • バンドストップ フィルターまたはバンドリジェクト フィルター - 周波数帯域内の周波数のみが減衰されます。
  • ノッチ フィルター - 特定の周波数だけを拒否する、極端なバンドストップ フィルターです。
  • コム フィルター - 複数の一定間隔の狭い通過帯域があり、バンド フォームがコムのように見えます。
  • オールパス フィルター - すべての周波数が通過しますが、出力の位相は変更されます。
• カットオフ周波数は、フィルターが信号を通過させない周波数です。通常は、3 dB などの特定の減衰で測定されます。
• ロールオフとは、カットオフ周波数を超えて減衰が増加する率です。
• 遷移帯域、通過帯域と阻止帯域の間の（通常は狭い）周波数帯域。
• リップルは、通過帯域におけるフィルタの挿入損失の変動です。
• フィルターの次数は近似多項式の次数であり、パッシブ フィルターの場合はフィルターの構築に必要な要素の数に対応します。次数を増やすとロールオフが増加し、フィルターが理想的な応答に近づきます。

フィルタの重要な用途の 1 つは、電気通信です。多くの電気通信システムでは、周波数分割多重化が使用されています。この方式では、システム設計者が広い周波数帯域を「スロット」または「チャネル」と呼ばれる多数の狭い周波数帯域に分割し、各情報ストリームにそれらのチャネルの 1 つを割り当てます。各送信機と各受信機のフィルタを設計する人は、適切なコストで、他の協調送信機との干渉やシステム外部のノイズ源をできるだけ低く抑えながら、必要な信号をできるだけ正確に通過させるバランスを取ろうとします。

マルチレベルおよびマルチフェーズの デジタル変調システムでは、時間領域でのパルスの整合性を維持するために、平坦な位相遅延（通過帯域内で線形位相）を持つフィルタが必要であり、^{[1]他の種類のフィルタよりも}符号間干渉が 少なくなります。

一方、アナログ伝送を使用するアナログオーディオシステムでは、位相遅延のリップルがはるかに大きくなるため、このようなシステムの設計者は、阻止帯域の除去性能の向上、通過帯域の振幅リップルの低減、コストの低減など、他の点で優れたフィルターを得るために意図的に線形位相を犠牲にすることがよくあります。

フィルタは、さまざまな技術で構築できます。同じ伝達関数をさまざまな方法で実現できます。つまり、フィルタの数学的特性は同じですが、物理的特性はまったく異なります。異なる技術のコンポーネントは、多くの場合、互いに直接類似しており、それぞれのフィルタで同じ役割を果たします。たとえば、電子工学の抵抗器、インダクタ、コンデンサは、機械工学のダンパー、質量、スプリングにそれぞれ対応します。同様に、分布要素フィルタにも対応するコンポーネントがあります。

• 電子フィルターはもともと、抵抗、インダクタンス、静電容量で構成される完全に受動的なものでした。アクティブ技術により設計が容易になり、フィルター仕様に新たな可能性が開かれます。
• デジタル フィルターは、デジタル形式で表現された信号に対して動作します。デジタル フィルターの本質は、目的のフィルター伝達関数に対応する数学的アルゴリズムをプログラミングまたはマイクロコードに直接実装することです。
• メカニカル フィルターは、機械部品から作られています。ほとんどの場合、メカニカル フィルターは電子信号の処理に使用され、トランスデューサーはこれを機械振動に変換したり、機械振動から電子信号に変換したりするために用意されています。ただし、完全に機械領域で動作するように設計されたフィルターの例も存在します。
• 分布素子フィルタは、伝送線路やその他の分布素子の小片から作られたコンポーネントから構成されます。分布素子フィルタには、電子フィルタの集中素子に直接対応する構造と、このクラスのテクノロジに固有の構造があります。
• 導波管フィルタは、導波管コンポーネントまたは導波管に挿入されたコンポーネントで構成されます。導波管は伝送線路の一種であり、スタブなどの分布要素フィルタの多くの構造も導波管に実装できます。
• 光学フィルタは、もともと照明や写真撮影などの信号処理以外の目的で開発されました。しかし、光ファイバー技術の発達により、光学フィルタは信号処理にますます応用されるようになり、ロングパスやショートパスなどの信号処理フィルタの用語が分野に導入されるようになりました。
• トランスバーサル フィルタ、または遅延線フィルタは、さまざまな時間遅延後の入力のコピーを合計することによって機能します。これは、アナログ遅延線、アクティブ回路、CCD遅延線、または完全にデジタル領域を含むさまざまなテクノロジを使用して実装できます。

デジタル信号処理により、さまざまなフィルタを安価に構築できます。信号がサンプリングされ、アナログ/デジタル コンバータが信号を数値のストリームに変換します。CPUまたは専用のDSP (または、まれにアルゴリズムのハードウェア実装で実行される) で実行されるコンピュータ プログラムが、出力数値ストリームを計算します。この出力は、デジタル/アナログ コンバータを通過させることで信号に変換できます。変換によってノイズが発生するという問題がありますが、多くの有用なフィルタでは、ノイズを制御して制限することができます。サンプリングが行われるため、入力信号の周波数コンテンツは制限されている必要があります。そうしないと、エイリアシングが発生します。

1930 年代後半、技術者たちは、石英などの硬い材料で作られた小さな機械システムが、可聴周波数 (音) から数百メガヘルツまでの無線周波数で音響的に共振することを認識しました。初期の共振器には鋼鉄製のものもありましたが、すぐに石英が好まれるようになりました。石英の最大の利点は、圧電性であることです。つまり、石英共振器は、自身の機械的運動を電気信号に直接変換できます。また、石英は熱膨張係数が非常に低いため、石英共振器は広い温度範囲で安定した周波数を生成できます。石英水晶フィルタは、LCR フィルタよりもはるかに高い品質係数を備えています。より高い安定性が必要な場合、水晶とその駆動回路を「水晶オーブン」に取り付けて温度を制御することができます。非常に狭帯域のフィルタの場合は、複数の水晶を直列に動作させることもあります。

水晶に金属の櫛形蒸着物を取り付けることで、多数の水晶を 1 つのコンポーネントにまとめることができます。この方式では、音波が水晶の表面を流れるときに、「タップ遅延線」が目的の周波数を増強します。タップ遅延線は、さまざまな方法で高Qフィルターを作成するための一般的な方式になっています。

SAW (表面弾性波) フィルタは、無線周波数アプリケーションで一般的に使用される電気機械デバイスです。電気信号は、圧電結晶またはセラミックで構成されたデバイスで機械波に変換されます。この波は、デバイスを伝搬する際に遅延され、その後、別の電極によって電気信号に再変換されます。遅延された出力は再結合され、有限インパルス応答フィルタの直接アナログ実装が生成されます。このハイブリッドフィルタリング技術は、アナログサンプルフィルタにも見られます。SAW フィルタは、最大 3 GHz の周波数に制限されています。このフィルタは、Ted Paige教授らによって開発されました。^[2]

BAW (バルク音響波) フィルターは電気機械デバイスです。BAW フィルターはラダー フィルターまたはラティス フィルターを実装できます。BAW フィルターは通常、約 2 GHz から約 16 GHz の周波数で動作し、同等の SAW フィルターよりも小型または薄型です。デバイスに採用されつつある BAW フィルターの主な 2 つの種類は、薄膜バルク音響共振器(FBAR) と固体実装バルク音響共振器 (SMR) です。

800 MHz から約 5 GHz までのマイクロ波周波数でフィルタリングする別の方法は、イットリウムと鉄の化学的組み合わせで作られた合成単結晶 イットリウム鉄ガーネット球 (YIGF、またはイットリウム鉄ガーネット フィルター) を使用することです。ガーネットはトランジスタによって駆動される金属ストリップ上に置かれ、小さなループアンテナが球の上部に接触します。電磁石によってガーネットが通過する周波数が変わります。この方法の利点は、磁場の強度を変えることで、非常に広い周波数にわたってガーネットを調整できることです。

さらに高い周波数と精度を得るには、原子の振動を利用する必要があります。 原子時計は、主発振器を安定させるために、超高Qフィルターとしてセシウム メーザーを使用します。非常に弱い無線信号で高い固定周波数で使用される別の方法は、ルビーメーザー タップ遅延線を使用することです。

フィルタの伝達関数は、ほとんどの場合、複素周波数の領域で定義されます。この領域との間の往復は、ラプラス変換とその逆変換によって行われます (したがって、以下では、「入力信号」という用語は、入力信号の時間表現の「ラプラス変換」として理解されます)。

フィルタの伝達関数は、 複素周波数の関数としての出力信号と入力信号の比です。 ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$

と。 ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

個別のコンポーネント（集中要素）で構成されたフィルタの場合：

• それらの伝達関数は の多項式の比、つまりの有理関数になります。伝達関数の次数は、分子または分母の多項式のいずれかで発生する の最大の累乗になります。${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$
• 伝達関数の多項式はすべて実係数を持ちます。したがって、伝達関数の極と零点は実数か、複素共役のペアで発生します。
• フィルタは安定していると想定されるため、すべての極の実数部（つまり、分母のゼロ）は負になります。つまり、複素周波数空間の左半平面にあります。

分布要素フィルタは一般に有理関数伝達関数を持ちませんが、それを近似することはできます。

伝達関数の構築にはラプラス変換が含まれるため、初期条件をゼロと仮定する必要がある。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),}$

そして、f (0) = 0のときは定数を取り除いて通常の式を使うことができる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {df}{dt}}\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$

伝達関数の代わりとして、フィルタの動作を、時間領域入力とフィルタのインパルス応答の畳み込みとして与える方法があります。ラプラス変換に当てはまる 畳み込み定理は、伝達関数との等価性を保証します。

特定のフィルタは、ファミリとバンドフォームによって指定できます。フィルタのファミリは、使用される近似多項式によって指定され、それぞれがフィルタの伝達関数の特定の特性をもたらします。一般的なフィルタ ファミリとその特定の特性は次のとおりです。

• バターワースフィルタ–通過帯域と阻止帯域に ゲインリップルがなく、カットオフが遅い
• チェビシェフフィルタ（タイプI）  - 阻止帯域にゲインリップルなし、中程度のカットオフ
• チェビシェフフィルタ（タイプII）  – 通過帯域にゲインリップルなし、中程度のカットオフ
• ベッセルフィルタ –グループ遅延リップルなし、両バンドのゲインリップルなし、ゲインカットオフが遅い
• 楕円フィルタ – 通過帯域と阻止帯域のゲインリップル、高速カットオフ
• 最適な「L」フィルター
• ガウスフィルタ – ステップ関数に対するリップルなし
• レイズドコサインフィルタ

各フィルタ ファミリは、特定の次数に指定できます。次数が高いほど、フィルタは「理想的な」フィルタに近づきますが、インパルス応答が長くなり、待ち時間も長くなります。理想的なフィルタは、通過帯域で完全に透過し、停止帯域で完全に減衰し、2 つの帯域間で急激に遷移しますが、このフィルタは次数が無限 (つまり、応答を有限和の線形微分方程式として表現できない) で待ち時間が無限 (つまり、フーリエ変換でのコンパクトなサポートにより、時間応答が永続的になる) です。

これは、バターワース フィルター、チェビシェフ フィルター、楕円フィルターを比較した画像です。この図のフィルターはすべて 5 次ローパス フィルターです。特定の実装 (アナログまたはデジタル、パッシブまたはアクティブ) は関係なく、出力は同じになります。画像から明らかなように、楕円フィルターは他のフィルターよりもシャープですが、帯域幅全体にリップルが見られます。

どのファミリも、特定のバンドフォームを実装するために使用できます。このバンドフォームでは、周波数が伝送され、通過帯域外では、多かれ少なかれ減衰されます。伝達関数は、線形フィルタの動作を完全に指定しますが、それを実装するために使用される特定のテクノロジは指定しません。言い換えると、回路を設計するときに、特定の伝達関数を実現する方法は多数あります。フィルタの特定のバンドフォームは、そのファミリの プロトタイプ フィルタを変換することによって取得できます。

インピーダンス整合構造は、常にフィルタ、つまり非散逸要素のネットワークの形をとります。たとえば、受動電子実装では、インダクタとコンデンサのラダー トポロジの形をとる可能性があります。整合ネットワークの設計はフィルタと多くの共通点があり、その設計には必然的にフィルタリング アクションが付随します。整合ネットワークの主な目的はフィルタリングではありませんが、両方の機能が同じ回路に組み込まれることがよくあります。信号がデジタル領域にある間は、インピーダンス整合は必要ありません。

電力分配器や方向性結合器についても同様のことが言えます。分布素子形式で実装すると、これらのデバイスは分布素子フィルタの形をとることができます。整合させるべきポートは4つあり、帯域幅を広げるにはフィルタのような構造が必要です。逆もまた真なりで、分布素子フィルタは結合線路の形をとることができます^[3]。

• オーディオフィルター
• ラインフィルター
• スケール相関、相関のハイパスフィルタ
• テクスチャフィルタリング

• ウィーナーフィルター
• カルマンフィルタ
• Savitzky-Golay スムージング フィルター

• 電子フィルタトポロジー
• リフター（信号処理）
• ノイズ低減
• サレン・キー位相
• スムージング
• 乗算器（フーリエ解析）

• Miroslav D. Lutovac、Dejan V. Tošić、Brian Lawrence Evans、MATLAB および Mathematica を使用した信号処理のフィルター設計、Miroslav Lutovac、2001 ISBN 0201361302。 
• BA Shenoi、「デジタル信号処理とフィルタ設計入門」、John Wiley & Sons、2005年ISBN 0471656380。 
• LD Paarmann、「アナログフィルタの設計と分析：信号処理の観点」、Springer、2001年ISBN 0792373731。 
• JSChitode、デジタル信号処理、技術出版、2009年ISBN 8184316461。 
• Leland B. Jackson、「デジタルフィルタと信号処理」、Springer、1996年ISBN 079239559X。