背理法

論理学において、reductio ad absurdum（ラテン語で「不条理への還元」）は、argumentum ad absurdum（ラテン語で「不条理への議論」）、apagogical argument、またはproof by contradictionとも呼ばれ、反対の命題や議論の論理に従うと不条理や矛盾が生じることを示すことによって主張を確立しようとする議論の形式である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}数学の証明ではかなり自由に使われているが、この種の非構成的証明をすべての数学的学派が受け入れているわけではない。^{[ 5 ]}

この論証形式は古代ギリシャ哲学に起源を持ち、歴史を通じて形式的な数学的・哲学的推論、そして議論において用いられてきた。数学では、この手法は背理法と呼​​ばれる。形式論理学では、この手法は背理法の推論規則として表される。

より広義には、背理法とは、最初の仮定が証明すべき命題の否定ではない場合でも、矛盾にたどり着くことによって命題を確立するあらゆる形式の議論を指します。この一般的な意味では、背理法は^間接証明、反対を仮定する証明[ ^{6 ]}、および背理法^{[ 7 ]}とも呼ばれます。

G・H・ハーディは背理法を「数学者の最も優れた武器の一つ」と表現し、「それはチェスのどんな策略よりもはるかに優れた策略だ。チェスプレイヤーはポーンや駒を犠牲にするかもしれないが、数学者はゲームそのものを提供するのだ」と述べている。^{[ 8 ]}

背理法による議論の「不条理な」結論は、さまざまな形をとることができ、矛盾による反駁の例を以下に示します。

• 地球は平らではない。もし平らであれば、地球は有限な大きさであると仮定されているので、人々が端から落ちてしまうことになるだろう。
• 最小の正の有理数は存在しない。もし${\displaystyle q}$が最小の正の有理数であった場合、${\displaystyle q/2}$は、より小さい正の有理数になります。${\displaystyle q}$なぜならそれは半分に等しいから${\displaystyle q}$⁠、また、より小さくなることはないだろう⁠${\displaystyle q}$なぜなら​​${\displaystyle q}$は最小の正の有理数であると仮定される。

最初の例は、前提を否定すると、感覚の証拠（経験的証拠）に反して、ばかげた結論に至ると主張している。^{[ 9 ]} 2番目の例は、数学的な背理法（間接証明とも呼ばれる^{[ 10 ]}）であり、前提を否定すると論理的矛盾が生じると主張している（${\displaystyle q/2}$はより小さいと同時に小さくもない。${\displaystyle q}$⁠ ). ^{[ 11 ]}

背理法を用いた数学的証明は、通常、次のように進められます。

1. 証明すべき命題はPである。
2. Pは偽であると仮定します。つまり、 ¬Pと仮定します。
3. 次に、 ¬P が偽を意味することが示される。これは通常、互いに矛盾する 2 つの主張Qと¬Qを導き出し、矛盾律に訴えることによって達成される。
4. Pが偽であると仮定すると矛盾が生じるため、 Pは実際には真であると結論づけられる。

重要な特殊なケースとして、背理法による存在証明がある。ある性質を持つ対象が存在することを証明するために、すべての対象がその性質の否定を満たすという仮定から矛盾を導き出すのである。

背理法はギリシャ哲学全体を通して用いられた。背理法の最も古い例は、コロフォンのクセノファネス（紀元前570年頃 - 紀元前475年頃）に帰せられる風刺詩に見られる。 ^{[ 12 ]}ホメロスが神々に人間の欠点を帰していることを批判し、クセノファネスは、人間は神々の体も人間の形をしていると信じている、と述べている。しかし、馬や牛が絵を描くことができたなら、馬や牛の体を持つ神々を描くだろう。^{[ 13 ]}神々は両方の形を持つことはできないので、これは矛盾である。したがって、人間の欠点など、他の人間の特性を神々に帰することも誤りである。

ギリシャの数学者たちは、背理法を用いて基本的な命題を証明した。アレクサンドリアのユークリッド（紀元前4世紀半ば～3世紀半ば）とシラクサのアルキメデス（紀元前287年頃～紀元前212年頃）は、その初期の例である。^{[ 14 ]}

プラトンの初期の対話篇（紀元前424～348年）は、ソクラテスの議論をまとめたもので、還元法を形式的な弁証法（エレンコス）、すなわちソクラテス式問答法として用いた。^{[ 15 ]}典型的には、ソクラテスの論敵は一見無害な主張をする。それに対し、ソクラテスは段階的な推論の流れを通して、他の背景となる前提を持ち出し、その主張が不合理または矛盾した結論を導き出すことを相手に認めさせ、主張を放棄させてアポリアの立​​場を取らせる。^{[ 10 ]}

弁論的反駁は二分法的な命題に基づいており、それは互いに排他的な2つの部分に分けられ、そのうちの1つだけが真である可能性がある。そしてソクラテスは、矛盾律を用いて、一般的に受け入れられている部分の反対を証明していく。グレゴリー・ヴラストス^{[ 16 ]}によれば、この方法は以下の手順からなる。

1. ソクラテスの対話相手は、例えば「勇気とは魂の忍耐力である」という主張をするが、ソクラテスはそれを誤りだと考え、反駁しようとする。
2. ソクラテスは、例えば「勇気は素晴らしいものである」や「無知な忍耐は素晴らしいものではない」といった、さらなる前提について対話相手に同意させる。
3. ソクラテスは、これらの前提が元の命題の反対を意味すると主張し、対話者もそれに同意する。この場合、それは「勇気とは魂の忍耐ではない」という結論につながる。
4. ソクラテスは、対話相手の主張が誤りであり、その否定が正しいことを証明したと主張する。

この手法はアリストテレス(紀元前 384 ～ 322 年)の研究でも焦点を当てており、特に彼の事前分析では、それを不可能なものへのデモンストレーション (古代ギリシャ語: ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπόδειξις 、文字通り「不可能なものへのデモンストレーション」)と呼んでいました。 62b)。^{[ 4 ]}

この手法の別の例は、ソリテスのパラドックスに見られる。これは、1,000,000個の砂粒が山を形成し、その山から1粒を取り除いても山が残るならば、1粒の砂（あるいは砂粒が全くない状態でも）が山を形成する、という主張である。^{[ 17 ]}

中観派仏教哲学の多くは、背理法（サンスクリット語で「帰結」を意味するprasaṅgaとして知られる）を用いて、様々な本質主義的な考え方がいかに不条理な結論に至るかを示すことに焦点を当てている。『根本中観派』では、ナーガールジュナの背理法を用いて、実体や本質に関するいかなる理論も持続不可能であり、したがって、変化、因果関係、感覚知覚といった現象（ダルマ）は本質的な存在を欠いている（空）ことが示されている。ナーガールジュナの主な目的は、スヴァバーヴァ（本質的な性質）の理論を提唱した仏教アビダルマ派（主にヴァイバーシカ派）の本質主義、および存在論的実体（ドラヴィヤタ）の理論を提唱したヒンドゥー教のニヤーヤ派とヴァイシェーシカ派の本質主義を反駁することであると、学者によってしばしば考えられている。^{[ 18 ]}

13章5節で、ナーガールジュナは、物事が本質的に、あるいは本来的に存在するという前提がもたらす結果を実証しようと試み、もし「若者」が彼自身の中に存在するならば、彼は老いることはできない（なぜなら、老いてしまうともはや「若者」ではなくなってしまうから）と指摘する。人間をその特性（若さ）から切り離そうとすると、あらゆるものが瞬間的な変化に左右されることがわかり、「若者」といった存在が依存する単なる恣意的な慣習以外には何も残らない。

物そのものは変化しない。

何か違うものがあっても、それは変わらない。

なぜなら、若者は年を取らないからだ。

そして老人は老いることもない。^{[ 19 ]}

現代の哲学者たちも、それぞれの学術論文の中で背理法（reductio ad absurdum ）を用いてきた。その中には以下のような人々が含まれる。

• ルイス・ホワイト・ベック-機械論哲学の批判において。（『俳優と観客』、1974年）^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}
• ロバート・L・ホームズは、無辜の生命を殺害することに対する義務論的な第一義的推定に基づく抑止理論と、戦争を起こすという脅威のみに基づく戦争防止システムへの依存の非合理性を批判している。（ 『戦争と道徳』、1989年）^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}

アリストテレスは、矛盾と偽の関係を無矛盾律で明確にした。無矛盾律とは、命題が真であると同時に偽であることはできないというものである。 ^{[ 28 ] [ 29 ]}つまり、命題は真であると同時に偽であることはできない。${\displaystyle Q}$そしてその否定${\displaystyle \lnot Q}$（否定）は両方とも真であることはあり得ない。したがって、ある命題とその否定が両方とも前提から導かれる場合、その前提は偽である。この手法は、数学的議論において矛盾を導き出す最も一般的な方法である。

この原理は、命題論理式¬¬ P ⇒ P、あるいは同等に (¬ P ⇒ ⊥) ⇒ Pとして形式的に表現することができ、これは「Pが偽であると仮定することが偽を意味するならば、Pは真である」と解釈できる。

自然演繹においては、その原理は推論規則という形をとる。

${\displaystyle {\cfrac {\vdash \lnot \lnot P}{\vdash P}}}$

そこにはこう書かれている。「もし${\displaystyle \lnot \lnot P}$証明されたら、${\displaystyle P}$結論が導き出されるかもしれない。

シーケント計算では、原理はシーケントによって表現される。

${\displaystyle \Gamma ,\lnot \lnot P\vdash P,\Delta }$

そこには「仮説${\displaystyle \Gamma }$そして${\displaystyle \lnot \lnot P}$結論を伴う${\displaystyle P}$または${\displaystyle \Delta }$。

古典論理では、命題¬¬P ⇒ Pの真理値表を調べることで、この原理が正当化される。真理値表は、この命題がトートロジーであることを示している。

この原理を正当化するもう一つの方法は、排中律からそれを導き出すことである。以下のようにする。¬¬Pを仮定し、 Pを証明しようとする。排中律によれば、P は成り立つか、成り立たないかのどちらかである。

1. Pが成り立つならば、もちろんPは成り立つ。
2. ¬Pが成り立つ場合、 ¬Pと¬¬Pに矛盾律を適用して偽を導き、その後、爆発原理によりP を結論付けることができます。

いずれの場合も、我々はPを確立した。逆に、背理法を用いて排中律を導き出すことができることが分かった。

古典的なシーケント計算において、LKの背理法による証明は、否定の推論規則から導き出すことができる。

${\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\ }{\Gamma ,P\vdash P,\Delta }}\;(I)}{\Gamma ,\vdash \lnot P,P,\Delta }}\;({\lnot }R)}{\Gamma ,\lnot \lnot P\vdash P,\Delta }}\;({\lnot }L)}$

直観主義論理では、背理法による証明は一般的には妥当ではないが、いくつかの特殊な事例は導き出すことができる。対照的に、否定の証明と無矛盾律はどちらも直観主義的に妥当である。^{[ 33 ]}

ブロワー、ヘイティング、コルモゴロフによる背理法の解釈は、次のような直観主義的な妥当性条件を与える。すなわち、ある命題が偽であることを証明する方法が存在しないならば、その命題が真であることを証明する方法が存在する。

「方法」をアルゴリズムと解釈すると、停止問題を解決できてしまうため、この条件は受け入れられません。その理由を説明するために、 「チューリングマシンMは停止するか、停止しない」という命題H(M)を考えてみましょう。その否定¬H(M)は「Mは停止も停止しないもしない」と述べており、これは矛盾律（直観主義的に妥当）により偽です。もし背理法が直観主義的に妥当であれば、任意のチューリングマシンMが停止するかどうかを判定するアルゴリズムが得られ、それによって停止問題の非解決可能性の証明（直観主義的に妥当）に違反することになります。

を満たす命題P${\displaystyle \lnot \lnot P\Rightarrow P}$これは¬¬-安定命題として知られています。したがって、直観主義論理では、背理法は普遍的に有効ではなく、¬¬-安定命題にのみ適用できます。このような命題の例は決定可能であり、すなわち、を満たします。${\displaystyle P\lor \lnot P}$実際、排中律が背理法による証明を意味するという上記の証明は、決定可能な命題が¬¬-安定であることを示すために再利用できる。決定可能な命題の典型的な例は、直接計算によって検証できる文である。例えば、「${\displaystyle n}$「素数」または「${\displaystyle a}$分ける${\displaystyle b}$「。

以下の例は一般的に背理法による証明と呼ばれていますが、形式的には背理法による反駁を採用しています（したがって直観主義的に妥当です）。^{[ 38 ]}

背理法による証明は、「矛盾！」という言葉で終わることがあります。 アイザック・バローとベアマンは、QEDに倣って「 quod est absurdum 」（「これは不合理だ」）の QEA という表記法を用いましたが、この表記法は今日ではほとんど使われていません。^{[ 43 ]}矛盾を表す図式記号としては、例えば Davey とPriestley の著作にあるように、下向きのジグザグ矢印の「稲妻」記号 (U+21AF: ↯) が用いられることがあります。^{[ 44 ]}その他、反対方向の矢印 のペア(${\displaystyle \rightarrow \!\leftarrow }$または${\displaystyle \Rightarrow \!\Leftarrow }$）、打ち消し線付き矢印（${\displaystyle \nleftrightarrow }$)、ハッシュ記号の様式化された形式（U+2A33: ⨳など）、または「参照マーク」（U+203B: ※ ）${\displaystyle \times \!\!\!\!\times }$[ ^{45 ] [ 46 ]​}

自動定理証明では、解決方法は背理法による証明に基づいています。つまり、与えられた命題が与えられた仮説から導かれることを示すために、自動証明器は仮説と命題の否定を仮定し、矛盾を導き出そうとします。^{[ 47 ]}

• ハイド、ドミニク、ラフマン、ダイアナ（2018）。「ソリテスのパラドックス」。ザルタ、エドワード・N （編）。スタンフォード哲学百科事典（2018年夏 版）。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。  
• ガーフィールド、ジェイ・L. (1995) 『中道の根本的知恵』オックスフォード：オックスフォード大学出版局
• パスティ、メアリー。「背理法：人口変動の研究における一演習」。アメリカ合衆国、コーネル大学、1977年1月。
• Daigle, Robert W.『アリストテレス以前の背理法論法』Np、サンノゼ州立大学、1991年。

• Wiktionaryにおけるper impossibileの辞書定義
• フィーザー、ジェームズ；ダウデン、ブラッドリー（編）。「背理法」。インターネット哲学百科事典。ISSN 2161-0002。OCLC 37741658。