比率

数学において、比（/ˈreɪ.ʃ(i.)oʊ/ ）は、ある数が別の数を何回含んでいるかを示します。たとえば、果物の入ったボウルにオレンジが8個、レモンが6個ある場合、オレンジとレモンの比は8対6（つまり8:6、これは4:3の比に相当します）です。同様に、レモンとオレンジの比は6:8（または3:4）であり、オレンジと果物の総量の比は8:14（または4:7）です。

比率に含まれる数値は、人や物の数、長さ、重さ、時間などの測定値など、あらゆる種類の量を表すことができます。ほとんどの場合、両方の数値は正の値に限定されます。

比は、「a 対 b」または「a : b」と表記して両方の構成要素の数を指定するか、商 a / b の値だけを指定するかのいずれかで指定できます。 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]等しい商は等しい比^{に対応します。2つの比が}等しいことを表す記述は比例と呼ばれます。

したがって、比率は、順序対の数、分子に最初の数、分母に2番目の数を持つ分数、またはこの分数で表される値として考えることができます。非ゼロの自然数で与えられる数の比率は有理数であり、場合によっては自然数になることもあります。

物理科学（特に計測学）で採用されている比のより具体的な定義は、同じ単位で測定された2 つの物理量の無次元商である。^{[ 4 ]}異なる単位で測定された 2 つの量の商は、レートと呼ばれることがある。^{[ 5 ]}

数Aと数Bの比は次のように表すことができます。^{[ 1 ]}

• AとBの比率
• A：B
• AはBに対するものである（「CがDに対するものであるように」が後に続く場合。下記参照）
• Aを分子、Bを分母とする分数で、商（つまり、AをBで割った値）を表す。${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$これは単純な分数、小数、パーセンテージなどで表すことができます。^{[ 6 ]}

比率がA : Bの形式で記述されている場合、2 つのドット文字はコロン句読点として使用されることがあります。^{[ 7 ]} Unicodeでは、これはU+003A : COLONですが、Unicode には専用の比率文字U+2236 : RATIOも用意されています。^{[ 8 ]}

数AとB は、Aが前件、Bが後件となる比の項と呼ばれることがある。^{[ 9 ]}

2 つの比A : BとC : Dの等しさを表す式は比例式と呼ばれ、^{[ 10 ]} A : B = C : DまたはA : B : C : Dと表記されます。この後者の形式は、英語で話したり書いたりする場合、しばしば次のように表現されます。

( AとBの関係は) ( CとDの関係と同じ)。

A、B、C、D は比例式の項と呼ばれます。AとDはその外項、BとC はその内項と呼ばれます。A : B = C : D = E : Fのように、3 つ以上の比が等しいことを、連続比例式と呼びます。^{[ 1 ]}

比率は、3つ以上の項とともに用いられることがあります。例えば、長さ10インチの「 2×4材」の辺の長さの比率は次のようになります。

$厚さ$ : 幅 : 長さ }}=2:4:10}

良質なコンクリート配合（体積単位）は、次のように引用されることがあります。^{[ 11 ]}

$\displaystyle {\text{セメント$ : 砂 : 砂利 }}=1:2:4.}

2つ以上の項を持つ比率のこのような割合の意味は、左辺の任意の2つの項の比率が、右辺の対応する2つの項の比率に等しいということである。

「ratio」という言葉の起源は、古代ギリシャ語のλόγος (ロゴス) に遡ることができます。初期の翻訳者はこれをラテン語でratio (「理性」、つまり「合理的」という言葉と同じ)と訳しました。ユークリッドの意味のより現代的な解釈は、計算や算定に近いものです。^{[ 12 ]}中世の著述家は、比率を表すのにproportio (「比例」)という言葉を、比率の等しさを表すのにproportionalitas (「比例性」) という言葉を使用しました。 ^{[ 13 ]}

ユークリッドは『原論』に示された結果を以前の資料から収集した。ピタゴラス派は数に適用される比と比例の理論を発展させた。^{[ 14 ]}ピタゴラス派の数の概念には、今日では有理数と呼ばれるものだけが含まれており、幾何学における理論の妥当性に疑問を投げかけている。幾何学では、ピタゴラス派が発見したように、非可換比（無理数に対応）が存在する。可換性を仮定しない比の理論の発見は、おそらくクニドスのエウドクソスによるものである。『原論』第7巻に現れる比例の理論の説明は、可換比の以前の理論を反映している。^{[ 15 ]}

比率は大部分が商とその値と同一視されるため、複数の理論が存在することは不必要に複雑に思える。しかし、これは比較的最近の発展であり、現代の幾何学の教科書でも比率と商に異なる用語と表記法が使われていることからもわかる。その理由は2つある。1つ目は、前述のように無理数を真の数として受け入れることに抵抗があったこと、2つ目は、すでに確立されていた比率の用語に代わる広く使われている記号体系がなかったため、分数が代替として完全に受け入れられるまで16世紀までかかったことである。^{[ 16 ]}

一般的に、2つの要素の比率における量の比較は、その比率から導き出される分数で表すことができます。たとえば、2:3の比率では、最初の要素の量、大きさ、体積、または数量は、$\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$第二の存在のもの。

オレンジが2個、リンゴが3個ある場合、オレンジとリンゴの比率は2:3、果物の総数に対するオレンジの比率は2:5です。これらの比率は分数でも表すことができます。オレンジの数はリンゴの2/3で、果物の2/5がオレンジです。オレンジジュース濃縮液を水で1:4の比率で希釈する場合、濃縮液1に対し水4の割合で混合し、合計5の割合になります。オレンジジュース濃縮液の量は水の量の1/4であり、オレンジジュース濃縮液の量は液体全体の1/5です。比率と分数のどちらにおいても、何と何を比較しているのかを明確にすることが重要であり、初心者はしばしばこの理由で間違いを犯します。

2つ以上の要素を含む比率から分数を推測することもできますが、分数は2つの量しか比較できないため、2つ以上の要素を含む比率を完全に単一の分数に変換することはできません。比率に含まれる任意の2つの要素の量を比較するために別の分数を使用できます。たとえば、2:3:7の比率から、2番目の要素の量は$\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$第三の存在のもの。

比率に含まれるすべての量を同じ数で掛けても、比率は有効です。例えば、3:2 の比率は 12:8 と同じです。通常は、最小公倍数にするか、100 分の 100 (パーセント)で表します。

混合物が物質A、B、C、Dを5:9:4:2 の比率で含んでいる場合、Aは5部、 Bは 9 部、Cは 4 部、Dは 2 部の割合で含まれています。5 + 9 + 4 + 2 = 20なので、混合物全体はAが 5/20 (20 分の 5 部)、Bが 9/20 、Cが 4/20 、Dが 2/20 の割合で含まれています。すべての数値を合計で割って 100 を掛けると、パーセンテージに変換されます。25% A、45% B、20% C、10% D (比率を 25:45:20:10 と表記するのと同等)。

2 つ以上の比率の量が特定の状況におけるすべての量を包含する場合、「全体」は部分の合計を含むと言われます。たとえば、リンゴ 2 個とオレンジ 3 個のみで他の果物がない果物かごは、リンゴ 2 部分とオレンジ 3 部分で構成されています。この場合、$\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$全体の40％はリンゴで、$\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$全体の60%がオレンジである、つまり全体の60%がオレンジであるということです。このように特定の量を「全体」と比較することを比率といいます。

比率が2つの値のみで構成されている場合は、分数、特に小数で表すことができます。たとえば、古いテレビは4:3のアスペクト比を持ち、これは幅が高さの4/3であることを意味します（これは1.33:1、または単に1.33を小数点以下2桁に丸めたものとも表すことができます）。最近のワイドスクリーンテレビは16:9のアスペクト比、つまり1.78を小数点以下2桁に丸めたものです。人気のワイドスクリーン映画フォーマットの1つは2.35:1、または単に2.35です。比率を小数で表すと、比較が簡単になります。1.33、1.78、2.35を比較すると、どのフォーマットがより広い画像を提供するかは明らかです。このような比較は、比較する値が一貫している場合、つまり常に幅を高さとの関連で表す場合にのみ有効です。

比率は（分数と同様に）各量をすべての量の共通因数で割ることによって約分できます。分数と同様に、比率に含まれる数値が最小の整数である場合が最も簡単な形式とみなされます。

したがって、40:60という比率は、2:3という比率と意味的に同等であり、後者は前者を20で割ることによって得られます。数学的には、40:60 = 2:3、または40:60∷2:3と表記します。言葉で表現すると、「40と60の比率は、2と3の比率と同じである」となります。

両方の量が整数であり、それ以上（整数を用いて）約分できない比は、最も簡単な形、または最も簡単な項で表されていると言われます。

異なる比率を比較しやすくするために、比率を 1: xまたはx :1の形式で表すと便利な場合があります。ここでx は必ずしも整数ではありません。たとえば、比率 4:5 は 1:1.25 (両辺を 4 で割る) と表すことができます。あるいは、0.8:1 (両辺を 5 で割る) と表すこともできます。

文脈から意味が明確な場合、この形式の比率は 1 と比率記号 (:) なしで書かれることもありますが、数学的には、これは因数または乗数になります。

比は、比較不可能な量（分数の値としての比が無理数になる量）の間にも確立できます。ピタゴラス学派によって発見された最も古い例は、正方形の対角線dの長さと一辺sの長さの比であり、これは正式には2 の平方根です。${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$もう一つの例は、円周と直径の比で、 πと呼ばれ、単なる無理数ではなく、超越数です。

また、 2つの（ほとんどの場合）長さaとbの黄金比もよく知られており、それは次の比率で定義されます。

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$または同等に${\displaystyle \quad a:b=(1+b/a):1.}$

比率を分数として、${\displaystyle a:b}$値xを持つと、次の式が得られます。

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$または${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

正の非合理的な解を持つ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$したがって、aとbが黄金比となるためには、aとb の少なくとも一方が無理数でなければなりません。数学における黄金比の例としては、連続する2つのフィボナッチ数の比の極限値があります。これらの比はすべて2つの整数の比であり、したがって有理数ですが、これらの有理数の比の数列の極限は無理数の黄金比となります。

同様に、aとbの銀の比率は、次の比率で定義されます。

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$対応する${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

この方程式は正の無理数解を持つ。${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$したがって、銀の比率における2つの量aとbのうち、少なくとも一方は無理数でなければならない。

オッズ（ギャンブルにおけるオッズと同様）は比率で表されます。例えば、「7対3のオッズ」（7:3）とは、事象が発生する確率3に対して、事象が発生しない確率が7であることを意味します。成功確率は30%です。10回の試行で、3回の勝利と7回の敗北が期待されます。

比率は、測定単位が最初は異なっていても、同じ次元の単位の量を関連付ける場合など、無次元になることがあります。たとえば、1 分: 40 秒という比率は、最初の値を 60 秒に変更することで、 60 秒: 40 秒に縮小できます。単位が同じになれば、単位を省略でき、比率は 3:2 に縮小できます。比率は、屈折率のように、「指数」と呼ばれることもあります。^{[ 4 ]}  

一方、無次元ではない商、つまり比率（または比）と呼ばれるものもあります。^{[ 21 ] [ 22 ]} 化学では、質量濃度比は通常、重量/体積分率で表されます。たとえば、3% w/v の濃度は通常、溶液 100 mL あたり 3 g の物質を意味します 。これは、重量/重量や体積/体積分率のような無次元比に変換することはできません。

頂点がA、B、Cで辺がAB、BC、CAである三角形に対する点の位置は、三角形座標として拡張比率形式で表されることが多い。

重心座標では、座標α、β、γを持つ点は、三角形の形と大きさの重さのない金属板を頂点に重りを置いたときに、その金属板がちょうど釣り合う点であり、A と B の重りの比はα : β 、B とCの重りの比はβ  : γであり、したがってAとCの重りの比はα  : γとなります。

三線座標では、座標がx : y : zの点から辺BC (頂点Aの反対側) と辺CA (頂点Bの反対側) への垂直距離はx : yの比であり、辺CAと辺AB ( Cの反対側)への距離はy : zの比であり、したがって辺BCとABへの距離はx : z の比である。

すべての情報は比率で表現されるため（α、β、γ、x、y、 zで表される個々の数値はそれ自体では意味を持たない）、重心座標または三線座標を用いた三角形解析は、三角形の大きさに関係なく適用できる。

• クロス比
• 希釈率
• 変位長比
• 無次元量
• 財務比率
• 折り返し
• インターバル（音楽）
• オッズ比
• 部品単位表記
• 価格性能比
• 比例関係（数学）
• 比率分布
• 比率推定器
• レート（数学）
• Ratio（Twitter）
• レート比
• 相対リスク
• 三の法則（数学）
• 縮尺（地図）
• スケール（比率）
• 性比
• 超粒子比
• スロープ

• 「Ratio」『ペニー百科事典』第19巻、有用知識普及協会（1841年）、チャールズ・ナイト社、ロンドン、 307ページ以降
• 「比率」。『新国際百科事典』第19巻 （第2 版）。ニューヨーク：ドッド・ミード社。1916年。270 ～ 271ページ。 （比率は比例と相互参照されています。）
• 「比と比例」実用数学の基礎、ジョージ・ウェントワース、デイビッド・ユージン・スミス、ハーバート・ドルーリー・ハーパー（1922年）ギン社、55ページ以降
• ユークリッド（1908）。「第5巻」。ユークリッド原論全13巻。第2巻。サー・トーマス・リトル・ヒース 訳。ケンブリッジ大学出版局。112頁以降。 
• スミス、デイビッド・ユージン（1925）。「第10章 比、比例、および3の法則」。数学史。第 2巻。ギン・アンド・カンパニー（1958年にドーバー出版により再版）。477頁以降 。