オッズ比

オッズ比( OR ) は、2 つのイベント A と B 間の関連の強さを定量化する統計です。オッズ比は、イベント B がある場合にイベント A が発生するオッズと、イベント B がない場合にイベント A が発生するオッズの比として定義されます。対称性により、オッズ比は、イベント A がある場合にイベント B が発生するオッズと、イベント A がない場合にイベント B が発生するオッズの比を逆に計算します。2 つのイベントが独立しているのは、OR が 1 の場合、つまり、一方のイベントのオッズが、もう一方のイベントの有無にかかわらず同じである場合のみです。 OR が 1 より大きい場合、A と B は関連 (相関) しており、B がない場合と比較して、B が存在すると A のオッズが上昇し、対称的に A が存在すると B のオッズが上昇します。逆に、OR が 1 未満の場合、A と B は負の相関関係にあり、一方のイベントが存在すると、もう一方のイベントが発生するオッズが低下します。

2つの事象のオッズ比は対称的であり、因果関係の方向性は示唆されていない（相関は因果関係を示唆しない）ことに注意する。ORが1より大きいからといって、BがAを引き起こす、あるいはAがBを引き起こすということが証明されるわけではない。^[1]

関連性を定量化するためによく使用される 2 つの類似した統計は、相対リスク(RR) と絶対リスク低減(ARR) です。多くの場合、最も重要なパラメーターは実際には RR であり、これは OR で使用されるオッズに類似した確率の比です。ただし、利用可能なデータでは RR や ARR を計算できないことがよくありますが、以下で説明するように、症例対照研究の場合のように OR の計算は可能です。一方、特性 (A または B) の 1 つが十分にまれである場合 (疫学ではこれを希少疾患仮定と呼びます)、OR は対応する RR とほぼ等しくなります。

OR はロジスティックモデルにおいて重要な役割を果たします。

偏りのないコインを投げると、表が出る確率と裏が出る確率は等しく、どちらも 50% です。偏りのあるコインを投げると、表が出る確率が 2 倍になると考えてください。しかし、確率の観点から「2 倍の確率」とはどういう意味でしょうか。文字どおり元の確率の値を 2 倍にするわけではありません。50% を 2 倍にすると 100% になるからです。むしろ、確率が 2 倍になるのです。つまり、1 :1 の確率から 2:1 の確率に。新しい確率は、表が 66⅔%、裏が 33⅓% になります。

1,000 人の村で放射能漏れが起こり、珍しい病気の発生率が上昇したとします。放射能に被ばくした人の総数は、 そのうち病気を発症し健康を保った人の数です。放射能に被ばくしなかった人の総数は 、そのうち病気を発症し健康を保った人の数です。これを分割表にまとめると次のようになります。 ${\displaystyle V_{E}=400,}$${\displaystyle D_{E}=20}$${\displaystyle H_{E}=380}$${\displaystyle V_{N}=600,}$${\displaystyle D_{N}=6}$${\displaystyle H_{N}=594}$

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ 病気 }}&{\text{ 健康 }}\\\hline {\text{ 曝露 }}&20&380\\{\text{ 曝露なし }}&6&594\\\hline \end{array}}}$

曝露した場合に病気を発症するリスクは であり、曝露しない場合に病気を発症するリスクは です。リスクを比較する明らかな方法の 1 つは、2 つの比率、つまり相対リスクを使用することです。 ${\displaystyle D_{E}/V_{E}=20/400=.05}$${\displaystyle D_{N}/V_{N}=6/600=.01}$

${\displaystyle {\text{Relative risk}}={\frac {D_{E}/(D_{E}+H_{E})}{D_{N}/(D_{N}+H_{N})}}={\frac {D_{E}/V_{E}}{D_{N}/V_{N}}}={\frac {20/400}{6/600}}={\frac {.05}{.01}}=5\,.}$

オッズ比は異なります。感染した場合に病気にかかる確率は、感染しなかった場合の確率は、 オッズ比 は2つの比率です。 ${\displaystyle D_{E}/H_{E}=20/380\approx .0526,}$${\displaystyle D_{N}/H_{N}=6/594\approx .0101\,.}$

${\displaystyle {\text{Odds ratio}}={\frac {D_{E}/H_{E}}{D_{N}/H_{N}}}={\frac {20/380}{6/594}}\approx {\frac {.0526}{.0101}}=5.2\,.}$

この例で示されているように、このような希少疾患の場合、相対リスクとオッズ比はほぼ同じです。定義により、希少疾患とは、およびを意味します。したがって、相対リスクとオッズ比の分母はほぼ同じです（および）。 ${\displaystyle V_{E}\approx H_{E}}$${\displaystyle V_{N}\approx H_{N}}$${\displaystyle 400\approx 380}$${\displaystyle 600\approx 594)}$

相対リスクはオッズ比よりも理解しやすいですが、オッズ比を使用する理由の 1 つは、通常、全人口のデータが入手できず、無作為抽出を使用しなければならないことです。上記の例では、村人にインタビューして放射線に被ばくしたかどうかを調べるのに非常に費用がかかる場合、放射線被ばくの蔓延率は不明であり、またはの値も不明です。50 人の村人の無作為抽出サンプルを取ることもできますが、人口の 2.6% しか病気にかかっていないため、そのような無作為抽出サンプルには病気にかかっている人は含まれない可能性があります。代わりに、症例対照研究^{[2] を}使用して、病気にかかっている 26 人の村人全員にインタビューし、病気にかかっていない 26 人の無作為抽出サンプルも取り込むことができます。結果は次のようになる可能性があります (これは無作為抽出サンプルであるため、「可能性があります」)。 ${\displaystyle V_{E}}$${\displaystyle V_{N}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&10\\{\text{ Not exposed }}&6&16\\\hline \end{array}}}$

このサンプルでは、​​誰かが感染した場合に病気にかかるオッズは 20/10 で、誰かが感染しなかった場合のオッズは 6/16 です。したがって、オッズ比は、村全体で計算されたオッズ比に非常に近くなります。ただし、相対リスクは計算できません。これは、病気にかかるリスクの比率であり、それを計算するにはと が必要になるためです。この研究では病気にかかっている人を選択したため、サンプルの半数が病気にかかっており、これは人口全体の有病率よりも高いことが分かっています。 ${\displaystyle {\frac {20/10}{6/16}}\approx 5.3}$${\displaystyle V_{E}}$${\displaystyle V_{N}}$

医学文献では、オッズ比を計算し、次に希少疾患の仮定（通常は妥当）を使用して相対リスクがそれにほぼ等しいと主張するのが標準です。これにより、症例対照研究を使用できるだけでなく、回帰分析を使用して体重や年齢などの交絡変数を制御することが容易になり、この記事の他のセクションで説明した、サンプリングの種類に対する不変性と無感応性という望ましい特性が得られます。^[3]

オッズ比とは、あるグループでイベントが発生する確率と、別のグループでイベントが発生する確率の比です。この用語は、この比率のサンプルベースの推定値を指す場合にも使用されます。これらのグループは、男性と女性、実験グループと対照グループ、またはその他の二分分類である可能性があります。各グループでのイベントの確率がp ₁ (最初のグループ) とp ₂ (2 番目のグループ) である場合、オッズ比は次のようになります。

${\displaystyle OR={\frac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{2}/(1-p_{2})}}={\frac {p_{1}/q_{1}}{p_{2}/q_{2}}}={\frac {\;p_{1}q_{2}\;}{\;p_{2}q_{1}\;}},}$

ここで、q _x  = 1 −  p _xです。オッズ比が 1 の場合、調査対象の状態またはイベントが両方のグループで等しく発生する可能性が示されます。オッズ比が 1 より大きい場合、状態またはイベントは最初のグループで発生する可能性が高くなります。オッズ比が 1 より小さい場合、状態またはイベントは最初のグループで発生する可能性が低くなります。オッズ比が定義されている場合、負でない値である必要があります。p ₂ q 1_{がゼロの場合、つまり}p ₂がゼロまたはq ₁がゼロの 場合、オッズ比は未定義です。

オッズ比は、 2つの2値ランダム変数の結合確率分布によって定義することもできます。2値ランダム変数XとYの結合分布は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{11}&p_{10}\\X=0&p_{01}&p_{00}\end{array}}}$

ここで、p ₁₁、p ₁₀、p ₀₁、およびp ₀₀は、合計が 1 になる非負の「セル確率」です。X = 1 およびX = 0で定義される 2 つのサブポピュレーション内のYのオッズは、 Xが与えられた条件付き確率、つまりP ( Y  | X )によって定義されます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {p_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

したがってオッズ比は

${\displaystyle OR={\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{10})}{p_{10}/(p_{11}+p_{10})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{01}/(p_{01}+p_{00})}{p_{00}/(p_{01}+p_{00})}}={\frac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}}$

上記の右側の簡単な式は、「一致するセル」の確率の積( X  =  Y )を「一致しないセル」の確率の積( X  ≠  Y )で割ったものとして覚えやすいです。ただし、一部のアプリケーションでは、カテゴリを 0 と 1 にラベル付けすることは任意であるため、これらのアプリケーションでは一致する値と一致しない値に特別な意味はありません。

Yが与えられた条件付き確率に基づいてオッズ比を計算した場合、

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{10}}{p_{10}+p_{00}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{00}}{p_{10}+p_{00}}}\end{array}}}$

同じ結果が得られただろう

${\displaystyle {\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{01})}{p_{01}/(p_{11}+p_{01})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{10}/(p_{10}+p_{00})}{p_{00}/(p_{10}+p_{00})}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.}$

相対リスクなどのバイナリ データの効果サイズの他の尺度には、この対称性特性はありません。

XとYが独立である場合、それらの結合確率は、次のように それらの周辺確率p _x  =  P ( X  = 1)とp _y  =  P ( Y  = 1)で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{x}p_{y}&p_{x}(1-p_{y})\\X=0&(1-p_{x})p_{y}&(1-p_{x})(1-p_{y})\end{array}}}$

この場合、オッズ比は 1 になりますが、逆にオッズ比が 1 になるのは、結合確率をこのように因数分解できる場合のみです。したがって、オッズ比が 1 になるのは、XとYが独立している場合のみです。

オッズ比はセル確率の関数であり、逆に言えば、オッズ比と周辺確率P ( X  = 1) =  p ₁₁  +  p ₁₀およびP ( Y  = 1) =  p ₁₁  +  p ₀₁がわかれば、セル確率を復元できる。オッズ比Rが1と異なる場合、

${\displaystyle p_{11}={\frac {1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1)-S}{2(R-1)}}}$

ここでp _1•  =  p ₁₁  +  p ₁₀、   p _•1  =  p ₁₁  +  p ₀₁、そして

${\displaystyle S={\sqrt {(1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1))^{2}+4R(1-R)p_{1\cdot }p_{\cdot 1}}}.}$

R  = 1の場合、独立性があるので、p ₁₁  =  p _1• p _•1となります。

p ₁₁が得られれば、他の 3 つのセル確率は周辺確率から簡単に復元できます。

100 人の男性のサンプルのうち、90 人が前の週にワインを飲んだ (つまり 10 人は飲まなかった) のに対し、80 人の女性のサンプルのうち、同じ期間にワインを飲んだのは 20 人だけ (つまり 60 人は飲まなかった) だとします。これは分割表を形成します。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&M=1&M=0\\\hline D=1&90&20\\D=0&10&60\end{array}}}$

オッズ比 (OR) は、この表から次のように直接計算できます。

${\displaystyle {OR}={\frac {\;90\times 60\;}{\;10\times 20\;}}=27}$

あるいは、男性がワインを飲むオッズは 90 対 10、つまり 9:1 であるのに対し、女性がワインを飲むオッズは 20 対 60、つまり 1:3 = 0.33 に過ぎません。したがって、オッズ比は 9/0.33、つまり 27 となり、男性は女性よりもワインを飲む可能性がはるかに高いことがわかります。詳細な計算は次のとおりです。

${\displaystyle {0.9/0.1 \over 0.2/0.6}={\frac {\;0.9\times 0.6\;}{\;0.1\times 0.2\;}}={0.54 \over 0.02}=27}$

この例は、オッズ比が相対的な位置を示す際に時として敏感であることも示しています。このサンプルでは、​​男性がワインを飲む可能性は女性よりも (90/100)/(20/80) = 3.6 倍高いのですが、オッズは 27 倍です。オッズ比の対数、つまり確率のロジットの差は、この効果を和らげ、グループの順序に関して尺度を対称にします。たとえば、自然対数を使用すると、オッズ比 27/1 は 3.296 にマッピングされ、オッズ比 1/27 は -3.296 にマッピングされます。

オッズ比の統計的推論にはいくつかのアプローチが開発されています。

推論の1つのアプローチは、対数オッズ比（オッズ比の自然対数）の標本分布に対する大規模標本近似を使用する。上で定義した結合確率表記法を使用すると、母集団の対数オッズ比は

${\displaystyle {\log \left({\frac {p_{11}p_{00}}{p_{01}p_{10}}}\right)=\log(p_{11})+\log(p_{00}{\big )}-\log(p_{10})-\log(p_{01})}.\,}$

分割表の形でデータを観察すると

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&n_{11}&n_{10}\\X=0&n_{01}&n_{00}\end{array}}}$

すると、結合分布の確率は次のように推定できる。

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\hat {p}}_{11}&{\hat {p}}_{10}\\X=0&{\hat {p}}_{01}&{\hat {p}}_{00}\end{array}}}$

どこ︿p_ij  =  n _ij  /  nであり、 n  =  n ₁₁  +  n ₁₀  +  n ₀₁  +  n ₀₀は4つのセルカウントの合計です。サンプルの対数オッズ比は

${\displaystyle {L=\log \left({\dfrac {{\hat {p}}_{11}{\hat {p}}_{00}}{{\hat {p}}_{10}{\hat {p}}_{01}}}\right)=\log \left({\dfrac {n_{11}n_{00}}{n_{10}n_{01}}}\right)}}$。

対数オッズ比の分布は、ほぼ正規分布となり、次のようになります。

${\displaystyle L\ \sim \ {\mathcal {N}}(\log(OR),\,\sigma ^{2}).\,}$

対数オッズ比の 標準誤差はおよそ

${\displaystyle {{\rm {SE}}={\sqrt {{\dfrac {1}{n_{11}}}+{\dfrac {1}{n_{10}}}+{\dfrac {1}{n_{01}}}+{\dfrac {1}{n_{00}}}}}}}$。

これは漸近近似であり、セル数のいずれかが非常に小さい場合は意味のある結果は得られません。L が標本対数オッズ比である場合、母集団対数オッズ比のおおよその 95%信頼区間はL  ± 1.96SEです。^[4]これをexp( L  − 1.96SE)、 exp( L  + 1.96SE) にマッピングして、オッズ比の 95% 信頼区間を取得できます。 母集団オッズ比が 1 に等しいという仮説を検定する場合、両側p 値は2 P ( Z  < −| L |/SE)です。ここで、P は確率、Z は標準正規乱数変数を表します。

オッズ比を推論する別のアプローチでは、 XとYの周辺頻度に基づいて条件付きでデータの分布を調べます。このアプローチの利点は、オッズ比の標本分布を正確に表現できることです。

ロジスティック回帰は、2 つのバイナリ変数を超えてオッズ比を一般化する 1 つの方法です。バイナリ応答変数Yとバイナリ予測変数Xがあり、さらにバイナリである場合もそうでない場合もある他の予測変数Z ₁、...、Z _{p が}あるとします。多重ロジスティック回帰を使用してYをX、Z ₁、...、Z _pに回帰すると、 Xの推定係数は条件付きオッズ比に関連付けられます。具体的には、人口レベルでは ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}$

${\displaystyle e^{\beta _{x}}=\exp(\beta _{x})={\frac {P(Y=1\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}{P(Y=1\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}},}$

は、この条件付きオッズ比の推定値です。 は、Z ₁、...、Z _pの値が固定されている 場合のYとXの間のオッズ比の推定値として解釈されます。${\displaystyle \exp({\hat {\beta }}_{x})}$${\displaystyle \exp({\hat {\beta }}_{x})}$

データが「母集団サンプル」を形成する場合、セル確率は、X 値とY値によって定義される母集団内の 4 つの各グループの頻度として解釈されます。多くの設定では母集団サンプルを取得することは現実的ではないため、選択されたサンプルが使用されます。たとえば、母集団内の頻度に関係なく、特定の確率fでX  = 1のユニットをサンプリングすることを選択できます (この場合、確率1 −  fでX  = 0 のユニットをサンプリングする必要があります)。この状況では、データは次の結合確率に従います。 ${\displaystyle {\widehat {p\,}}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {fp_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {fp_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {(1-f)p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {(1-f)p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

この分布のオッズ比 p ₁₁ p ₀₀  /  p ₀₁ p ₁₀はfの値に依存しません。これは、オッズ比 (および結果的に対数オッズ比) が、調査対象の変数の 1 つに基づく非ランダム サンプリングに対して不変であることを示しています。ただし、対数オッズ比の標準誤差はfの値に依存することに注意してください。^{[引用が必要]}

この事実は、次の 2 つの重要な状況で利用されます。

• 母集団の標本を取得するのは不便または非現実的であるが、X  = 0およびX  = 1 のサブサンプル内でY値が母集団を代表する (つまり、正しい条件付き確率に従う) ような異なるX値を持つ単位の便宜標本を取得するのは現実的であるとします。
• ある変数、たとえばXの周辺分布が非常に偏っているとします。たとえば、一般人口におけるアルコールの大量消費と膵臓がんの関係を研究する場合、膵臓がんの発生率は非常に低いため、膵臓がんの症例を適度な数集めるには非常に大規模な人口サンプルが必要になります。しかし、病院のデータを使用して、膵臓がん患者のほとんどまたは全員に連絡を取り、膵臓がんのない被験者を同数ランダムに抽出することができます (これは「症例対照研究」と呼ばれます)。

どちらの設定でも、母集団サンプルで得られた結果に比べて結果に偏りが生じることなく、選択したサンプルからオッズ比を計算できます。

ロジスティック回帰は広く使用されているため、オッズ比は医学や社会科学の研究の多くの分野で広く使用されています。オッズ比は、調査研究、疫学、症例対照研究などの一部の臨床試験の結果を表すためによく使用されます。レポートでは「OR」と略されることがよくあります。複数の調査のデータが結合されている場合は、「プールされたOR」と表現されることがよくあります。

「動機付けの例」のセクションで説明したように、放射線や新薬などの変数とリスクの関係を理解するには、通常、相対リスクの方がオッズ比よりも優れています。そのセクションでは、希少疾患の仮定が成り立つ場合、オッズ比は相対リスクの近似値として適しており^[5]、相対リスクよりも優れている点もあることも説明しています。希少疾患の仮定が成り立たない場合、調整されていないオッズ比は相対リスクよりも大きくなりますが^{[6] [7] [8]}、新しい方法では、同じデータを使用して相対リスク、リスク差、基本確率、またはその他の量を簡単に推定できます。^[9]

非曝露群の絶対リスクが利用可能な場合、両者の変換は次のように計算されます。^[6]

${\displaystyle {\text{Relative risk}}\approx {\frac {\text{Odds ratio}}{1-R_{C}+(R_{C}\times {\text{Odds ratio}})}}}$

ここで、R _{C は}非曝露群の絶対リスクです。

希少疾患の仮定が当てはまらない場合、オッズ比は相対リスクと大きく異なる可能性があり、相対リスクとして解釈すべきではありません。

船が沈没したときの男性と女性の乗客の死亡率を考えてみましょう。^[3] 462人の女性のうち、154人が死亡し、308人が生き残りました。851人の男性のうち、709人が死亡し、142人が生き残りました。明らかに、船に乗っていた男性は女性よりも死亡する可能性が高かったのですが、どれくらい高いのでしょうか。乗客の半数以上が死亡したため、まれな病気の仮定は大きく反しています。

オッズ比を計算するには、女性の死亡オッズが 1 対 2 (154/308) であることに注目してください。男性のオッズは 5 対 1 (709/142) です。オッズ比は 9.99 (4.99/.5) です。男性の死亡オッズは女性の 10 倍です。

女性の場合、死亡確率は 33% (154/462) でした。男性の場合、死亡確率は 83% (709/851) でした。死亡の相対リスクは 2.5 (.83/.33) です。男性の死亡確率は女性の 2.5 倍でした。

医学文献では、オッズ比は相対リスクと混同されることが多い。統計学者以外の人にとって、オッズ比は理解しにくい概念であり、効果をより印象的な数字で示す。^[10]しかし、ほとんどの著者は相対リスクは容易に理解できると考えている。^[11]ある研究では、国立疾病財団の会員は非会員よりもその疾患の一般的な治療法について聞いたことがある可能性が実際には3.5倍高かったが、オッズ比は24であり、論文では会員は「その治療法について聞いたことがある可能性が20倍以上高い」と述べられていた。^[12] 2つのジャーナルに掲載された論文の研究では、オッズ比を使用した論文の26％がそれをリスク比として解釈していたと報告されている。^[13]

これは、理解力のない著者が最も印象的で出版可能な数字を選択するという単純なプロセスを反映しているのかもしれない。^[11]しかし、その使用は場合によっては故意に欺瞞的である可能性がある。^[14]オッズ比は、リスク比を直接推定できない場合にのみ効果サイズの尺度として提示されるべきであると示唆されているが、^{[10]新たに利用可能になった方法により、リスク比を推定することは常に可能であり、通常は代わりに}リスク比を使用すべきである。^[9]

相対リスクは一般の人にとっては解釈しやすい可能性があるが、特に回帰モデルでは、相対リスクの代わりにオッズ比を使用すると数学的および概念的な利点がある。そのため、臨床試験やコホート研究など、両方が有効に使用できる場合、疫学や生物統計学の分野では相対リスクまたはオッズ比のどちらかを優先すべきだというコンセンサスはない^[15]。

オッズ比には、OR を疾患生存率または疾患発症率のどちらとして分析しても、数学的に直接逆変換できるという別のユニークな特性があります。つまり、生存率の OR はリスクの 1/OR の逆数です。これは「オッズ比の不変性」として知られています。対照的に、疾患生存率と発症率を比較する場合、相対リスクにはこの数学的な逆変換特性はありません。この OR の逆変換性と RR の非逆変換性の現象は、次の例で最もよく説明できます。

臨床試験で、薬物群の有害事象リスクが 4/100、プラセボ群の有害事象リスクが 2/100 であるとします。この場合、薬物対プラセボの有害リスクの RR は 2、OR は 2.04166 となります。ただし、分析を逆にして有害事象を無イベント生存率として分析すると、薬物群の率は 96/100、プラセボ群の率は 98/100 となり、薬物対プラセボの生存率は RR は 0.9796、OR は 0.48979 となります。ご覧のとおり、RR 0.9796 は明らかに RR 2 の逆数ではありません。対照的に、OR 0.48979 は OR 2.04166 の直接の逆数です。

これもまた「オッズ比の不変性」と呼ばれるもので、生存の RR がリスクの RR と同じではないのに対し、OR は生存または有害リスクのどちらを分析する場合にもこの対称的な特性を持つ理由です。OR の臨床的解釈の危険性は、有害事象発生率がまれではない場合に発生し、OR の希少疾患の仮定が満たされない場合に差異が誇張されます。一方、疾患がまれな場合、生存の RR (上記の例の RR=0.9796 など) を使用すると、薬剤または曝露に関連する有害リスクの重要な倍増が臨床的に隠蔽される可能性があります。^{[引用が必要]}

サンプルオッズ比 n ₁₁ n ₀₀  /  n ₁₀ n ₀₁は計算が簡単で、中規模および大規模のサンプルでは母集団オッズ比の推定値として優れた性能を発揮します。分割表の 1 つ以上のセルの値が小さい場合、サンプルオッズ比に偏りが生じ、高い分散を示す可能性があります。

標本オッズ比の限界に対処するために、オッズ比の代替推定量がいくつか提案されている。代替推定量の1つは条件付き最大尤度推定量であり、これは尤度を最大化するために行と列のマージンを条件とする（フィッシャーの正確検定のように）。^[16] もう1つの代替推定量はマンテル・ヘンツェル推定量である。^[要出典]

次の 4 つの分割表には、観測されたセル数と、対応するサンプルオッズ比 ( OR ) およびサンプル対数オッズ比 ( LOR ) が含まれています。

次の結合確率分布には、母集団セル確率と、対応する母集団オッズ比 ( OR ) および母集団対数オッズ比 ( LOR ) が含まれています。

分割表には、ユールのY、ユールのQなど、2 つのイベント間の関連性を測定するさまざまな要約統計量があります。これら 2 つは正規化されており、独立したイベントの場合は 0、完全に相関している場合は 1、完全に負に相関している場合は -1 になります。エドワーズ (1963) はこれらを研究し、これらの関連性の尺度はオッズ比の関数であるに違いないと主張し、これをクロス比と呼びました。^{[引用が必要]}

症例対照研究では、それぞれ何らかの疾患を持つ症例と持たない対照の代表的なサンプルを選択します。これらのサンプルは通常、互いに独立しています。両方のサンプルの被験者には、何らかの危険因子への曝露の以前の有病率が観察されます。これにより、前述のように、曝露を受けた人と曝露を受けていない人の疾患のオッズ比を推定できます。^[17] ただし、1つ以上の交絡変数で症例と対照を一致させることが理にかなっている場合もあります。^[18]この場合、各症例とそれに対応する対照について、関心のある以前の曝露が決定されます。データを次の表にまとめることができます。

この表は、マッチした被験者ペアの曝露状況を示しています。症例患者とマッチした対照群の両方が曝露したペア、症例患者は曝露したが対照群は曝露しなかったペア、対照群は曝露したが症例患者は曝露しなかったペア、どちらの被験者も曝露しなかったペアがあります。マッチした症例群と対照群の曝露は、共通の交絡変数の値が類似しているため相関しています。 ${\displaystyle n_{11}}$${\displaystyle n_{10}}$${\displaystyle n_{01}}$${\displaystyle n_{00}}$

以下の導出はブレスローとデイ^[18]による。我々は、各ペアが交絡変数の値が同一の層に属しているとみなす。同じ層に属しているという条件付きで、症例群と対照群の曝露状況は互いに独立している。同じ層内の症例群と対照群のペアについては、

${\displaystyle p_{1}}$感染患者が感染する確率は、

${\displaystyle p_{0}}$対照患者が曝露される確率は、

${\displaystyle q_{1}=1-p_{1}}$感染患者が感染しない確率であり、

${\displaystyle q_{0}=1-p_{0}}$対照患者が曝露されない確率。

すると、症例が曝露し対照が曝露しない確率は であり、対照が曝露し症例が曝露しない確率は である。対照と比較した症例の曝露の層内オッズ比は ${\displaystyle p_{1}q_{0}}$${\displaystyle p_{0}q_{1}}$

${\displaystyle \psi =(p_{1}/q_{1})/(p_{0}/q_{0})=p_{1}q_{0}/(q_{1}p_{0})}$

我々は地層を通して一定であると仮定する。^[18]${\displaystyle \psi }$

さて、症例群と対照群の両方が曝露されているか、どちらも曝露されていないかの一致したペアは、対照群の曝露のオッズと比較した症例群の曝露のオッズについては何も教えてくれない。ペアが一致していない場合に症例群が曝露され対照群が曝露されない確率は、

${\displaystyle \pi =(p_{1}q_{0})/(p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0})=\psi /(\psi +1)}$

不一致ペアの数を与えられた場合の分布は二項分布  ~ Bであり、の最大尤度推定値は ${\displaystyle n_{10}}$${\displaystyle (n_{10}+n_{01},\pi )}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\hat {\pi }}=n_{10}/(n_{10}+n_{01})={\hat {\psi }}/({\hat {\psi }}+1)}$

この式の両辺に掛けて引く と、${\displaystyle (n_{10}+n_{01})({\hat {\psi }}+1)}$${\displaystyle n_{10}{\hat {\psi }}}$

${\displaystyle n_{10}={\hat {\psi }}(n_{10}+n_{01}-n_{10})}$そしてそれゆえ

${\displaystyle {\hat {\psi }}=n_{10}/n_{01}}$。

ここで、はの最大尤度推定値であり、は の単調関数です。したがって、は不一致ペアの数を与えられた場合の の条件付き最大尤度推定値です。Rothmanら^{[19] は}、の別の導出として、これが層別 2x2 表の層内オッズ比の Mantel-Haenszel 推定値の特殊なケースであることを示しています。^[19]彼らはまた、ここで示した導出を提供している Breslow & Day ^{[18]を参照しています。}${\displaystyle {\hat {\pi }}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {\pi }}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}}$${\displaystyle {\hat {\psi }}}$

という帰無仮説のもとで。 ${\displaystyle \psi =1,\pi =1/(1+1)=0.5}$

したがって、 という帰無仮説を検定することによって という帰無仮説を検定することができます。これはマクネマー検定を使用して行われます。 ${\displaystyle \psi =1}$${\displaystyle \pi =0.5}$

の信頼区間を計算する方法はいくつかあります。と をそれぞれ の信頼区間の下限と上限とします。 なので、 の対応する信頼区間は ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\hat {\pi }}_{LB}}$${\displaystyle {\hat {\pi }}_{UB}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \psi =\pi /(1-\pi )}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ({\frac {{\hat {\pi }}_{LB}}{1-{\hat {\pi }}_{LB}}},{\frac {{\hat {\pi }}_{UB}}{1-{\hat {\pi }}_{UB}}})}$。

マッチングされた2x2表は、条件付きロジスティック回帰を使用して分析することもできます。^[20]この手法の利点は、マッチングされた症例対照データから複数のリスク因子に対して症例対照状態を回帰できることです。

McEvoy ら ^[21]は、ケースクロスオーバー研究で、自動車事故の危険因子としてのドライバーによる携帯電話の使用について調査しました^[17] 。研究対象者は全員、病院への搬送を必要とする自動車事故に巻き込まれました。各ドライバーの事故時の携帯電話の使用は、1 週間前の同じ時間帯のコントロール インターバルでの携帯電話の使用と比較されました。事故時の携帯電話の使用は、1 週間前の使用と相関関係にあると予想されます。事故時とコントロール インターバルでの使用を比較することで、ドライバーの特性、時間帯、曜日を調整できます。データは、次の表にまとめることができます。

両方の区間で携帯電話を使用したドライバーは5人、衝突時には使用したが対照区間では使用しなかったドライバーは27人、対照区間では使用したが衝突区間では使用しなかったドライバーは6人、どちらの区間でも使用しなかったドライバーは288人でした。携帯電話を使用しながらの衝突のオッズ比は、携帯電話を使用していないときの運転と比較して、

${\displaystyle {\hat {\psi }}=27/6=4.5}$。

33 の不一致なペアのうち 27 で運転手が事故時に携帯電話を使用していたという帰無仮説を検定することは、 McNemar のという帰無仮説を検定することと同じです。この統計量は自由度が 1 で、P値は 0.0003 です。これにより、携帯電話の使用は自動車事故のリスクに影響を与えないという仮説 ( ) を高い統計的有意性で棄却できます。 ${\displaystyle {\hat {\psi }}=1}$${\displaystyle {\hat {\pi }}=0.5}$ ${\displaystyle \chi ^{2}=13.36}$${\displaystyle \psi =1}$

ウィルソン法を用いると、の95%信頼区間は（0.6561, 0.9139）となる。したがって、の95%信頼区間 は ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ({\frac {0.6561}{1-0.6561}},{\frac {0.9139}{1-0.9139}})=(1.9,10.6)}$

（McEvoyら^[21]は条件付きロジスティック回帰法を用いてデータを分析し、ここで示した結果とほぼ同じ結果を得ました。彼らの論文の表3の最後の行を参照してください。）

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