パーセンテージ

数学において、パーセンテージ（ラテン語の per centum 「100分の1」に由来）は、 100を100とする分数として表される数値または比率である。パーセント記号（%）を使用して表されることが多いが、 ^[1]略語のpct.、pct、およびpcも使用されることがある。^[2]パーセンテージは無次元数（純粋な数）であり、主に比率を表すために使用されるが、パーセントはその綴りと使用法において測定単位である。^[3]

例

たとえば、45%（「45パーセント」と読む）は、分数に等しい⁠45/100⁠、比率は45:55 (または、他の部分ではなく合計と比較する場合は 45:100)、つまり 0.45 です。パーセンテージは、合計の比例部分を表すためによく使用されます。

(同様に、「パーミル」という用語または記号「‰ 」を使用して、数値を 1,000 の分数として表すこともできます。)

例1

クラスの全生徒数の 50% が男性の場合、100 人の生徒のうち 50 人が男性であることを意味します。生徒が 500 人いる場合は、そのうち 250 人が男性です。

例2

2.50ドルの価格が0.15ドル上昇すると、⁠0.15/2.50⁠ = 0.06。パーセンテージで表すと、6% の増加となります。

多くのパーセンテージ値は0から100の間ですが、数学的な制限はなく、パーセンテージは他の値を取ることもあります。^{[4]たとえば、特に}パーセントの変化や比較の場合は、111%や-35%と表記するのが一般的です。

歴史

古代ローマでは、十進法が存在するずっと前から、計算はしばしば⁠の倍数の分数で行われていました。1/100⁠。例えば、アウグストゥスは⁠の税金を課しました。1/100⁠オークションで売られた品物に課せられる分数。これはcentesima rerum venaliumとして知られています。これらの分数を使った計算は、パーセンテージを計算するのと同じでした。

中世には貨幣の額面が増えるにつれて、分母を100とする計算がますます標準化され、15世紀後半から16世紀初頭にかけては算術書にそのような計算が含まれるのが一般的になりました。これらの書物の多くは、これらの方法を損益、金利、3の法則に適用しました。17世紀までには、金利を100分の1単位で表記するのが標準的でした。^[5]

パーセント記号

「パーセント」という用語は、ラテン語のper centumに由来し、「百」または「百分の」を意味します。^[6]^[7]「パーセント」の記号は、イタリア語のper cento （「百分の」）が徐々に縮まって発展しました。「per」はしばしば「p」と省略されましたが、最終的には完全に消えました。「cento」は、水平線で区切られた2つの円に縮まり、現代の「%」記号が生まれました。^[8]

計算

パーセント値は、比率の数値に100を掛けて計算されます。たとえば、1,250個のリンゴに対する50個のリンゴのパーセンテージを求めるには、まず比率を計算します。50/1250⁠ = 0.04 となり、100 を掛けて 4% になります。パーセント値は、後で掛けるのではなく最初に掛けることでも求められます。この例では、50 に 100 を掛けて 5,000 を算出し、この結果を 1,250 で割って 4% を取得します。

パーセンテージのパーセンテージを計算するには、両方のパーセンテージを 100 の分数または小数に変換し、それらを掛け合わせます。たとえば、40% の 50% は次のようになります。

⁠ 50 / 100 ⁠ \times ⁠ 40 / 100 ⁠ = 0.50 \times 0.40 = 0.20 = ⁠ 20 / 100 ⁠ = 20%.

100 で割るときにパーセント記号を同時に使用するのは正しくありません。文字通り 10,000 で割ることを意味します。たとえば、25% = ⁠25/100⁠ = 0.25、 ⁠ではない25%/100⁠、実際は⁠25⁄100/100⁠ = 0.0025 。 ⁠のような項100/100⁠ %も誤りです。たとえ 100% と言いたい場合でも、1 パーセントと解釈されてしまいます。

パーセンテージについて伝えるときは、それが何に対する相対値であるか（つまり、100% に相当する合計は何か）を明確にすることが重要です。次の問題はこの点を示しています。

ある大学では、全学生の 60% が女性で、全学生の 10% がコンピュータサイエンスを専攻しています。女性学生の 5% がコンピュータサイエンスを専攻している場合、コンピュータサイエンスを専攻する女性の割合はどのくらいでしょうか。

コンピュータサイエンス専攻の女子学生と全コンピュータサイエンス専攻学生の比率を計算するように求められています。全学生の60%が女性で、そのうち5%がコンピュータサイエンス専攻学生であることがわかっているので、次のように結論付けます。60/100⁠ × ⁠5/100⁠ = ⁠3/100⁠または、全学生の 3% がコンピューターサイエンス専攻の女性です。これを、コンピューターサイエンス専攻の全学生の 10% で割ると、答えは次のようになります。⁠3%/10%⁠ = ⁠30/100⁠または、コンピュータサイエンス専攻者の 30% が女性です。

この例は条件付き確率の概念と密接に関連しています。

乗算の交換法則により、式を逆にしても結果は変わりません。たとえば、20 の 50% は 10 であり、50 の 20% も 10 です。

パーセンテージ計算のバリエーション

パーセンテージの計算は、前提条件と要件に応じてさまざまな方法で実行および指導されます。このようにして、比率を使用して通常の公式を取得できるため、それらを覚える必要がなくなります。いわゆる暗算では、中間の質問は通常、100% または 1% が何であるか (何に対応するか) を尋ねます。

例：

42 kg は 7% です。100% はいくらですか (に相当します)?指定されているのはW (パーセンテージ) とp % (パーセンテージ)
です。求めているのはG (基本値) です。

増加率と減少率

使用法に一貫性がないため、文脈からパーセンテージが何に対して相対的であるかが必ずしも明確であるとは限りません。数量の「10% 上昇」または「10% 下落」について話す場合、通常は、その数量の初期値に対して相対的であると解釈されます。たとえば、アイテムの初期価格が 200 ドルで、価格が 10% 上昇した場合 (20 ドルの増加)、新しい価格は 220 ドルになります。この最終価格は、初期価格の 110% (100% + 10% = 110%) であることに注意してください。

パーセント変化の他の例:

数量が 100% 増加するということは、最終数量が当初数量の 200% になることを意味します (当初数量の 100% + 増加量の 100% = 当初数量の 200%)。つまり、数量が 2 倍になったということです。
800% の増加は、最終的な金額が元の金額の 9 倍になることを意味します (100% + 800% = 900% = 9 倍)。
60% の減少は、最終金額が元の金額の 40% (100% - 60% = 40%) になることを意味します。
100% 減少すると、最終金額はゼロになります(100% – 100% = 0%)。

一般に、数量が $x$ パーセント変化すると、最終的な量は元の量の100 + $x$ パーセント (つまり、元の量の (1 + 0.01 $x ) 倍) になります。$

複利率

連続して適用されるパーセント変更は、通常の方法では合計されません。たとえば、前に検討した価格の 10% 増加 (200 ドルのアイテムの価格が 220 ドルに上がる) の後に価格の 10% 減少 (22 ドルの減少) が続く場合、最終価格は元の価格の 200 ドルではなく198 ドルになります。この明らかな矛盾の理由は、2 つのパーセント変更 (+10% と -10%) が異なる初期値 (それぞれ 200 ドルと 220 ドル) を基準として測定されるため、「相殺」されないためです。

$一般に、 x$ パーセントの増加の後に $x$ パーセントの減少が続き、最初の金額が $p$ だった場合、最終金額は $p$ (1 + 0.01 $x$ )(1 − 0.01 $x$ ) = $p$ (1 − (0.01 $x$ ) ² )です。したがって、純変化は $x$ パーセントの $x$ パーセント(小数で表した場合の元のパーセント変化の 2 乗) だけ全体的に減少したことになります。したがって、上記の例では、 $x$ = 10 パーセントの増加と減少の後、最終金額の 198 ドルは、最初の金額の 200 ドルよりも 10% の 10%、つまり 1% 少なくなっています。 $xパーセントの減少の後に$ $x$ パーセントの増加が続いた場合も純変化は同じで、最終金額は $p$ (1 - 0.01 $x$ )(1 + 0.01 $x$ ) = $p$ (1 − (0.01 $x$ ) ² )です。

これは、同じパーセント変化がない場合に拡張できます。最初の金額 $p が$ パーセント変化 $x$ につながり、2 番目のパーセント変化が $y$ である場合、最終金額は $p$ (1 + 0.01 $x$ )(1 + 0.01 $y$ )です。上記の例を変更すると、 $x$ = 10 パーセントの増加と $y$ = -5 パーセントの減少の後、最終金額 $209 は、最初の金額 $200 より 4.5% 多くなります。

上記のように、パーセントの変更は任意の順序で適用でき、同じ効果が得られます。

金利の場合、例えば金利が年率 10% から 15% に上昇したと述べる非常に一般的だが曖昧な方法は、金利が 5% 上昇したと言うことです。これは理論的には、年率 10% から 10.5% に上昇したことを意味する可能性があります。金利が 5パーセントポイント(pp)上昇したと言う方が明確です。パーセント (年齢) とパーセンテージポイントという異なる概念の間の同様の混乱は、ジャーナリストが選挙結果について報道する際に、例えば新しい結果と以前の結果との差の両方をパーセンテージで表現する際に、大きな誤解を引き起こす可能性があります。例えば、ある政党が 41% の票を獲得し、これが 2.5% の増加と言われた場合、それは以前の結果が 40% だったことを意味するのでしょうか (41 = 40 × (1 + ⁠2.5/100⁠ ) ) または 38.5% (41 =38.5 + 2.5) でしょうか?

金融市場では、1 パーセントポイントの増加 (例: 年率 3% から年率 4% へ) を「100 ベーシスポイント」の増加と呼ぶのが一般的です。

言葉とシンボル

英語のほとんどの形式では、パーセントは通常2つの単語（percent）で書かれますが、パーセンテージとパーセンタイルは1つの単語で書かれます。^[9]アメリカ英語では、パーセントが最も一般的な変形です^[10]（ただし、per milleは2つの単語で書かれます）。

20世紀初頭には、「per cent 」ではなく、「per cent . 」というドット付き略語がありました。「 per cent. 」という形式は、商業ローン契約（特にコモンローの対象となる、またはコモンローに触発されたもの）などの特定の文書や、英国議会の議事録のハンサードなどで見られる非常にフォーマルな言語で今でも使用されています。この用語はラテン語の per centumに由来するとされています。^[11]パーセントの記号（ %）は、イタリア語のper centoを省略した記号から進化しました。他の言語では、代わりにprocentまたはprosentという形式が使用されています。一部の言語では、パーセントから派生した単語とその言語で同じことを意味する表現の両方が使用されています。たとえば、ルーマニア語のprocentとla sutăです（したがって、10% はten for [each] hundredと読んだり書いたりすることができ、英語のone out of tenも同様です）。その他の略語はまれですが、時々見られます。

文法ガイドとスタイルガイドでは、パーセンテージの書き方に関してしばしば意見が異なります。たとえば、パーセント (またはパーセント) という単語は、すべてのテキストで「1 パーセント」ではなく「1%」のように綴ることが一般的に推奨されています。他のガイドでは、人文科学的なテキストでは単語を綴り、科学的なテキストでは記号を使用することを推奨しています。ほとんどのガイドでは、パーセンテージは常に「5 パーセント」ではなく「5 パーセント」のように数字で表記することに同意していますが、唯一の例外は文頭の場合です。「すべてのライターの 10 パーセントがスタイルガイドを気に入っています」。また、分数の代わりに小数点を使用します。「3.5 パーセントの利益」ではなく「3+1 ⁄ 2パーセントの利益」。ただし、政府やその他の発行体が発行する債券のタイトルでは、分数形式が使用されています。例： 3+1 ⁄ 2 % 無担保ローン株式 2032 シリーズ 2"。（金利が非常に低い場合、金利が 1% 未満の場合は数字の 0 が含まれます。例: " 0+パーセント記号 ( % )は、表形式やグラフ形式の資料では一般的に使用されています。

一般的な英語の慣習に沿って、シカゴマニュアルなどのスタイルガイドでは、数字とパーセント記号の間にはスペースを入れずに書くことが一般的であるとされています。^[12] しかし、国際単位系とISO 31-0規格ではスペースが必要です。^[13]^[14]

その他の用途

スポーツ統計の文脈では、「パーセンテージ」という言葉は、参照される数字がパーセンテージではなく小数比率で表現される場合によく誤用されます。「フェニックス・サンズのシャキール・オニールは、2008～2009 シーズンのフィールドゴール率(FG%)でNBA をリードしました。」(オニールのシュート成功率は 0.609% ではなく 60.9% です)。同様に、チームの勝率(クラブが勝った試合の割合) も通常は小数比率で表現されます。勝率が 0.500 のチームは、試合の 50% に勝っています。この慣習は、おそらく打率の引用方法に類似していることに関係しています。

「パーセント」は、道路や鉄道の勾配や傾斜を表すために使用され、その公式は100 × ⁠上昇/走る⁠これは、傾斜角の正接× 100として表すこともできます。これは、上り坂または下り坂を走行するときに車両がそれぞれ垂直方向と水平方向に進む距離の比率であり、パーセントで表されます。

パーセンテージは、混合物の組成を質量パーセントやモルパーセントで表す場合にも使用されます。

実用的なアプリケーション

参照

参考文献

^ 「パーセント入門」. mathsisfun.com . 2020年8月28日閲覧。
^ Dakers, Marion (2015年1月7日). 「ユーロ圏が正式にデフレに陥り、ECBに圧力が高まる」デイリー・テレグラフ。 2019年12月27日閲覧。
^ マトック、ピーター（2023年1月5日）。概念数学：学校で数学を「どのように行うか」ではなく「どのように行うか」を教える。クラウンハウス出版、p.269。ISBN 978-1-78583-618-3。
^ ベネット、ジェフリー、ブリッグス、ウィリアム（2005）、数学の使用と理解/定量的推論アプローチ（第3版）、ピアソンアディソンウェスレー、p。134、ISBN 0-321-22773-5
^ スミス、DE (1958) [1951]。数学の歴史。第2巻。クーリエドーバー出版。pp. 247–249。ISBN 0-486-20430-8。
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^ 「パーセントの定義」www.merriam-webster.com . 2020年8月28日閲覧。
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^ ブライアンズ、ポール。「Percent/per percent」。英語使用におけるよくある間違い。ワシントン州立大学。2010年11月22日閲覧。
^ ハント、マリアンヌ（1998年）。ニュージーランド英語の文法は事実かフィクションか：コーパスに基づく形態統語的変異の研究。世界中の英語の変種：一般シリーズ。第23巻。ジョン・ベンジャミンズ出版。19ページ。ISBN 9789027248817.この分野では、過去 30 年間にイギリス英語とアメリカ英語の間に新たな地域的な違いが生じました。1961 年には、アメリカのジャーナリストが per percent または (それほど一般的ではありませんが) percent のいずれかを書くのがまだ一般的でしたが、現在では後者の綴りのバリエーションが唯一の可能な綴りのようです。
^ 「パーセント」。オックスフォード英語辞典（オンライン版）。オックスフォード大学出版局。（サブスクリプションまたは参加機関のメンバーシップが必要です。）
^ 「シカゴ・マニュアル・オブ・スタイル」シカゴ大学出版局、2003年。 2007年1月5日閲覧。
^ 「国際単位系」(PDF)。国際度量衡局。2006年。 2007年8月6日閲覧。
^ 「ISO 31-0 — 量と単位 – パート0：一般原則」。国際標準化機構。1999年12月22日。 2007年1月5日閲覧。

外部リンク

ウィクショナリーのパーセンテージの辞書定義

[1] 「パーセント入門」. mathsisfun.com . 2020年8月28日閲覧。

[2] Dakers, Marion (2015年1月7日). 「ユーロ圏が正式にデフレに陥り、ECBに圧力が高まる」デイリー・テレグラフ。 2019年12月27日閲覧。

[3] マトック、ピーター（2023年1月5日）。概念数学：学校で数学を「どのように行うか」ではなく「どのように行うか」を教える。クラウンハウス出版、p.269。ISBN 978-1-78583-618-3。

[4] ベネット、ジェフリー、ブリッグス、ウィリアム（2005）、数学の使用と理解/定量的推論アプローチ（第3版）、ピアソンアディソンウェスレー、p。134、ISBN 0-321-22773-5

[5] スミス、DE (1958) [1951]。数学の歴史。第2巻。クーリエドーバー出版。pp. 247–249。ISBN 0-486-20430-8。

[6] アメリカン・ヘリテージ英語辞典、第3版（1992年）ホートン・ミフリン

[7] 「パーセントの定義」www.merriam-webster.com . 2020年8月28日閲覧。

[8] スミス p. 250

[9] ブライアンズ、ポール。「Percent/per percent」。英語使用におけるよくある間違い。ワシントン州立大学。2010年11月22日閲覧。

[10] ハント、マリアンヌ（1998年）。ニュージーランド英語の文法は事実かフィクションか：コーパスに基づく形態統語的変異の研究。世界中の英語の変種：一般シリーズ。第23巻。ジョン・ベンジャミンズ出版。19ページ。ISBN 9789027248817.この分野では、過去 30 年間にイギリス英語とアメリカ英語の間に新たな地域的な違いが生じました。1961 年には、アメリカのジャーナリストが per percent または (それほど一般的ではありませんが) percent のいずれかを書くのがまだ一般的でしたが、現在では後者の綴りのバリエーションが唯一の可能な綴りのようです。

[11] 「パーセント」。オックスフォード英語辞典（オンライン版）。オックスフォード大学出版局。（サブスクリプションまたは参加機関のメンバーシップが必要です。）

[12] 「シカゴ・マニュアル・オブ・スタイル」シカゴ大学出版局、2003年。 2007年1月5日閲覧。

[13] 「国際単位系」(PDF)。国際度量衡局。2006年。 2007年8月6日閲覧。

[14] 「ISO 31-0 — 量と単位 – パート0：一般原則」。国際標準化機構。1999年12月22日。 2007年1月5日閲覧。

例

例1

例2

歴史