中心渦

中心渦は、ヤン・ミルズ理論およびQCDの真空中に存在する線状のトポロジカル欠陥である。格子シミュレーションでは、中心渦がクォークの閉じ込めに重要な役割を果たしていることが示されている。

中心渦は、ゲージ群Gの普遍被覆の中心要素の下でゲージ電荷を持つ。言い換えれば、その位相電荷は、この普遍被覆の基本群の要素をその中心で割った値である。

2次元空間Mにおいて、点xにおける中心渦は次のように構築できる。まず、M上の自明なG束を用意する。点xを結ぶ円に沿って切断する。切断した円からGの表現への写像である遷移関数を用いて、全空間を再びつなぎ合わせる。新しい全空間が中心渦のゲージ束となる。

これで、 xにおける渦が構築されます。その位相電荷は次のように計算できます。この写像をGの普遍被覆に持ち上げると、円を一周するたびに、遷移関数は普遍被覆の中心にある要素だけシフトします。この要素が電荷です。

中心渦は高次元空間にも存在する。それらは常に余次元2であり、上記の構造は渦を取り囲むチューブに沿って切断することで一般化される。

SU( N )ゲージ理論の場合、中心は以下の定数行列から構成される。

${\displaystyle z_{n}=e^{\frac {2\pi in}{N}}I\;,}$

ここで、Iは単位行列である。これらの要素はアーベル部分群Z _Nを形成する。このような中心要素の下で、クォークは次のように変換される。

${\displaystyle \psi \to e^{\frac {2\pi in}{N}}\psi \;,}$

グルーオンは不変である。これは、クォークが自由である場合（非閉じ込め相のように）、中心対称性が破れることを意味する。中心対称性の回復は閉じ込めを意味する。't Hooft はこれを最初に、 より厳密な根拠に置いた。^{[ 1 ]}

理論における2つのフェーズは、渦の挙動に基づいて区別できる。^{[ 2 ]}あるウィルソンループを考えると、渦が一般的に長い場合、ほとんどの渦はウィルソンループ内の表面を一度しか貫通しない。さらに、この表面を貫通する渦の数は、表面の面積に比例して増加する。渦がウィルソンループの真空期待値の値を抑制しているため、これは面積法則につながり、つまりウィルソンループW ( C )は次のように振る舞う。

${\displaystyle \langle W(C)\rangle \propto e^{-\sigma A}\;,}$

ここで、Aはループによって張られる面積です。定数σは弦の張力と呼ばれます。この挙動は閉じ込められた場合に典型的です。ただし、渦が一般的に短い（つまり、小さなループを形成する）領域を考えると、渦は通常、反対方向に 2 回ウィルソン ループの表面を貫通するため、2 つの寄与が相殺されます。ウィルソン ループ自体の近くにある渦ループのみが 1 回だけそれを貫通するため、寄与は周囲長のようにスケーリングされます。

${\displaystyle \langle W(C)\rangle \propto e^{-\alpha L}\;,}$

ここで、Lはウィルソンループの長さ、αは定数である。この挙動は、閉じ込めがないことを示唆している。

格子シミュレーションでは、この挙動が実際に観察されています。^{[ 2 ]}低温（閉じ込めがある）では、渦は大きく複雑なクラスターを形成し、空間を浸透します。高温（閉じ込め解除相転移以上）では、渦は小さなループを形成します。さらに、中心渦をシミュレーションから除去すると、弦の張力がほぼゼロに低下することがわかっています。^{[ 3 ]}一方、中心渦以外のすべてを除去しても、弦の張力はほぼ変化しません。これは、中心渦と閉じ込めの密接な関係を明確に示しています。これとは別に、シミュレーションでは、渦は連続体極限で有限の密度を持つこと（つまり、格子アーティファクトではなく、実際に存在する）、およびカイラル対称性の破れとトポロジカル電荷にも関連していることが示されています。^{[ 3 ]}

微妙な点の一つは、中間距離および大きなN極限における弦の張力に関するものです。中心渦の図によれば、弦の張力は、中心の下で物質場がどのように変換されるか、つまり、いわゆるN性に依存するはずです。これは、長距離の弦の張力については正しいようですが、より短い距離では、弦の張力は表現の二次カシミールに比例します。これは、いわゆるカシミールスケーリングです。これは、中心渦の周りのドメイン形成によって説明されています。^{[ 4 ]}大きなN極限では、このカシミールスケーリングは長距離まで続きます。^{[ 5 ]}

ゲージ群SO(3)を考えてみましょう。SO(3)は自明な中心を持ちますが、その基本群_π1 ( SO(3))はZ2_{です。同様に、その普遍被覆はSU(2)であり、}その中心もまたZ2です。したがって、この理論における中心渦はZ2_の下で電荷を帯びており_、渦のペアが消滅することが期待されます。

また、G ₂ゲージ理論には長距離弦張力はなく、これは中心渦像と一致します。この理論では、グルーオンがクォークを遮蔽し、クォークの量子数を持つカラーシングレット状態をもたらします。しかし、カシミールスケーリングは中間距離、つまり弦の破壊が起こる前に依然として存在します。これはドメイン形成によって説明できます。^{[ 4 ]}

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