スペクトルの非対称性

数学と物理学において、スペクトル非対称性とは、演算子の固有値のスペクトルの分布における非対称性である。数学において、スペクトル非対称性はコンパクト多様体上の楕円演算子の研究で生じ、アティヤ・シンガー指数定理によって深い意味が与えられている。物理学では、これは多数の応用があり、典型的にはディラック演算子のスペクトルの非対称性による分数電荷をもたらす。例えば、重粒子数の真空期待値は、ハミルトニアン演算子のスペクトル非対称性によって与えられる。閉じ込められたクォーク場のスペクトル非対称性は、カイラルバッグモデルの重要な特性である。フェルミオンの場合、これはウィッテン指数として知られ、フェルミオンのカシミール効果を記述するものと理解することができる。

固有値 を持つ演算子が与えられ、その正と負の数が等しい場合、スペクトルの非対称性は、 ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle B=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})\exp(-t|\omega _{n}|)}$

ここで、は符号関数です。ゼータ関数レギュレータなどの他のレギュレータも使用できます。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

定義において正と負の両方のスペクトルが必要であるため、ディラック演算子の研究ではスペクトルの非対称性がよく発生します。

例として、スペクトルを持つ演算子を考えてみましょう。

${\displaystyle \omega _{n}=n+\alpha }$

ここで、n はすべての正と負の値にわたる整数です。この場合、任意の整数 に対してが成り立ち、 に対して が成り立つことは簡単に示せます。したがって、 のグラフは周期的な鋸歯状曲線になります。 ${\displaystyle B(\alpha )}$${\displaystyle B(\alpha )=B(\alpha +m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle B(\alpha )=1/2-\alpha }$${\displaystyle B(\alpha )}$

スペクトルの非対称性に関連しているのが、演算子に関連付けられたエネルギーの真空期待値、カシミールエネルギーであり、これは次のように与えられる。

${\displaystyle E=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}|\omega _{n}|\exp(-t|\omega _{n}|)}$

この合計は形式的には発散しており、標準的な正規化手法を使用して発散を考慮して除去する必要があります。

• Atiyah, MF ; Patodi, VK ; Singer, IM (1975). 「スペクトル非対称性とリーマン幾何学 I」.ケンブリッジ哲学協会紀要. 77 (1): 43–69. doi :10.1017/S0305004100049410.
• Vepstas, Linas; Jackson, AD; Goldhaber, AS (1984). 「バリオンの2相モデルとカイラルカシミール効果」. Physics Letters B. 140 ( 5–6): 280–284. doi :10.1016/0370-2693(84)90753-6.
• Vepstas, Linas; Jackson, AD (1990). 「カイラルバッグの正当化」.物理学レポート. 187 (3): 109–143. doi :10.1016/0370-1573(90)90056-8.