架空の力

多くの問題では、非慣性参照フレームの使用が必要となります。たとえば、衛星^{[ 29 ] [ 30 ]}や粒子加速器^{[ 31 ]}に関する問題などです。図2は、特定の慣性フレームAにおける質量m、位置ベクトルx _A ( t )の粒子を示しています。慣性フレームに対する原点がX _AB ( t )で与えられる非慣性フレームBを考えます。フレームBにおける粒子の位置をx _B ( t )とします。フレームBの座標系で表された粒子にかかる力はどのようなものでしょうか？^{[ 32 ] [ 33 ]}

この質問に答えるために、B の座標軸を、3 つの座標軸に対して { 1, 2, 3 } のいずれか jを持つ単位ベクトルu _jで表すとします。すると$${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$$

この方程式の解釈は、x _{B が時刻}tにおけるフレーム B の座標で表された粒子のベクトル変位であるということです。フレーム A から見ると、粒子は次の位置にあります。 $${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$$

余談ですが、単位ベクトル { u _j } は大きさを変えることができないため、これらのベクトルの導関数は座標系 B の回転のみを表します。一方、ベクトルX _{AB は}単にフレーム A に対するフレーム B の原点の位置を示すだけであり、フレーム B の回転は含まれません。

時間微分をとると、粒子の速度は次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$$

第２項の総和は、フレームBで測定された粒子の速度、例えばvBを表す_。すなわち、 $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$$

この方程式の解釈は、フレームAの観測者から見た粒子の速度は、フレームBの観測者が速度と呼ぶもの、すなわちv _Bに、フレームBの座標軸の変化率に関連する2つの追加項を加えたものであるということです。これらの項のうちの1つは、移動する原点の速度v _ABです。もう1つは、非慣性系内の異なる位置がフレームの回転によって異なる見かけの速度を持つという事実による速度への寄与です。回転するフレームから見た点の速度の回転成分は、その点が原点から遠ければ遠いほど大きくなります。

加速度を求めるには、別の時間微分によって次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}。}$$

x _Bの時間微分にすでに使用したのと同じ式を用いると、右辺の速度微分は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$$

その結果、

この方程式の解釈は次のとおりです。フレーム A における粒子の加速度は、フレーム B の観測者が粒子の加速度a _Bと呼ぶものから構成されますが、それに加えて、フレーム B の座標軸の動きに関連する 3 つの加速度項があります。1 つはフレーム B の原点の加速度、すなわちa _ABに関連する項、2 つはフレーム B の回転に関連する項です。したがって、フレーム B の観測者は、粒子の運動が「余分な」加速度を持っていると認識し、それを粒子に作用する「力」に起因するものとしますが、フレーム A の観測者は、フレーム B の観測者がフレーム B の非慣性性を認識していないために生じる「仮想的な」力であると言います。

コリオリ力の係数 2 は、2 つの等しい寄与から生じます。(i) 回転によって速度の方向が変化するように見えるため、慣性的に一定の速度が時間とともに見かけ上変化すること (d v B _/ d t項)、および (ii) 物体の位置が変化し、回転軸に近づいたり遠ざかったりするときに、物体の速度が見かけ上変化すること (${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$x _jの変化による）。

力の観点から言うと、加速度は粒子の質量で乗算されます。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$$

フレーム B で観測される力F _B = m a _Bは、粒子にかかる実際の力F _Aと次の 関係にある。$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {架空} },}$$ どこ： $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {架空} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$$

したがって、ニュートンの第2法則が（そのフレーム内の量に関して）成り立つと仮定し、F_仮想を付加的な力として扱うことで、フレーム B における問題を解決できる可能性がある。^{[ 19 ] [ 34 ] [ 35 ]}

以下に、この結果を仮想力に適用した例をいくつか示します。遠心力に関する記事には、さらに多くの例が掲載されています。

非慣性系が役立つ一般的な状況の一つは、基準系が回転している場合です。回転運動には必ず加速度が伴うため、このような回転運動は非慣性運動となります。そのため、回転座標系を用いることで、常に仮想的な力を導入することができます。このような複雑さはあるものの、仮想的な力を用いることで、関連する計算が簡略化されることがよくあります。

仮想力の式を導出するには、座標軸の時間変化を考慮したベクトルの見かけの時間変化率の微分が必要です。フレーム「B」の回転が、右手の法則で与えられる向きで回転軸に沿って指し、大きさがで与えられる ベクトルΩで表される場合、$${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$$

すると、フレーム B を記述する 3 つの単位ベクトルのいずれかの時間微分は^{[ 34 ] [ 36 ]となります。}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$$ そして $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$$ベクトル外積 の性質を用いて検証すると、次のようになります。これらの導関数式は、慣性系における加速度と、時間とともに変化する角速度 ω( t ) で回転する座標系における加速度との関係に適用されます。前のセクションでは、添え字 A は慣性系、B は回転系を表し、_{並進加速度をすべて除去するために AB} = 0 と設定し、回転特性のみに注目します (式 1 を参照)。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$$ 項をまとめると、いわゆる加速度変換式が得られる。^{[ 37 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$$

慣性系_Aの観測者が物体に及ぼす実際の外力と呼ぶものによる物理的な加速度 a Aは、回転系Bの観測者から見た加速度a _Bだけではなく、Bの回転に関連するいくつかの追加の幾何学的加速度項を持つ。回転系から見た粒子の加速度a _Bは、上記の式を変形すると次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$

回転座標系内の観測者から見た物体に働く正味の力はF _B = m a _Bです。ニュートンの法則を用いて物体に働く正しい力を得るためには、観測者は追加の力F _fictが存在することを考慮する必要があります。したがって、結果はF _B = F _A + F _fictとなります。このように、B の観測者がニュートンの法則から物体の正しい挙動を得るために用いる仮想力は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$

ここで、第１項はコリオリ力、^{[ 38 ]}第２項は遠心力、^{[ 39 ]}第３項はオイラー力である。^{[ 40 ] [ 41 ]}

関連する例として、図3に示すように、移動座標系Bが慣性系Aの固定原点を中心として半径Rの円周上を一定の角速度ωで回転し、座標軸の向きは固定されたままであると仮定します。この場合、観測対象物の加速度は次のようになります（式1を参照）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$$ ここで、単位ベクトルは時間依存性を持たないため、総和はゼロとなる。システムBの原点は、フレームAによれば次の位置にある。 $${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$$その結果、フレームB の原点の速度は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$$これにより、 B の原点の加速が次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$$ 最初の項は $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$ これは、通常の遠心力の表現と同じ形式です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$ （この場合の標準的な用語は存在しないが）この用語を「遠心力」と呼ぶのは、標準的な用語の自然な拡張である。どのような用語を採用するにせよ、フレームBの観測者は、今回は座標系全体の軌道運動による加速度に起因する仮想的な力を導入しなければならない。この力は、座標系の原点の回転中心から半径方向に外向きに働く。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$$ そしてその規模は： $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$$

この「遠心力」は、回転座標系の場合とは異なります。回転座標系では、遠心力は物体と座標系Bの原点との距離に関係しますが、公転座標系では、遠心力は物体と座標系Bの原点との距離とは無関係で、代わりに座標系Bの原点と回転中心との距離に依存します。その結果、座標系Bで観測されるすべての物体に対して同じ仮想的な遠心力が生じます。

組み合わせの例として、図 4 は図 3 のように慣性系A の周りを公転する座標系Bを示していますが、座標系Bの座標軸は回転し、単位ベクトルu ₁は常に回転の中心を指します。この例は、遠心分離機の試験管に適用できます。この場合、ベクトルu ₁は試験管の軸に沿って上部の開口部を指します。また、月が常に地球に対して同じ面を向けている地球-月系にも似ています。^{[ 42 ]}この例では、単位ベクトルu ₃は固定された向きを維持し、ベクトルu ₁、u _{2 は}座標原点と同じ速度で回転します。つまり、 $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\$$ ;\ \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.} $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\$$ ;\ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .} したがって、移動物体の加速度は次のように表されます（式 1 を参照）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$$ ここで、一定の回転速度では角加速度項はゼロになります。最初の項は、 $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$ これは、通常の遠心力の表現と同じ形式です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$ この用語を「遠心力」と呼ぶのは、標準的な用語の自然な拡張である（ただし、この場合の標準的な用語はない）。この用語を遠心分離機内のチューブの例に適用すると、チューブが回転中心から十分に離れている場合、| X _AB | = R ≫ | x _B | 、試験管内のすべての物質は同じ加速度（同じ遠心力）を受ける。したがって、この場合、仮想力は主に回転中心から離れたチューブの軸に沿った均一な遠心力であり、その値は | F _fict | = ω ² Rである。ここで、Rはチューブ内の物質と遠心分離機の中心との距離である。遠心分離機の標準的な仕様では、遠心力を発生させる能力を推定するために、遠心分離機の「有効」半径を使用する。したがって、遠心分離機における遠心力の最初の推定値は、チューブと回転中心との距離に基づいて算出でき、必要に応じて補正を適用することができる。^{[ 43 ] [ 44 ]}

また、試験管は運動を管の長さ方向のみに制限するため、v _Bはu ₁と逆方向になり、コリオリ力はu ₂と逆方向、つまり管の壁と逆方向に働きます。管を十分に長い時間回転させると、物質が平衡分布に達するため、速度v _Bはゼロになります。詳細については、沈降とラム方程式に関する記事を参照してください。

関連する問題として、地球・月・太陽系の遠心力があり、そこには3つの回転が現れる。地球の自転軸を中心とした1日の回転、地球・月系の重心を中心とした1ヶ月の回転、そして地球・月系の太陽を中心とした1年の回転である。これらの3つの運動は潮汐に影響を与える。^{[ 45 ]}

図 5 は、慣性系観測者と回転するメリーゴーランド上の観測者を比較した別の例を示しています。^{[ 46 ]}メリーゴーランドは、右手の法則に従って上向きにベクトルΩで表される大きさωの一定の角速度で回転します。メリーゴーランドに乗っている人は、一定の速度で放射状にメリーゴーランドを横切ります。歩行者には、図 5 の 45° に傾いた直線経路のように見えます。しかし、静止している観測者には、歩行者は螺旋状の経路を移動します。図 5 で両方の経路で識別された点は、同じ時間間隔で同じ時間に対応しています。メリーゴーランドに乗っている観測者と慣性系にいる観測者の 2 人の観測者が、ニュートンの法則を使用してどのように見ているものを定式化するかを尋ねます。

この運動学的な議論では、必要な力がどのように発生するのかというメカニズムについては触れていないことに注意してください。それは動力学の領域です。メリーゴーラウンドの場合、動力学的な議論では、歩行者の靴とメリーゴーラウンドの床との間に生じる摩擦力、あるいは歩行者がスケートボードで移動する場合にはスケートボードの動力学などを研究することになるでしょう。メリーゴーラウンドを移動する手段が何であれ、上で計算した力は実現されなければなりません。非常に大まかな例えとして、家の暖房を考えてみましょう。快適に過ごすには一定の温度が必要ですが、ガスを燃やすか石炭を燃やすかはまた別の問題です。運動学はサーモスタットを設定し、動力学は炉に火をつけるのです。