エトヴェシュ効果

重力計の内部重量が地球に対して静止しているときに中性浮揚状態を維持するために必要な力を計算するには、地球の自転を考慮に入れる必要があります。赤道では、地球表面の速度は約 465 メートル毎秒 (1,674 km/h、1,040 mph)です。半径 6,378 キロメートル (地球の赤道半径) の円軌道に沿って 465 m/s の速度で物体を移動させるのに必要な向心力は、質量 1キログラムあたり約 0.034 ニュートンです。10,000 グラムの内部重量の場合、これは約 0.34 ニュートンに相当します。必要な浮揚力は、内部重量の質量 (重力加速度を乗じたもの) から 0.34 ニュートンを差し引いた値です。言い換えれば、赤道上で地球と共回転する物体は、地球の自転のおかげで、測定された重量が0.34パーセント減少する。   

東向きに 10  m/s で巡航すると、全速度は 465  + 10  = 475  m/s となり、約 0.0354 ニュートン/キログラムの向心力が必要になります。 西向きに 10 m/s で巡航すると、正味速度は 465  − 10  = 455  m/s となり、約 0.0325 ニュートン/キログラムの向心力が必要になります。したがって、東向きに巡航している間は内部の重りが中立的に浮いているとしても、進路を反転すると中立的に浮いてはなくなります。10,000 グラムの内部の重りの見かけの質量は約 3 グラム増加し、重力計のバネはこの増加した重量に対応するためにさらに伸びる必要があります。

高性能な気象モデルでは、この影響を地上規模で考慮する必要があります。地球に対して有意な速度を持つ気団は、別の高度へ移動する傾向があり、精度が厳しく求められる場合には、この点を考慮に入れなければなりません。

赤道に沿った運動の公式の導出。

このような状況において便利な座標系は、地球の重心と共動する慣性座標系です。すると、次のことが成り立ちます。地球の表面上で静止し、地球と共に回転する物体は、地球の自転軸の周りを公転しているため、その慣性座標系に対して向心加速度を受けています。

ここで求められるのは、測量飛行船が地球に対して静止している場合と、地球に対して速度を持っている場合における、求心加速度の差である。以下の導出は、東西方向または西東方向の運動のみを対象としている。

表記法:

${\displaystyle a_{u}}$は、地球の表面に沿って移動する際の全向心加速度です。

${\displaystyle a_{s}}$は、地球に対して静止しているときの向心加速度です。

${\displaystyle \Omega }$は地球の角速度であり、恒星日1日あたり1回転である。

$\displaystyle \omega _{r}}$は、地球の角速度に対する飛行船の角速度です。

${\displaystyle \left(\Omega +\omega _{r}\right)}$これは飛行船の全角速度です。

${\displaystyle u=\omega _{r}R}$は飛行船の速度（地球に対する相対速度）です。

${\displaystyle R}$は地球の半径です。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{r}&=a_{u}-a_{s}\\&=\left(\Omega +\omega _{r}\right)^{2}R-\Omega ^{2}R\\&=\Omega ^{2}R+2\Omega \omega _{r}R+\omega _{r}^{2}R-\Omega ^{2}R\\&=2\Omega \omega _{r}R+\omega _{r}^{2}R\\&=2\Omega u+{\frac {u^{2}}{R}}\\\end{aligned}}}$

赤道に沿った運動に関する上記の式は、赤道に沿って v = 465 m/s となる任意の緯度に対する以下のより一般的な式から容易に導かれることがわかった。${\displaystyle \cos \phi =1.0}$

${\displaystyle a_{r}=2\Omega u\cos \phi +{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}}$

第2項は、飛行船が地球の曲率に沿って飛行するために必要な向心加速度を表します。これは、地球の自転と飛行方向の両方に依存しません。例えば、重力測定機器を搭載した飛行機が極地の上空を一定高度で巡航する場合、飛行機の軌道は地球の曲率に沿って飛行します。この場合、角度のコサインがゼロになるため、式の第1項はゼロとなり、第2項は地球表面の曲率に沿って飛行するために必要な向心加速度を表します。

赤道に沿った運動に対するエトヴェシュ効果の数学的導出は、エトヴェシュ補正式の第一項における係数2を説明する。残るはコサイン係数である。

地球は自転しているため、球形ではなく、赤道付近に膨らみがあります。重力は地球の中心に向かって作用します。垂直抗力は地表に対して垂直です。

極地と赤道では、重力と垂直抗力は完全に逆方向です。それ以外の緯度では、両者は完全に逆方向ではないため、地球の自転軸に向かう合力が生じます。どの緯度においても、大気層の厚さを均一に保つために必要な求心力が正確に存在します。（固体地球は延性を持っています。固体地球の形状が自転速度と完全に平衡状態にない場合、せん断応力によって固体地球は数百万年かけて変形し、最終的にせん断応力が解消されます。）

ここでも、飛行船の例は、作用する力について議論するのに都合が良い。飛行船が地球に対して緯度方向に速度を持っている場合、飛行船の重量は、飛行船が地球に対して静止している場合とは異なる。

飛行船が東向きに速度を出している場合、ある意味で「スピードを出しすぎている」と言えます。これは、路面が非常に滑りやすいバンク付きサーキットを走るレーシングカーの状況に似ています。レーシングカーが速すぎると、コースから大きく外れてしまいます。飛行中の飛行船にとって、これは地球に対して静止しているときの重量と比較して、重量が減少することを意味します。

飛行船が西向きに飛行する場合、状況はバンク付きサーキットを低速で走行するレーシングカーに似ている。滑りやすい路面では車は沈み込む。飛行船の場合、それは重量の増加を意味する。

エトヴェシュ効果の第1項は、必要な向心力のうち、地球の局所的な表面に垂直な成分に比例するため、コサイン法則で表されます。つまり、赤道に近いほど、その効果は強くなります。

緯度60度に沿った移動

同じ重力計が再び使用され、その内部の分銅の質量は10,000 グラムである。

地球に対して静止している場合の重量減少の計算： 緯度60度に位置し、地球と共動する物体は、半径約3190キロメートル、速度約233 メートル/秒の円軌道を描いています。この円軌道には、質量1キログラムあたり約0.017ニュートンの向心力が必要です。 内部重量1万グラムの場合は0.17ニュートンです。緯度60度では、局所的な表面に垂直な成分（局所的な垂直方向）は、全力の半分です。したがって、緯度60度では、地球と共動する物体は、地球の自転のおかげで、重量が約0.08パーセント減少します。

エトヴェシュ効果の計算： 飛行船が 東に向かって25m/sで巡航しているとき、全速度は233  + 25  = 258m  /sとなり、約0.208ニュートンの向心力が必要となります。局所的な垂直成分は約0.104ニュートンです。 西に向かって25m/sで巡航しているとき、全速度は233  − 25  = 208m  /sとなり、約0.135ニュートンの向心力が必要となります。局所的な垂直成分は約0.068ニュートンです。したがって、緯度60度では、10,000グラムの内部重りがUターンする前後で、測定重量に 4 グラムの差が生じます。（一般的には、重量はグラムではなくニュートンで測定される力であると言われています。）

これらの図は、局所的な表面に平行な方向の成分も示しています。気象学や海洋学では、局所的な表面に平行な成分の影響をコリオリ効果と呼ぶのが一般的です。