回転する球体

アイザック・ニュートンの回転球の議論は、真の回転運動は2 つの同一の球を繋ぐ弦の張力を観察することで定義できることを証明しようと試みた。議論の根拠は、すべての観察者が 2 つの観察を行うということである。すなわち、物体を繋ぐ弦の張力 (すべての観察者にとって同じ) と球の回転速度 (回転速度が異なる観察者ごとに異なる) である。真に回転しない観察者の場合のみ、弦の張力は観察された回転速度のみで説明できる。他のすべての観察者には、計算された張力が観察された回転速度を使用して予測される張力と異なることを説明する「補正」(遠心力) が必要である。^[1] これは、真の運動と静止の「特性、原因、および結果」からの 5 つの議論の 1 つであり、一般に真の運動と静止は他の物体に対する運動または静止の特別な例として定義することはできず、絶対空間を参照してのみ定義できるという彼の主張を裏付けている。あるいは、これらの実験は「絶対回転」が何を意味するのかの操作的定義を提供するものであり、「何に対する回転か？」という問いに答えようとはしていない。^[2]一般相対性理論は、絶対空間と、原因がシステムの外部にある物理学、時空の測地線の概念を排除している。^[3]

ニュートンは、絶対空間は知覚できるものではないという事実を踏まえて、物体の真の運動を実験的に決定するにはどうすればよいかという問題に取り組もうとしました。彼によれば、そのような決定は、単に物体同士の見かけの相対運動（バケツの議論のように）ではなく、運動の原因（つまり力）を観察することによって達成できます。原因を観察できる例として、空間に浮かぶ2 つの地球儀がコードでつながれている場合、状況を評価するための他の手がかりがなくても、コードの張力を測定するだけで、2 つの物体が共通の質量の中心の周りをどれだけ速く回転しているかを示すのに十分です。（この実験では、張力という力を観察する必要があります）。また、回転の方向（時計回りか反時計回りか）は、地球儀の反対側の面に力を加え、これによってコードの張力が増加するか減少するかを確かめることでわかります（これも力が関係します）。あるいは、ニュートンの時代の恒星などのように、前述の方法によってすでに回転状態にないことが確立されている背景の物体系に対する地球儀の見かけの動きを測定することによって、回転の方向を決定することもできます。

1846年にアンドリュー・モットがニュートンの言葉を翻訳した。^{[4] [5]}

私たちには、真の運動の差である見かけの運動から、また真の運動の原因と結果である力から、私たちを導くいくつかの議論があります。たとえば、紐でつながれた 2 つの球体を、互いに一定の距離を保ちながら、共通の重心の周りを回転させるとします。紐の張力から、球体が運動軸から遠ざかろうとする力を発見できるかもしれません。... そして、球体と比較できる外部のものや感覚的なものが何もない巨大な真空の中でも、この円運動の量と決定の両方を見つけることができるかもしれません。

— アイザック・ニュートン、プリンキピア、ブック 1、スコリウム

この提案を要約すると、ボーンの次の言葉を引用できる。^[6]

もし地球が静止していて、その代わりに恒星系全体が24時間で地球の周りを反対方向に一回転するとしたら、ニュートンによれば、[現在地球の自転に起因すると考えられている]遠心力は発生しないだろう。

— マックス・ボルン：アインシュタインの相対性理論、pp. 81-82

マッハはこの議論に異議を唱え、回転する球の実験は空の宇宙では絶対に実行できない、つまりニュートンの法則が適用されない可能性があり、したがってこの実験は実際には球が宇宙で回転するときに何が起こるかを示しているだけであり、したがって、たとえば宇宙全体の質量に対する回転のみを示している可能性があると指摘した。^{[2] [7]}

私にとって、相対的な動きだけが存在します...物体が恒星に対して相対的に回転すると、遠心力が生じます。恒星に対してではなく、別の物体に対して相対的に回転すると、遠心力は生じません。

— エルンスト・マッハ;チウフォリーニとホイーラー著『重力と慣性』 387ページより引用

この矛盾を避ける解釈としては、回転球の実験は、実際には何か特定のもの（例えば絶対空間や恒星）に対する回転を定義するものではなく、むしろ絶対回転と呼ばれる運動が何を意味するかを操作的に定義するものである、というものである。^[2]

この球の例は、ニュートン自身が絶対空間に対する回転の検出について議論するために使用しました。^[8]弦の張力を説明するために必要な架空の力を確認することは、観察者が回転しているかどうかを判断する1つの方法です。架空の力がゼロの場合、回転していません。^[9]（もちろん、重力子遊園地の乗り物のような極端なケースでは、回転していることを確信する必要はありませんが、地球の表面に立っていると、問題はより微妙になります。）以下に、この観察の背後にある数学的な詳細を示します。

図 1 は、2 つの同一の球が、球をつないだ弦の中心を回転している様子を示しています。回転軸はベクトルΩとして示され、方向は右手の法則で与えられ、大きさは回転速度に等しくなります: |Ω| = ω。回転角速度ω は時間に依存しない (等速円運動) と仮定します。回転のため、弦には張力がかかっています (反作用遠心力を参照)。次に、このシステムについて、慣性フレームと回転基準フレームの観点から説明します。

弦の中点を中心とする慣性系を採用します。ボールは、座標系の原点の周りを円を描いて動きます。まず、2 つのボールのうちの 1 つを見てみましょう。等速の等速運動ではなく、等速円運動である円形の経路を移動するには、ボールに作用して速度の方向を連続的に変える力が必要です。この力は弦の方向に沿って内側に向けられており、向心力と呼ばれます。もう 1 つのボールにも同じ要件がありますが、弦の反対側にあるため、同じ大きさで方向が反対の向心力が必要です。図 2 を参照してください。これら 2 つの力は弦によって提供され、弦に張力がかかっています (これも図 2 を参照)。

弦の中間点に回転フレームを採用します。フレームがボールと同じ角速度で回転すると仮定すると、ボールはこの回転フレーム内では静止しているように見えます。ボールは動いていないので、観察者はボールが静止していると言います。ここでニュートンの慣性の法則を適用すると、ボールには力が作用していないので、弦は緩んでいるはずだと言うでしょう。しかし、弦が張られていることは明らかです。(たとえば、弦を分割して中央にバネを置くと、伸びます。) ^[10]この張力を説明するために、彼らは、フレーム内では 2 つのボールに遠心力が作用し、ボールを引き離すと提案しています。この力はどこから発生するものでもない - これは回転する世界における「人生の事実」にすぎず、これらの球体だけでなく、観察するすべてのものに作用します。この遍在する遠心力に抵抗することで、弦は張力を受け、球体が静止しているという事実にもかかわらず、観察を説明しています。^[11]

慣性系で球が回転していない（弦の張力がゼロ）場合はどうなるでしょうか？回転系での弦の張力もゼロになります。しかし、どうしてそうなるのでしょうか？回転系内の球は回転しているように見え、回転するには内向きの力が必要です。等速円運動の解析によると：^{[12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {求心} }=-m\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times x_{B}} \right)\ }$

${\displaystyle =-m\omega ^{2}R\ \mathbf {u} _{R}\ ,}$

ここで、u _Rは回転軸から球の 1 つを指す単位ベクトル、Ω は角回転を表すベクトルで、その大きさは ω 、方向は右手の法則で与えられる回転面に垂直、mは球の質量、Rは回転軸から球までの距離 (球のいずれかの位置を示す変位ベクトル | x _B | = Rの大きさ) です。回転する観測者によると、弦の張力は以前の 2 倍 (遠心力による張力と回転の向心力を提供するために必要な追加の張力) になるのではないでしょうか。回転する観測者が張力がゼロに見えるのは、回転の世界におけるもう 1 つの架空の力、コリオリの力によるもので、これは移動する物体の速度に依存します。この張力ゼロの場合、回転する観測者によると、球は現在移動しており、コリオリの力 (速度に依存) がアクティブになります。架空の力の記事によると、コリオリの力は次のようになる。^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ }$

${\displaystyle =-2m\omega \left(\omega R\right)\ \mathbf {u} _{R},}$

ここで、Rは回転中心から物体までの距離、v _{B は}コリオリの力を受ける物体の速度、| v _B | = ω Rです。

この例の幾何学では、このコリオリの力は、普遍的な遠心力の 2 倍の大きさで、方向は正反対です。したがって、最初の例で見つかった普遍的な遠心力を相殺し、さらに一歩進んで、等速円運動に必要な求心力を正確に提供します。そのため、回転する観測者は、弦に張力は必要ない、つまりコリオリの力がすべてを処理していると計算します。

球が 1 つの角速度、たとえば ω _I ( I = 慣性) で回転し、フレームが異なる速度 ω _R ( R = 回転) で回転するとどうなるでしょうか。慣性観測者は円運動を観測し、弦の張力によって球に内向きの求心力が作用します。

${\displaystyle \mathbf {T} =-m\omega _{I}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

この力は、回転する観測者から見える張力による力でもあります。回転する観測者には、球が角速度 ω _S = ω _I − ω _R ( S = 球) で円運動しているように見えます。つまり、フレームの回転速度が球の回転速度よりも遅い場合、ω _S > 0 となり、球は円周を反時計回りに進み、フレームの回転速度が速い場合、ω _S < 0 となり、球は円周を時計回りに後退するように見えます。どちらの場合も、回転する観測者には円運動が見え、正味の内向きの求心力が必要になります。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {求心性} }=-m\omega _{S}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ .}$

しかし、この力は弦の張力ではありません。そのため、回転観測者は力（慣性観測者は架空の力と呼ぶ）が存在すると結論付け、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {求心性} }=\mathbf {T} +\mathbf {F} _{\mathrm {フィクション} }\ ,}$

または、

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {フィクション} }=-m\left(\omega _{S}^{2}R-\omega _{I}^{2}R\right)\mathbf {u} _{R}\ .}$

_{架空の力は、 ω I}と ω _Sのどちらが大きいかによって符号が変わります。符号が変わる理由は、 ω _I > ω _Sの場合、球は実際には回転する観測者が測定するよりも速く動いているため、観測者は弦の張力を予想よりも大きく測定します。したがって、架空の力は張力を増加させる必要があります (外向き)。 ω _I < ω _Sの場合、状況は逆転し、架空の力は張力を減少させる必要があるため、反対の符号 (内向き) になります。

F _Fictの導入により、回転観測者と慣性観測者は弦の張力について合意できる。しかし、「この解は他の状況での一般的な経験に合致するのか、それとも単に「でっち上げた」アドホックな解なのか」という疑問が生じるかもしれない。この疑問に対する答えは、 F _{Fictのこの値が一般的な結果（}架空の力で導出される）とどのように一致するかを見ることで得られる。^[14]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})}$ ${\displaystyle \ -m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{B}\ .}$

下付き文字B は、非慣性座標系で参照される量を表します。完全な表記の詳細は、架空力にあります。一定の角速度の回転の場合、最後の項はゼロになります。他の項を評価するには、球の 1 つの位置が必要です。

${\displaystyle \mathbf {x} _{B}=R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

回転フレームから見たこの球の速度は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\omega _{S}R\mathbf {u} _{\theta }\ ,}$

ここで、u _θはu _Rに垂直で運動方向を指す 単位ベクトルです。

フレームは速度 ω _Rで回転するため、回転ベクトルはΩ = ω _R u _z ( u _{z は}z方向の単位ベクトル)、Ω × u _R = ω _R ( u _z × u _R ) = ω _R u _θ  、Ω × u _θ = −ω _R u _Rです。遠心力は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }=-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B})=m\omega _{R}^{2}R\mathbf {u} _{R}\ ,}$

これは当然フレームの回転速度のみに依存し、常に外向きである。コリオリの力は

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}=2m\omega _{S}\omega _{R}R\mathbf {u} _{R}}$

符号を変える能力があり、球がフレームよりも速く動くとき（ωS _> 0）は外側に、球がフレームよりも遅く動くとき（ωS _< 0）は内側になります。^[15]用語を組み合わせると：^[16]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Fict} }=\mathbf {F} _{\mathrm {Cfgl} }+\mathbf {F} _{\mathrm {Cor} }}$ ${\displaystyle =\left(m\omega _{R}^{2}R+2m\omega _{S}\omega _{R}R\right)\mathbf {u} _{R}=m\omega _{R}\left(\omega _{R}+2\omega _{S}\right)R\mathbf {u} _{R}}$

${\displaystyle =m(\omega _{I}-\omega _{S})(\omega _{I}+\omega _{S})\ R\mathbf {u} _{R}=-m\left(\omega _{S}^{2}-\omega _{I}^{2}\right)\ R\mathbf {u} _{R}.}$

その結果、回転する球の問題に関して上で見つかった架空の力は、一般的な結果と一致しており、この単一の例に同意をもたらすために「でっち上げた」アドホックな_{解決策ではありません。さらに、遠心力の寄与は常に外向きであるため、ω I}とω _Sのどちらが大きいかに応じて架空の力が符号を変えることを可能にするのはコリオリの力です。

宇宙背景放射の等方性は、宇宙が回転していないことを示すもう一つの指標である。^[17]