例外的な同型性

数学において、例外的な同型性は偶然の同型性とも呼ばれ、数学的対象の2つの族（通常は無限）のメンバーa _iとb _jの間の同型性であり、そのような同型性の一般的なパターンの例ではないという点で偶然の一致です。 ^{[注 1]}これらの偶然の一致は些細なことと見なされることもありますが、^{[1]他の点では、}例外的な対象などの重要な現象を引き起こす可能性があります。^[1]以下では、偶然の一致は、それが発生する構造に従って整理されています。

有限単純群の級数間の例外的な同型性は、主に射影特殊線型群と交代群に関係し、以下の通りである: ^[2]

• PSL ₂ (4) ≅ PSL ₂ (5) ≅ A ₅、最小の非可換単純群（位数60）
• PSL ₂ (7) ≅ PSL ₃ (2)、2番目に小さい非可換単純群（位数168）– PSL(2,7) ;
• PSL ₂ (9) ≅ A ₆ ;
• PSL ₄ (2) ≅ A ₈ ;
• PSU ₄ (2) ≅ PSp ₄ (3)は射影特殊ユニタリ群と射影シンプレクティック群の間に存在します。

対称群/交代群とリー型/多面体群の小群の間には一致点がある: ^[3]

• S ₃ ≅ PSL ₂ (2) ≅位数6の二面体群、
• A ₄ ≅ PSL ₂ (3)、
• S ₄ ≅ PGL ₂ (3) ≅ PSL ₂ ( Z  / 4)、
• A ₅ ≅ PSL ₂ (4) ≅ PSL ₂ (5)、
• S ₅ ≅ PΓL ₂ (4) ≅ PGL ₂ (5)、
• A ₆ ≅ PSL ₂ (9) ≅ Sp ₄ (2)′、
• S ₆ ≅ Sp ₄ (2)、
• A ₈ ≅ PSL ₄ (2) ≅ O⁺
  ₆（２）′、
• S ₈ ≅ O⁺
  ₆（２）

これらはすべて、線型代数（およびアフィンn空間上の S _nの作用）を使用して、右側から左側に向かう同型を定義することで、体系的に説明できます。（上記の A ₈と S ₈の同型は、例外的な同型SL ₄  /  μ ₂ ≅ SO ₆を介してリンクされています。）

正多面体の対称性ともいくつかの一致があります。交代群 A ₅はキラル二十面体群(それ自体が例外的なオブジェクト) と一致し、交代群 A _5の二重被覆は二元二十面体群です。

自明群はさまざまな方法で出現します。自明群は、古典的な族の初めから省略されることがよくあります。たとえば、

• C ₁、位数1の巡回群。
• A ₀ ≅ A ₁ ≅ A ₂、0、1、または2文字の交互グループ。
• S ₀ ≅ S ₁、0 または 1 文字の対称群。
• GL(0, K ) ≅ SL(0, K ) ≅ PGL(0, K ) ≅ PSL(0, K )、0次元ベクトル空間の線型群。
• SL(1, K ) ≅ PGL(1, K ) ≅ PSL(1, K )、1次元ベクトル空間の線型群
• その他多数。

球面S ⁰、S ¹、S ³は群構造を許容し、それはさまざまな方法で記述できます。

• S ⁰ ≅ Spin(1) ≅ O(1) ≅ ( Z  / 2 Z ) ⁺ ≅ Z ^×、最後は整数の単位群である。
• S ¹ ≅ スピン(2) ≅ SO(2) ≅ U(1) ≅ R  /  Z ≅円群;
• S ³ ≅ Spin(3) ≅ SU(2) ≅ Sp(1) ≅単位四元数。

上記のスピン(1)、スピン(2)、スピン(3)に加えて、高次元スピン群の同型が存在する。

• スピン(4) ≅ Sp(1) × Sp(1) ≅ SU(2) × SU(2)
• スピン(5) ≅ Sp(2)
• スピン(6) ≅ SU(4)

また、Spin(8)は例外的に3次の三元自己同型性を持つ。

ディンキン図には例外的な同型がいくつかあり、対応するコクセター群や対称性を実現する多面体の同型、および同じ図でルート系が記述されるリー代数の同型が得られます。これらは次のとおりです。

• 例外的なオブジェクト
• 数学的一致、数値的一致