ポアンカレ双対性

数学において、アンリ・ポアンカレにちなんで名付けられたポアンカレ双対定理は、多様体のホモロジー群とコホモロジー群の構造に関する基本的な結果である。これは、Mがn次元の有向閉多様体（コンパクトで境界がない）である場合、すべての整数 k に対して、 Mのk番目のコホモロジー群はMの( n − k )番目のホモロジー群に同型であることを述べている。

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).}$

ポアンカレ双対性は、その係数環に関して向きをとっている限り、任意の係数 環に対して成立します。特に、すべての多様体は mod 2 で一意の向きを持つため、向きを仮定しなくても mod 2 でポアンカレ双対性が成立します。

ポアンカレ双対性の形式は、1893年にアンリ・ポアンカレによって証明なしに初めて述べられた。それはベッティ数の観点から述べられた：「閉じた（すなわち、コンパクトで境界のない）有向n多様体のk番目と（n − k）番目のベッティ数は等しい」。コホモロジーの概念は、当時、明確化されるまでに約40年を要した。1895年の論文Analysis Situsで、ポアンカレは、彼が発明した位相交差理論を使用して定理を証明しようとした。彼の研究に対するポール・ヒーガードの批判により、彼は自分の証明に重大な欠陥があることを認識した。Analysis Situsの最初の2つの補遺で、ポアンカレは双対三角形分割の観点から新しい証明を与えた。

ポアンカレ双対性は、1930 年代にコホモロジーが登場し、エドゥアルト・チェフとハスラー・ホイットニーがカップ積とキャップ積を発明し、ポアンカレ双対性をこれらの新しい用語で定式化するまで、現代的な形をとることはありませんでした。

ポアンカレ双対性定理の現代的な記述は、ホモロジーおよびコホモロジーに関するものである。すなわち、 M が閉じた有向n多様体である場合、任意の 整数kに対して標準的に定義された同型が存在する。このような同型を定義するには、Mの固定された基本クラス[ M ] を選択します。これは、 が有向である場合に存在する。次に、同型は、要素をキャップ積にマッピングすることによって定義されます。^[1]${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ ${\displaystyle [M]\frown \alpha }$

ホモロジー群とコホモロジー群は負の次数に対してゼロと定義されるため、特にポアンカレ双対性は、向き付け可能な閉じたn多様体のホモロジー群とコホモロジー群がnより大きい次数に対してゼロであることを意味します。

ここで、ホモロジーとコホモロジーは整数であるが、同型性は任意の係数環上で有効である。有向多様体がコンパクトでない場合は、ホモロジーをボレル・ムーア・ホモロジーに置き換える必要がある。

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}^{BM}(X),}$

またはコホモロジーをコンパクトサポートを持つコホモロジーに置き換える

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{ni}(X).}$

三角形分割された多様体が与えられれば、対応する双対多面体分解が存在します。双対多面体分解は、多様体のセル分解であり、双対多面体分解のkセルは三角形分割の ( ) セルと全単射に対応し、双対多面体の概念を一般化します。 ${\displaystyle nk}$

正確には、を-多様体の三角形分割とします。を の単体とします。を を含むのトップ次元単体とします。したがって、を の頂点のサブセットとして考えることができます。に対応する双対セルを定義し、が を含むの頂点のすべてのサブセットの重心の における凸包となるようにします。 が -次元である場合、 は-次元セルであることが確認できます。さらに、の CW 分解を形成する双対セル、および- セルと交差する唯一の ( ) 次元双対セルは です。したがって、交差点をとることによって与えられるペアリングは同型 を誘導します。ここで、 は三角形分割 のセル相同性であり、およびはそれぞれ多様体の双対多面体/CW 分解のセル相同性とコホモロジーです。これが連鎖複体の同型であるという事実は、ポアンカレ双対性の証明です。大まかに言えば、これは三角形分割の境界関係が、対応の下での双対多面体分解の接続関係であるという事実に相当します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle DS}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta \cap DS}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$${\displaystyle DS}$${\displaystyle (n-i)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n-i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle DS}$${\displaystyle C_{i}M\otimes C_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle C_{i}M\to C^{\,n-i}M}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{n-i}M}$${\displaystyle C^{\,n-i}M}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S\longmapsto DS}$

は反変関手であるのに対し、は共変であることに注意する。同型写像の族 ${\displaystyle H^{k}}$${\displaystyle H_{n-k}}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$

は次のような意味で 自然である：

${\displaystyle f\colon M\to N}$

は、向きと互換性のある2つの向き付けられたn多様体間の連続写像、すなわちMの基本クラスをNの基本クラスに写像するものであるとき、

${\displaystyle D_{N}=f_{*}\circ D_{M}\circ f^{*},}$

ここで、およびはそれぞれホモロジーおよびコホモロジーにおいて によって誘導される写像です。${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$

Mの基本類をNの基本類に写像するという非常に強力で重要な仮説に注意してください。自然性は任意の連続写像には当てはまりません。一般に はコホモロジーへの注入ではないからです。たとえば、 が被覆写像である場合、 Mの基本類をNの基本類の倍数に写像します。この倍数は写像の次数です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

多様体Mがコンパクトで境界がなく、向き付け可能であると仮定すると、

${\displaystyle \tau H_{i}M}$

のねじれ部分群を表し、 ${\displaystyle H_{i}M}$

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

自由部分、つまりこのセクションで整数係数でとられるすべてのホモロジー群。次に、双対性ペアリングである双線型写像があります（以下で説明）。

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$

そして

${\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{n-i-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$。

ここでは、有理数を整数で割った商を加法群としてとっています。ねじれ結合形式では、次元に −1 があるため、対になった次元の合計はnではなくn − 1になることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

最初の形式は通常、交差積と呼ばれ、2 番目の形式はねじれ連結形式と呼ばれます。 多様体M が滑らかであると仮定すると、交差積は、ホモロジー類を横方向に摂動させ、それらの有向交差数を計算することによって計算されます。ねじれ連結形式の場合、nx を何らかのクラスzの境界として実現することによって、xとyのペアリングを計算します。次に、形式は、分子がzとyの横方向交差数であり、分母がnである分数に等しい値を取ります。

ペアリングが双対性ペアリングであるという主張は、随伴写像が

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-i}M,\mathbb {Z} )}$

そして

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-i-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

群の同型です。

この結果はポアンカレ双対性の応用である

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{n-i}M}$、

普遍係数定理と併せて、

${\displaystyle fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )}$

そして

${\displaystyle \tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$。

したがって、ポアンカレ双対性によれば、と は同型ですが、同型性を与える自然な写像は存在しません。同様に、 とも同型ですが、自然ではありません。 ${\displaystyle fH_{i}M}$${\displaystyle fH_{n-i}M}$${\displaystyle \tau H_{i}M}$${\displaystyle \tau H_{n-i-1}M}$

中次元

ほとんどの次元では、ポアンカレ双対性は異なるホモロジー群間の双線型ペアリングを誘導しますが、中間の次元では単一のホモロジー群上の双線型形式を誘導します。結果として得られる交差形式は、非常に重要な位相不変量です。

「中間次元」が何を意味するかはパリティによって異なります。より一般的な偶数次元n = 2 kの場合、これは文字通り中間次元kであり、中間ホモロジーの自由部分に次のような形式があります。

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

対照的に、あまり議論されない奇数次元n = 2 k + 1の場合、それは最も単純に下中間次元kであり、その次元のホモロジーのねじれ部分に次のような形式があります。

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

しかし、下中間次元kと上中間次元k + 1のホモロジーの自由部分の間にもペアリングが存在します。

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

結果として得られる群は、双線型形式を持つ単一の群ではありませんが、単純な連鎖複体であり、代数的L 理論で研究されています。

アプリケーション

ポアンカレ双対性へのこのアプローチは、ヨゼフ・プリティツキと安原明によって3次元レンズ空間の基本的なホモトピーと微分同相写像の分類を与えるために使用された。^[2]

ポアンカレ双対性から直接得られる結果は、任意の奇数次元の閉じた多様体M はオイラー特性が0であるということです。これにより、境界を持つ任意の多様体は偶数のオイラー特性を持つことになります。

ポアンカレ双対性はトム同型定理と密接に関係しています。をコンパクトで境界のない有向n多様体とし、M × MをMとそれ自身の積とします。V をM × Mの対角線の開いた管状近傍とします。次の写像を考えます。 ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)}$ホモロジー積
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$包含。
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$ 切除マップ、ここでは対角線の通常の円板束です。${\displaystyle \nu M}$${\displaystyle M\times M}$
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M}$トム同型写像。この写像は、有向バンドルである標準的な同一視が存在するため明確に定義されており、トム同型写像が適用されます。${\displaystyle \nu M\equiv TM}$

これらを組み合わせると、交差積である写像 が得られ、上で説明した交差積 を一般化します。キュネスの定理と同様の議論により、ねじれ結合形式が得られます。 ${\displaystyle H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M}$

このポアンカレ双対性の定式化は、キュネス定理とそのホモロジー理論のトム同型性が与えられた場合に、任意の一般化ホモロジー理論のポアンカレ双対性を定義するため、人気を博している^{[3]。ホモロジー理論のトム同型定理は、現在ではその理論の}方向性の一般化された概念と見なされている。たとえば、多様体上のスピン^C構造は、複素位相k理論内の方向性の正確な類似体である。

ポアンカレ-レフシェッツ双対定理は、境界を持つ多様体に対する一般化です。向き付け不可能な場合には、局所向きの層を考慮すると、向き付け可能性に依存しないステートメントを与えることができます。ツイストポアンカレ双対性を参照してください。

ブランチフィールド双対性は、多様体のアーベル被覆空間のホモロジーと、対応するコンパクトな台を持つコホモロジーとの間の同型性を提供するポアンカレ双対性のバージョンです。これは、アレクサンダー加群に関する基本的な構造結果を得るために使用され、結び目のシグネチャを定義するために使用できます。

1955年頃からK理論やその他の特別な理論を含むホモロジー理論の発展に伴い、多様体上の積が構築されればホモロジーを他の理論で置き換えることができることが認識され、現在では一般論としての教科書的な扱いがある。より具体的には、一般化ホモロジー理論に対する一般的なポアンカレ双対定理があり、これはホモロジー理論に関する配向の概念を必要とし、一般化トム同型定理の観点から定式化される。この点でトム同型定理は、一般化ホモロジー理論に対するポアンカレ双対性の萌芽的なアイデアと見なすことができる。 ${\displaystyle H'_{*}}$

ヴェルディエ双対性は、解析空間やスキームなどの（おそらく特異な）幾何学的オブジェクトへの適切な一般化であり、一方、交差ホモロジーは、ロバート・マクファーソンとマーク・ゴレスキーによって、実代数多様体や複素代数多様体などの成層空間に対して開発され、まさにそのような成層空間にポアンカレ双対性を一般化するために生まれました。

代数位相幾何学には、レフシェッツ双対性、アレクサンダー双対性、ホッジ双対性、S 双対性など、他にも多くの形式の幾何学的双対性があります。

より代数的に、ポアンカレ複体の概念を抽象化することができます。これは、多様体の特異鎖複体のように振る舞う代数的オブジェクトであり、特に、特定の要素（基本クラスに対応）に関して、そのホモロジー群上のポアンカレ双対性を満たします。これらは、多様体に関する質問を代数化するために手術理論で使用されます。ポアンカレ空間とは、特異鎖複体がポアンカレ複体である空間です。これらはすべて多様体ではありませんが、多様体ではないことは、障害理論によって測定できます。

• ブルハット分解
• 基礎クラス
• ワイル群

• ブランチフィールド、リチャード C. (1957)、「演算子を持つ多様体の交差理論と結び目理論への応用」、数学年報、65 (2): 340–356、doi :10.2307/1969966、JSTOR  1969966、MR  0085512
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523

• 多様体アトラスの交差形式
• マニフォールドアトラスのリンクフォーム