微分テスト

微積分学では、導関数テストは関数の導関数を使用して関数の臨界点を見つけ、各点が極大値、極小値、または鞍点であるかどうかを判断します。導関数テストは、関数の 凹面性に関する情報も提供します。

極値を見つけるための微分法の有用性は、フェルマーの停留点の定理によって数学的に証明されています。

一次導関数テストは、関数の単調性 (関数が増加または減少する点) を、その定義域内の特定の点に焦点を合わせて検査します。関数がその点で増加から減少に「切り替わる」場合、関数はその点で最高値を達成します。同様に、関数がその点で減少から増加に「切り替わる」場合、関数はその点で最低値を達成します。関数が「切り替わる」ことに失敗し、増加したまま、または減少したままの場合、最高値または最小値は達成されません。

微積分を使わずに関数の単調性を調べることは可能です。しかし、上記の単調性特性を保証する十分な条件があり、これらの条件は遭遇する関数のほとんどに当てはまるため、微積分は通常役に立ちます。

正確に言えば、f は点x を含むある開区間上で定義された実数値関数であり、さらにf はxで連続であると仮定します。

• r  > 0 の正の数が存在し、f が( x − r、x ]で弱増加し、[ x、x + r )で弱減少する場合、f はxで極大値を持ちます。
• 正の数r  > 0が存在して、 f が( x − r、x ]上で厳密に増加し、 [ x、x + r )上で厳密に増加する場合、f は( x − r、x + r )上で厳密に増加し、 xで局所的最大値または最小値を持ちません。

最初のケースでは、f はxの左または右で厳密に増加または厳密に減少する必要がないのに対し、最後のケースでは、f は厳密に増加または厳密に減少する必要があることに注意してください。 その理由は、極大値と極小値の定義では、不等式が厳密である必要がないためです。たとえば、定数関数のすべての値は、極大値と極小値の両方と見なされます。

一次導関数のテストは「増加-減少テスト」に依存しており、これは最終的には平均値定理の結果です。これは、導関数の定義方法と、関数の局所的な減少と増加との関連性、および前のセクションとの組み合わせ による直接的な結果です。

f は、臨界点a を含むある区間で定義された実変数の実数値関数であるとします。さらに、f はaで連続であり、a を含むある開区間（a自体を除く）で微分可能であるとします。

• 正の数r > 0 が存在して、 ( a − r、a ) 内のすべてのx に対してf ′ ( x ) ≥ 0が成り立ち、 ( a、a + r ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≤ 0 が成り立つ場合、 f はaで極大値を持ちます。
• 正の数r > 0 が存在して、 ( a − r、a ) 内のすべてのx に対してf ′ ( x ) ≤ 0が成り立ち、 ( a、a + r ) 内のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≥ 0 が成り立つ場合、 f はaで極小値を持ちます。
• 正の数r  > 0が存在し、 ( a − r、a )∪( a、a + r )内のすべてのxに対してf ′ ( x )> 0が成り立つ場合、 fはaで厳密に増加し、そこでは極大値も極小値も存在しません。
• 上記の条件のいずれも満たされない場合、テストは失敗します。(このような条件は空ではありません。最初の 3 つの条件のいずれも満たさない関数が存在します。例: f ( x ) = x ²  sin(1/ x ))。

再び、単調性特性に関するセクションのコメントに対応して、最初の 2 つのケースでは不等式が厳密である必要はありませんが、3 番目のケースでは厳密な不等式が必要であることに注意してください。

一次導関数検定は、物理学、経済学、工学における最適化問題を解くのに役立ちます。極値定理と組み合わせて、閉じた有界区間で定義された実数値関数の絶対最大値と最小値を見つけるために使用できます。凹面度、変曲点、漸近線などの他の情報と組み合わせて、関数の グラフを描くために使用できます。

関数の臨界点を決定した後、 2次導関数テストでは、それらの点における2次導関数の値を使用して、そのような点が極大値か極小値かを判断します。^[1]関数fが臨界点x （つまり、 f ′ ( x )=0となる点）で2回微分可能である場合、次のようになります。

• の場合、 は で極大値を持ちます。${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• の場合、 は で極小値を持ちます。${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$
• の場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle f''(x)=0}$

最後のケースでは、テイラーの定理は、高次の導関数を使用してx付近のfの挙動を決定するために使用されることがあります。

（の証明も同様）であると仮定する。仮定により、となる。すると ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

したがって、hが十分に小さい 場合、

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

これは、（直感的に、f は左から近づくにつれて減少します）の場合は となり、 （直感的に、f はxから右に行くにつれて増加します）の場合はとなることを意味します。ここで、1 次導関数テストにより、は で極小値を持ちます。 ${\displaystyle f'(x+h)<0}$${\displaystyle h<0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'(x+h)>0}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

2 次微分の関連しているが異なる用途として、関数がある点で凹型か凹型かを判断することが挙げられます。ただし、2 次微分は変曲点に関する情報は提供しません。具体的には、2 回微分可能な関数fは、 の場合は凹型、 の場合は凹型です。 の場合、2 次微分はゼロですが、変曲点ではないことに注意してください。したがって、2 次微分だけでは、特定の点が変曲点であるかどうかを判断するのに十分な情報が得られません。 ${\displaystyle f''(x)>0}$${\displaystyle f''(x)<0}$${\displaystyle f(x)=x^{4}}$${\displaystyle x=0}$

高階微分テストまたは一般微分テストでは、 2 階微分テストよりも幅広い種類の関数について、関数の臨界点が最大値、最小値、または変曲点であるかどうかを判断できます。以下に示すように、2 階微分テストは、高階 微分テストの n = 1 の特殊なケースと数学的に同一です。

f を区間 上の十分微分可能な実数値関数とし、とし、 を自然数とします。また、 cにおけるfのすべての導関数がn次導関数までゼロであり、( n  + 1) 次導関数がゼロでないものとします。 ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle c\in I}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

可能性は 4 つあり、最初の 2 つはcが極値である場合、次の 2 つはcが (ローカル) 鞍点である場合です。

• nが奇数で、c は局所的最大値です。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• nが奇数で、cは局所的最小値です。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$
• nが偶数での場合、c は厳密に減少する変曲点になります。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$
• nが偶数で、 の場合、cは厳密に増加する変曲点です。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$

n は奇数か偶数のいずれかでなければならないため、この解析テストでは、最終的に非ゼロの導関数が現れる限り、 fの任意の定常点を分類します。

点 における関数の一般的な導関数テストを実行するとします。これを行うには、関数の導関数を計算し、結果がゼロ以外になるまで対象の点で導関数を評価します。 ${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$、${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$、${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$、${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$、${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$、${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$、${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

上に示したように、点 では、関数の 0 における導関数はすべて 0 に等しくなりますが、6 番目の導関数は正です。したがってn  = 5 であり、テストにより、0 で極小値が存在します。 ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x^{6}+5}$

複数の変数を持つ関数の場合、2 次導関数テストは、臨界点における関数のヘッセ行列の固有値に基づくテストに一般化されます。特に、 fのすべての 2 次偏導関数が臨界点xの近傍で連続していると仮定すると、 xにおけるヘッセ行列の固有値がすべて正であれば、x は局所的最小値になります。固有値がすべて負であれば、x は局所的最大値になり、一部が正で一部が負であれば、その点は鞍点になります。ヘッセ行列が特異であれば、2 次導関数テストは決定的ではありません。

• チアン、アルファ C. (1984)。数理経済学の基礎的方法(第 3 版)。ニューヨーク:マグロウヒル。pp. 231–267。ISBN 0-07-010813-7。
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• スチュワート、ジェームズ(2008)。微積分学: 超越論初期版(第 6 版)。ブルックス コール センゲージ ラーニング。ISBN 978-0-495-01166-8。
• ウィラード、スティーブン（1976年）。微積分とその応用。ボストン：プリンドル、ウェーバー、シュミット。pp. 103–145。ISBN 0-87150-203-8。

• Mathworld の「2 次導関数テスト」
• 凹面と2次導関数テスト
• 収束時の最大値と最小値を見つけるためのトーマス・シンプソンの2次導関数テストの使用