三重積の法則

三重積則は、循環連鎖則、循環関係、循環則、またはオイラーの連鎖則とも呼ばれ、3 つの相互依存変数の偏導関数を関連付ける公式です。この規則は熱力学で応用されており、3 つの変数はf ( x , y , z ) = 0という形式の関数で関連付けられることが多く、各変数は他の 2 つの変数の暗黙の関数として与えられます。たとえば、流体の状態方程式は、温度、圧力、体積をこのように関連付けます。このような相互に関連する変数x、y、zの三重積則は、暗黙の関数定理の結果に相互関係を使用することから生まれ、次のように表されます。

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,}$

ここで、各因子は分子の変数の偏導関数であり、他の 2 つの関数であると考えられます。

三重積則の利点は、項を並べ替えることで、解析的に評価したり、実験的に測定したり、積分したりすることが難しい偏微分を、扱いやすい偏微分の商に置き換えることができる置換恒等式を多数導出できることです。たとえば、

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}}$

文献にはこの規則のさまざまな形式が存在します。これらは変数 { x、y、z } を並べ替えることで導き出すことができます。

非公式な導出は次の通り。f ( x , y , z ) = 0と仮定する。zをxとyの関数として書き表す。したがって、全微​​分dzは

${\displaystyle dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy}$

dz = 0の曲線に沿って移動すると仮定します。ここで、曲線はxでパラメータ化されます。したがって、 yはxで表すことができます。したがって、この曲線では

${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx}$

したがって、 dz = 0 の式は次のようになる。

${\displaystyle 0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx}$

これはすべてのdxに対して成り立つはずなので、項を整理すると次のようになる。

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}$

右辺の導関数で割ると三重積の法則が得られる。

${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1}$

この証明では、偏導関数の存在、正確な微分 dzの存在、 dz = 0である近傍での曲線の構築可能性、偏導関数とその逆数の非ゼロ値に関して多くの暗黙の仮定が置かれていることに注意してください。数学的分析 に基づく正式な証明では、これらの潜在的な曖昧さが排除されます。

関数f ( x , y , z ) = 0 （ x、y、zは互いの関数）を仮定します。変数の 全微分を書きます。 dy をdxに 代入します。連鎖律 を使用すると、右辺のdxの係数が 1 に等しいことが示され、したがってdzの係数は0 でなければなりません。2 番目の項を減算し、その逆数を掛けると、三重積の規則が得られます。 $${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz}$$ $${\displaystyle dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz}$$ $${\displaystyle dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.}$$

理想気体の法則は、圧力（P）、体積（V）、温度（T）の 状態変数を次のように関連付けます。

${\displaystyle PV=nRT}$

これは次のように書ける。

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0}$

したがって、各状態変数は他の状態変数の暗黙的な関数として記述できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}}$

上記の式から、

${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}}$

三重積則の幾何学的実現は、進行波の速度との密接な関係に見出すことができる。

${\displaystyle \phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)}$

右側には、時刻t（青の実線）と、その少し後の時刻t +Δ t （破線）で波が示されています。波は伝播するにつれてその形状を維持し、時刻t の位置xの点は、時刻t +Δ tの位置x +Δ xの点に対応します。

${\displaystyle A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).}$

この式は、 k  Δ x − ω  Δ t = 0の場合にのみすべてのxとtに対して満たされ、位相速度の式が得られる。

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.}$

三重積則との関連を明らかにするために、時刻tにおける点p _{1と、それに対応する}t +Δ tにおける点p̄ ₁ (高さは同じ)を考えます。右の図に示すように、時刻tにおけるx 座標がp̄ _{1の点と一致する点を}p ₂と定義し、p̄ _{2 を}p ₂の対応する点と定義します。p ₁とp̄ ₁の間の距離 Δ xは、 p ₂とp̄ _{2 (緑の線)}の間の距離と同じであり、この距離を Δ tで割ると波の速度が得られます。

Δ x を計算するには、 p ₂で計算された2つの偏微分を考慮する。

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.}$

これら2つの偏導関数を割り、傾きの定義（上昇÷走行）を使用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},}$

ここで負の符号は、波の運動に対して p _{1 が}p _{2 の}後ろにあるという事実を考慮している。したがって、波の速度は次のように与えられる。

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.}$

Δ t が無限小の場合には、三重積則が成立する。 ${\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)}$

${\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.}$

• 微分法の規則 – 関数の微分を計算するための規則
• 厳密な微分 – 微積分における無限小の一種（三重積の法則の別の導出がある）
• 積の法則 – 積の微分の公式
• 全微分 – 数学における微分の種類
• 三重積 – ベクトルとスカラーの三項演算。

• Elliott, JR; Lira, CT (1999).入門化学工学熱力学(第 1 版). Prentice Hall. p. 184. ISBN 0-13-011386-7。
• カーター、アシュリー H. (2001)。古典的および統計的熱力学。プレンティス ホール。p. 392。ISBN 0-13-779208-5。