超小型均一ハニカム

幾何学では、双曲空間における一様ハニカムは凸一様多面体セルのタイル張りである。3次元双曲空間には、23のコクセター群族の超コンパクト一様ハニカムがあり、ウィトフ構成として生成され、各族のコクセター図の環置換によって表される。これらの族は、2次元の双曲一様タ​​イリングと同様に、無限遠の理想頂点を含む、無限または無制限のファセットまたは頂点図を持つ一様ハニカムを生成できる。

均一なパラコンパクト H ³ハニカムのうち、11 個は正則で、つまり、その対称群は旗に対して推移的に作用します。これらには、シュレーフリ記号{3,3,6}、{6,3,3}、{3,4,4}、{4,4,3}、{3,6,3}、{4,3,6}、{6,3,4}、{4,4,4}、{5,3,6}、{6,3,5}、および {6,3,6} があり、以下に示します。4 個には有限の理想多面体セルがあります: {3,3,6}、{4,3,6}、{3,4,4}、および {5,3,6}。

これは、四面体基本領域 (ランク 4 のパラコンパクト コクセター グループ) から生成された 151 個のユニークなWythoffianパラコンパクト均一ハニカムの完全な列挙です。ハニカムは、重複する形式を相互参照するために、非主要な構成を括弧で囲んでここに索引付けされています。

交代はリストされていますが、繰り返しであるか、均一な解を生成しません。単一穴の交代は、ミラー削除操作を表します。端点が削除されると、別の単体 (四面体) ファミリが生成されます。穴に 2 つのブランチがある場合は、Vinberg 多面体が生成されますが、ミラー対称性を持つ Vinberg 多面体のみが単体群に関連し、それらの均一なハニカムは体系的に調査されていません。これらの非単体 (ピラミッド型) Coxeter グループは、四面体グループの半グループの特殊なケースを除き、このページでは列挙されていません。ここで交代として発生する 7 つの均一なハニカムには、構築に交代を必要としない 151 の Wythoffian 形式にちなんで、152 から 158 の番号が付けられています。

非単純（非四面体）パラコンパクトコクセター群の完全なリストは、2003年にP. Tumarkinによって発表されました。^{[1] H 3}の最小のパラコンパクト形式は次のように表すことができます。または^{、または [∞,3,3,∞] は、パラコンパクト双曲群 [3,4,4] の鏡映除去によって [3,4,1 +} ,4]として構成できます。=2倍になった基本領域は、四面体から四辺形のピラミッドに変わります。別のピラミッドはまたはは[4,4,1 ⁺ ,4] = [∞,4,4,∞]として構築されます。=。

巡回双曲型コクセターグラフからミラーを取り除くと、蝶ネクタイグラフになる: [(3,3,4,1 ⁺ ,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3))] または, [(3,4,4,1 ⁺ ,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] または, [(4,4,4,1 ⁺ ,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] または。=、=、=。

もう一つの非単体半群は↔。

根源的非単体的部分群は↔を三角柱領域に倍加すると、↔。

コクセター群の環置換によって生成される15の形式がある: [6,3,4]または

コクセター群の環置換によって生成される9つの形式がある: [6,3,6]または

コクセター群の環置換によって生成される9つの形式がある: [3,6,3]または

コクセター群の環置換によって生成される15の形式がある: [4,4,3]または

コクセター群の環置換によって生成される9つの形式がある: [4,4,4]または。

コクセター群の環置換によって生成される形式は11種類あり（そのうち[4,4,3]族と共有されないのは4種類だけである）、

コクセター群の環置換によって生成される7つの形式（すべて[4,4,4]族と共有）がある。

11の形式があり（[6,3,4]族と共有されないのは4つだけ）、コクセター群の環置換によって生成される：[6,3 ^1,1 ]または。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 11 種類あり、そのうち 4 つはこの族に特有である。、 と↔。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 5 つあり、そのうち 1 つは一意である。繰り返し構文は次のように関連しています。↔、↔、 そして↔。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 6 つあります。。

コクセター群の環置換によって生成される形式は11種類あり、そのうち4種類は一意である: [3,3 ^[3] ] または7は[3,3,6]の半対称形である:↔。

コクセター群の環置換によって生成される形式は11種類あり、そのうち4種類は一意である: [4,3 ^[3] ] または7は[4,3,6]の半対称形である:↔。

コクセター群の環置換によって生成される形式は11種類あり、そのうち4種類は一意である: [5,3 ^[3] ] または7は[5,3,6]の半対称形である:↔。

コクセター群の環置換によって生成される形式は11種類あり、そのうち4種類は一意である: [6,3 ^[3] ] または7は[6,3,6]の半対称形である:↔。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 8 つあり、そのうち 1 つは一意である。2つは重複しており、↔、2つとして↔、そして3つは↔。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 4 つあり、そのうち 0 個は一意です。これらは 4 つのファミリーで繰り返されます。↔（インデックス2サブグループ）、 ↔（インデックス4サブグループ）、 ↔（インデックス6サブグループ）、および ↔(インデックス 24 サブグループ)。

Symmetry in these graphs can be doubled by adding a mirror: [1[n,3^[3]]] = [n,3,6]. Therefore ring-symmetry graphs are repeated in the linear graph families.

• Uniform tilings in hyperbolic plane
• List of regular polytopes#Tessellations of hyperbolic 3-space
• Uniform honeycombs in hyperbolic space

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