アダマール微分

数学において、アダマール微分はバナッハ空間間の写像の方向微分の概念である。特に確率計画法や漸近統計学への応用に適している。^[1]

バナッハ空間と間の写像は、 すべての列とに対してとなる 写像が存在するとき、方向においてアダマール方向微分可能^[2]である。 ${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \theta \in \mathbb {D} }$${\displaystyle h\in \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi _{\theta }':\,\mathbb {D} \to \mathbb {E} }$$${\displaystyle {\frac {\varphi (\theta +t_{n}h_{n})-\varphi (\theta )}{t_{n}}}\to \varphi _{\theta }'(h)}$$${\displaystyle h_{n}\to h}$${\displaystyle t_{n}\to 0}$

この定義では、方向に関する導関数の連続性や線形性は要求されないことに注意してください。定義から連続性は自動的に得られますが、線形性は得られません。 ${\displaystyle h}$

• アダマール方向微分が存在する場合、ガトー微分も存在し、2つの微分は一致する。^[2]
• アダマール微分は、ハウスドルフ 位相ベクトル空間間の写像に対して容易に一般化できます。

関数デルタ法の一種は、アダマール方向微分可能写像に対して成り立ちます。つまり、をバナッハ空間（ボレルシグマ体を備える）内のランダム要素の列とし、ある、ある実数列、および の分離可能な部分集合に集中した値を持つランダム要素に対して弱収束が成り立つとします。すると、 でアダマール方向微分可能な測定可能写像に対して、次の式が成り立ちます（ここで、弱収束はバナッハ空間 上のボレルシグマ体 に関してです）。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \tau _{n}(X_{n}-\mu )\to Z}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {D} }$${\displaystyle \tau _{n}\to \infty }$${\displaystyle Z\in \mathbb {D} }$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \varphi :\mathbb {D} \to \mathbb {E} }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \tau _{n}(\varphi (X_{n})-\varphi (\mu ))\to \varphi _{\mu }'(Z)}$${\displaystyle \mathbb {E} }$

この結果は、部分識別モデルや弱い道具変数モデルを含む幅広い計量経済モデルの最適推論に応用できる。^[3]

• 方向微分 – 関数の瞬間的な変化率
• フレシェ微分 - ノルム空間上で定義された微分 - 全微分の一般化
• ガトー微分 – 方向微分の概念の一般化
• 微分の一般化 – 微分積分学の基本構成
• 全微分 – 数学における微分の種類