微分表記法

微分積分学では、微分を表す単一の標準的な記法は存在しません。代わりに、ライプニッツ、ニュートン、ラグランジュ、アーボガストなど、さまざまな数学者によって、関数または従属変数の導関数を表す複数の記法が提案されています。各記法の有用性は、それが使用される文脈によって異なり、特定の文脈では複数の記法を使用する方が有利な場合もあります。多変数微積分、テンソル解析、ベクトル解析における偏微分など、より専門的な設定では、添え字表記や∇演算子などの他の記法が一般的です。微分（およびその反対演算である逆微分または不定積分）の最も一般的な記法を以下に示します。

ゴットフリート・ライプニッツが用いたオリジナルの記法は、数学全体で使用されています。特に、方程式y = f ( x ) が従属変数yと独立変数xの間の関数関係とみなされる場合によく使用されます。ライプニッツの記法では、導関数を次のように記述することで、この関係が明示されます。^{[ 1 ]}$$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}.}$$さらに、 xにおけるf の導関数は次のように表される。 $$\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x){\text{ または }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ または }}{\frac {d}{dx}}f(x).}$$

高階微分は次のように表されます。^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$$ これは、記号の形式的な操作から生じる示唆的な表記法であり、例えば、 $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

点x = aにおけるyの導関数の値は、ライプニッツの記法を用いて次の 2 つの方法で表すことができます。 $$\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}{\text{ または }}{\frac {dy}{dx}}(a).}$$

ライプニッツの記法では、微分する変数を（分母に）指定することができます。これは偏微分を考える際に特に役立ちます。また、連鎖律を覚えやすく、認識しやすくする効果もあります。 $$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$$

ライプニッツの微分表記では、dxやdy（微分と呼ばれる）などの記号にそれ自体で意味を割り当てる必要はなく、一部の著者はこれらの記号に意味を割り当てようとはしていません。^{[ 1 ]} ライプニッツはこれらの記号を無限小として扱いました。後の著者は、非標準解析における無限小や外微分など、他の意味を割り当てています。一般的に、dxは未定義のままにするか、またはと等しくされます。${\displaystyle \Delta x}$dy は、 次の式によってdxに関して意味を持つように割り当てられます。

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\cdot dx,}$

これは、例えば次のように書くこともできます。

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

（下記参照）。このような方程式から、一部の文献に見られる用語では、導関数が「微分係数」（dxの係数）と呼ばれています。

著者や学術誌によっては、微分記号dをイタリック体ではなくローマン体で表記するものもあります（例：d x）。ISO /IEC 80000科学スタイルガイドでは、この表記方法を推奨しています。

微分を表す最も一般的な現代的記法の一つは、ジョセフ・ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられているが、実際にはオイラーによって考案され、ラグランジュによって普及されたものである。ラグランジュ記法では、プライム記号は導関数を表すため、プライム記法と呼ばれることもある。関数fの場合、 xにおける導関数は次のように表される。

${\displaystyle f'(x).}$

1749年に初めて印刷物として登場した。^{[ 3 ]}

高階微分は、例えばプライム記号を追加して示します。${\displaystyle f''(x)}$2階微分と${\displaystyle f'''(x)}$3階微分の場合。プライム記号を繰り返して使うと、最終的には扱いにくくなるため、一部の著者は、通常は小文字のローマ数字を使用し続けています。^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots ,}$

4次、5次、6次、およびそれ以上の階の導関数を表す。他の著者は、次のように括弧内のアラビア数字を使用する。

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .}$

この表記法では、 nを変数として、 n階微分を記述することも可能です。これは次のように書かれます。

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

ラグランジュ記法に関連するUnicode文字には以下が含まれます。

• U+2032 ◌ ′ PRIME (派生語)
• U+2033 ◌ ″ダブルプライム（2階微分）
• U+2034 ◌ ‴三重素数（三次導関数）
• U+2057 ◌ ⁗ 4次素数（4次導関数）

関数に2つの独立変数がある場合${\displaystyle f(x,y)}$次のような表記法が使われることもあります。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}\\[5pt]f_{\prime }&={\frac {\partial f}{\partial y}}=f_{y}\\[5pt]f^{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}\\[5pt]f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\ =f_{xy}\\[5pt]f_{\prime \prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f_{yy}\end{aligned}}}$

この表記法は、オイラー記法はルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストによって導入されたものですが^{[ 8 ]}、レオンハルト・オイラーは使用しなかったようです

この表記法では、 D ( D演算子) ^{[ 9 ]}またはD̃ (ニュートン・ライプニッツ演算子) ^{[ 10 ]}で表される微分演算子を使用します。 関数f ( x )に適用すると、次のように定義されます。

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.}$

^{高階微分は、 [ 6 ]}のようにDの「べき乗」として表記される（上付き文字はDの反復合成を表す）。

${\displaystyle D^{2}f}$2階微分の場合、

${\displaystyle D^{3}f}$3階微分については、

${\displaystyle D^{n}f}$n階導関数について。

D表記では、微分を行う変数は暗黙的に示されます。ただし、この変数は添え字として名前を付けることで明示的にすることもできます。fが変数xの関数である場合、これは^{[ 6 ]}のように記述することで行われます。

${\displaystyle D_{x}f}$1階微分の場合、

${\displaystyle D_{x}^{2}f}$2階微分の場合、

${\displaystyle D_{x}^{3}f}$3階微分については、

${\displaystyle D_{x}^{n}f}$n階導関数について。

f が複数の変数の関数である場合、「 D 」の代わりに「 ∂」（様式化された筆記体の小文字 d）を使用するのが一般的です。上記と同様に、添え字は導関数を表します。例えば、関数の 2 階偏導関数は、${\displaystyle f(x,y)}$は：^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\\[5pt]&\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}},\\[5pt]&\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\\[5pt]&\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.\end{aligned}}}$

§ 偏微分を参照してください。

D表記法は、微分方程式の研究 や微分代数において有用である。

アイザック・ニュートンの微分表記法（ドット表記法、フラクション、あるいは時には粗雑にフライスペック表記法^{[ 12 ]}とも呼ばれる）では、従属変数の上にドットを置きます。つまり、yがtの関数である場合、 yのtに関する導関数は次のようになります。

${\displaystyle {\dot {y}}}$

高階微分は、以下のように複数のドットを用いて表されます。

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

ニュートンはこの考えをかなり発展させた。^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\[5pt]{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\[5pt]{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\[5pt]{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\[5pt]{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\[5pt]{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\[5pt]{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\[5pt]{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}}$

ニュートンの記法に関連するUnicode文字には、以下のものがあります。

• U+0307 ◌ ̇上のドットを結合する（派生）
• U+0308 ◌ ̈二階微分の組み合わせ
• U+20DB ◌ ⃛上の3つのドットの結合（3次微分） ←「結合分音記号」＋「結合ドット上」に置き換えられました。
• U+20DC ◌ ⃜上記の4つの点を結合する（4次微分） ←「結合分音記号」を2回使用して置き換えます。
• U+030D ◌ ̍上部の垂直線を結合（積分）
• U+030E ◌ ̎上の二重垂直線を結合する（第2積分）
• U+25AD ▭白色長方形（積分）
• U+20DE ◌ ⃞結合囲み正方形（積分）
• U+1DE0 ◌ ᷠ結合ラテン小文字 N ( n階微分)

ニュートンの記法は、独立変数が時間を表す場合によく用いられます。位置yがtの関数である場合、${\displaystyle {\dot {y}}}$は速度を表す^{[ 14 ]}${\displaystyle {\ddot {y}}}$は加速度を表す。^{[ 15 ]}この表記法は物理学や数理物理学でよく使われる。微分方程式など、物理学に関連する数学の分野にも現れる。

従属変数y = f ( x ) の導関数を求める場合、別の表記法が存在する: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'.}$

ニュートンは、曲がった X ( ⵋ ) 上のサイドドットを使用して、次の偏微分演算子を開発しました。ホワイトサイドによって与えられた定義は次のとおりです。^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\[5pt]{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\!\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\[5pt]\cdot {\mathcal {X}}\!\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}}$

多変数微積分やテンソル解析など、より具体的な種類の微分が必要な場合は、別の表記法が一般的に用いられる。

単一の独立変数xの関数fの場合、独立変数の添え字を用いて導関数を表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\[5pt]f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}}$

この表記法は、複数の変数を持つ関数の偏微分を求める際に特に役立ちます。

偏微分は、一般的に微分演算子d を「 ∂ 」記号に置き換えることで、通常の微分と区別されます。例えば、f ( x , y , z )のxに関する偏微分は、 yやzに関する偏微分とは異なり、いくつかの方法で表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

この区別が重要な理由は、偏微分ではない${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}}$文脈によっては、変化率として解釈される可能性がある。${\displaystyle f}$相対的に${\displaystyle x}$すべての変数が同時に変化することを許容する場合、一方、偏微分では、${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$変化させるべき変数は一つだけであることが明示されている。

数学、物理学、工学のさまざまな分野で他の表記法が見られます。例えば、熱力学のマクスウェル関係式を参照してください。${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!S}}$は、エントロピー（添え字）Sを一定に保ちながら、体積Vに関して温度Tを微分したものであり、${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{\!P}}$これは、圧力Pを一定に保ちながら、体積に関して温度を微分したものです。これは、変数の数が自由度を超える場合に必要となり、他のどの変数を固定するかを選択する必要が生じます。

1つの変数に関する高階偏微分は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx},\\[5pt]&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx},\end{aligned}}}$

など。混合偏微分は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f_{xy}.}$

この最後のケースでは、変数は2つの表記法の間で逆の順序で記述されます。その説明は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f_{x})_{y}=f_{xy},\\[5pt]&{\frac {\partial }{\partial y}}\!\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}.\end{aligned}}}$

いわゆる多重インデックス表記は、上記の表記が煩雑になったり、表現力が不十分になったりする場合に使用されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$マルチインデックスは、${\displaystyle n}$非負整数:${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}),\ \alpha _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$。次に、以下のように定義します。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to X}$表記法

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}f}$

このように、他の方法では記述するのが面倒な結果（ライプニッツの法則など）を簡潔に表現することができます。いくつかの例は、多重指数に関する記事に記載されています。^{[ 20 ]}

ベクトル解析は、ベクトル場またはスカラー場の微分と積分を扱う学問である。3次元ユークリッド空間の場合に特有のいくつかの表記法が一般的に用いられる。

( x , y , z )は与えられたデカルト座標系であり、A は成分を持つベクトル場であると仮定します。${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})}$そして、${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$はスカラー場である。

ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された微分演算子は、∇と表記され、 delまたは nablaと呼ばれ、ベクトルの形で記号的に定義されます。

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\!,}$

ここで、用語は、演算子∇も通常のベクトルとして扱われることを象徴的に反映しています。

• グラデーション：グラデーション${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$スカラー場の${\displaystyle \varphi }$はベクトルであり、記号的には∇とスカラー場の乗算によって表現される。${\displaystyle \varphi }$、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}}$

• 乖離：乖離${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {A} }$ベクトル場Aの はスカラーであり、これは∇ とベクトルAのドット積によって記号的に表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}$

• ラプラシアン：ラプラシアン${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$スカラー場の${\displaystyle \varphi }$はスカラーであり、記号的には ∇ ²とスカラー場φのスカラー乗算によって表現される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}}$

• 回転：回転${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} }$、 または${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} }$ベクトル場Aの はベクトルであり、これは∇ とベクトルAの外積によって記号的に表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

導関数の多くの記号演算は、デカルト座標系における勾配演算子によって簡単に一般化できます。例えば、1変数積の法則は、勾配演算子を適用することでスカラー場の乗算に直接対応するものがあり、次のようになります。

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).}$

一変数微積分における他の多くの規則には、ベクトル解析における勾配、発散、回転、ラプラシアンに対応するものが存在する。

より特殊なタイプの空間については、さらに表記法が開発されている。ミンコフスキー空間での計算では、ダランベール演算子（ダランベール演算子、波動演算子、またはボックス演算子とも呼ばれる）は次のように表される。${\displaystyle \Box }$または${\displaystyle \Delta }$ラプラシアンの記号と矛盾しない場合。

• 解析学会– 19世紀のイギリスの組織で、ライプニッツの微積分学の普及を目的としていた。 
• 微分– 瞬間的な変化率（数学） 
• フラクション– 歴史的な数学的概念。微分の一形態。 
• ヘッセ行列– 2階微分行列 
• ヤコビ行列– ベクトル値関数の偏導関数の行列リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 数学記号一覧（分野別）
• 演算計算

• 微積分記号の初期の使用例、ジェフ・ミラーによって管理されています（ 2020年7月26日にWayback Machineにアーカイブされました）。