対角化可能な行列

線型代数において、正方行列は、 対角行列に相似である場合に、対角化可能または非欠陥である と呼ばれます。つまり、となる可逆行列 と対角行列が存在する場合です。これは と同等です。 (このような、は一意ではありません。) この特性は任意の線型写像に対して存在します。有限次元ベクトル空間に対して、線型写像は、の固有ベクトルから なるの順序付き基底が存在する場合、対角化可能である と呼ばれます。これらの定義は同等です。 が上記のように行列表現 される場合、 の列ベクトルは の固有ベクトルからなる基底を形成し、の対角要素は の 対応する固有値です。この固有ベクトル基底に関して、 は によって表されます。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P^{-1}AP=D}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle D}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle D}$

対角化は、上記の とを見つけるプロセスであり、これにより、その後の多くの計算が容易になります。 対角行列を べき乗するには、対角要素をそのべき乗するだけです。対角行列の行列式は、すべての対角要素の積です。このような計算は、 に簡単に一般化できます。${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$

対角化可能な行列によって表される幾何学的変換は、非同次膨張（または異方性スケーリング）です。つまり、異なる方向に異なる量で空間をスケーリングできます。各固有ベクトルの方向は、対応する固有値によって指定された係数によってスケーリングされます。

対角化できない正方行列は、欠陥行列と呼ばれます。実数要素を持つ行列が実数上で欠陥行列になることがあります。これは、実数要素を持つ任意の逆行列および対角行列では不可能であるが、複素数要素では可能であるため、複素数上で対角化可能であることを意味します。たとえば、一般的な回転行列がこれに該当します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

対角化可能行列の結果の多くは、代数的に閉じた体（複素数など）上でのみ成り立ちます。この場合、対角化可能行列はすべての行列の空間で稠密であり、これは、欠陥のある行列を小さな摂動で対角化可能行列に変形できることを意味します。また、ジョルダン・シュヴァレー分解は、任意の行列が対角化可能行列とべき零行列の一意の和であることを示します。代数的に閉じた体上では、対角化可能行列は半単純行列と同等です。

体に要素を持つ正方行列は、逆行列（つまり、一般線型群GL _n ( F )の元）が存在し、 が対角行列で ある場合、対角化可能または非欠陥であると呼ばれます。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$

対角化可能な写像と行列に関する基本的な事実は次のように表現されます。

• 体上の行列が対角化可能であるのは、その固有空間の次元の合計が に等しい場合であり、これはの固有ベクトルからなるの基底が存在する場合のみです。そのような基底が見つかった場合は、これらの基底ベクトルを列として持つ行列 を形成することができ、は の固有値を対角要素とする対角行列になります。この行列はのモード行列として知られています。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$
• 線型写像は、その固有空間の次元の合計が に等しい場合のみ対角化可能であり、これはの固有ベクトルからなるの基底が存在する場合のみ当てはまります。このような基底に関して、は対角行列によって表されます。この行列の対角要素は の固有値です。${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle \dim(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

次の十分条件（ただし必要条件ではない）は、多くの場合役立ちます。

• 行列が体上で対角化可能であるのは、行列がにおいて異なる固有値を持つ場合、つまり、その特性多項式がにおいて異なる根を持つ場合です。ただし、その逆は偽である可能性があります。が固有値 1、2、2 (すべて異なるわけではない) を持ち、対角形式 (と同様)と基底行列の変更によって対角化可能であることを考えます。が 1 より大きい次元の固有空間を持つ場合、その逆は失敗します。この例では、固有値 2 に関連付けられたの固有空間は次元 2 です。${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• を持つ線型写像は、異なる固有値を持つ場合、つまりその特性多項式がにおいて異なる根を持つ場合に対角化可能です。${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle n=\dim(V)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$

を 上の行列とします。が対角化可能な場合、 の任意のべき乗も対角化可能です。逆に、が可逆で、代数的に閉じており、の特性の整数倍でないに対して対角化可能な場合、は対角化可能です。証明: が対角化可能な場合、 はある多項式 によって消滅しますが、は重根を持たず ( であるため)、 の最小多項式で割り切れます。${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$${\displaystyle A}$

複素数 上では、ほぼすべての行列が対角化可能です。より正確には、上で対角化できない複素行列の集合は、のサブセットとして考えられ、ルベーグ測度はゼロです。また、対角化可能な行列は、ザリスキー位相に関して稠密なサブセットを形成するとも言えます。つまり、対角化できない行列は、特性多項式の判別式の消失集合の内部にあり、これは超曲面です。このことから、ノルムによって与えられる通常の（強い）位相における密度も導かれます。 上では同じことは当てはまりません。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ジョルダン・シュヴァレー分解は、演算子を半単純 (つまり、対角化可能な) 部分とべき零部分の合計として表現します。したがって、行列は、べき零部分がゼロの場合にのみ対角化可能です。言い換えると、ジョルダン形式の各ブロックにべき零部分がない場合は、行列は対角化可能です。つまり、各「ブロック」は 1 行 1 列の行列です。

次の 2 つの任意の基底とを考えます。基底 E に関して記述される 行列によって表される線形変換が存在するとします。また、次の固有方程式が存在するとします。${\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$${\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$${\displaystyle A_{E}}$

${\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}$

アルファ固有ベクトルは、E 基底に関しても記述されます。集合 F は行列 A の固有ベクトルの集合であり、任意のベクトル空間にまたがるため、に類似した対角行列である行列が存在すると言えます。言い換えると、行列 が基底 F で記述されている場合、 は対角化可能な行列です。基底の変更計算は、次のように基底を E から F に変更する遷移行列 を使用して実行します。 ${\displaystyle D_{F}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}}$、

ここで、 はE 基底から F 基底への遷移行列です。逆行列は、基底を F から E に変更する 新しい遷移行列と等しくすることができ、次の関係が得られます。${\displaystyle S_{E}^{F}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}$

遷移行列と遷移行列は両方とも可逆です。したがって、次の方法で行列を操作できます。行列はと表され、これは依然として E 基底にあります。同様に、対角行列は F 基底にあります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A}$

行列が対角化できる場合、つまり、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,}$

それから：

${\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

遷移行列 S には、基底 F に書き込まれた列として E 基底ベクトルがあります。逆に、逆遷移行列 P には、基底 E に書き込まれた F 基底ベクトルがあるため、次のようにして P をブロック行列形式で表すことができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{i}}$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},}$

結果として、次のように書くことができます。$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}$$

ブロック行列形式では、A 行列は 1x1 次元の行列であるのに対し、P は 1xn 次元の行列であると考えることができます。D 行列は、すべての対角要素を含む nxn 次元の行列として完全な形式で記述できます。

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

上記の行列乗算を実行すると、次の結果が得られます。ブロック行列の各要素を両側で個別に取ると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).}$

したがって、 の列ベクトルはの右固有ベクトルであり、対応する対角要素は対応する固有値です。 の可逆性は、固有ベクトルが線形独立であり、 の基底を形成することも示唆しています。これは、対角化可能性と対角化の標準的なアプローチの必要かつ十分な条件です。の行ベクトルはの左固有ベクトルです。${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle P^{-1}}$${\displaystyle A}$

複素行列がエルミート行列（またはより一般的には正規行列）である場合、 の固有ベクトルはの正規直交基底を形成するように選択でき、はユニタリ行列になるように選択できます。 さらに、 が実対称行列である場合、その固有ベクトルは の正規直交基底になるように選択でき、 は直交行列になるように選択できます。 ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P}$

実際の作業のほとんどでは、行列はコンピューター ソフトウェアを使用して数値的に対角化されます。これを実現するためのアルゴリズムは多数存在します。

行列の集合が同時対角化可能であるとは、集合内の任意の行列に対して が対角行列となるような可逆行列が 1 つだけ存在する場合を言う。同時対角化可能な行列を特徴付ける定理は次の通りである: 対角化可能な行列の集合が可換となるのは、集合が同時対角化可能である場合のみである。^{[1] : p. 64}${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle A}$

対角化可能な行列（ 上）全体の集合は同時に対角化可能ではない。例えば、行列 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

は対角化可能ですが、可換ではないため同時に対角化することはできません。

集合が可換な正規行列から構成される場合、かつその集合がユニタリ行列によって同時に対角化可能である場合に限ります。つまり、集合内の 任意の に対して が対角となるようなユニタリ行列が存在します。${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}AU}$${\displaystyle A}$

リー理論の言語では、同時に対角化可能な行列の集合はトーラル・リー代数を生成します。

• 反転は実数（および特性が 2 でない任意の体）上で対角化可能であり、対角線上には ±1 があります。
• 有限位数の自己準同型は、対角線上に単位根を持つ（または体の特性が自己準同型の位数を割り切れない任意の代数的に閉じた体）上で対角化可能である。これは、単位根が異なるため、最小多項式が分離可能であることから導かれる。${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 投影は対角化可能であり、対角線上に 0 と 1 が配置されます。
• 実対称行列は直交行列で対角化できます。つまり、実対称行列 が与えられた場合、何らかの直交行列 に対して は対角行列になります。より一般的には、行列 がユニタリ行列で対角化できるのは、それらが正規 である場合のみです。実対称行列の場合、 となるため、明らかにが成り立ちます。正規行列の例には、実対称 (または歪対称) 行列 (共分散行列など) やエルミート行列(または歪エルミート行列)があります。無限次元ベクトル空間への一般化については、スペクトル定理を参照してください。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}$

一般に、回転行列は実数体上では対角化できませんが、すべての回転行列は複素数体上では対角化できます。行列が対角化できない場合でも、常に「最善を尽くして」、主対角線上に固有値があり、上対角線上に 1 または 0 がある同じ特性を持つ行列を見つけることができます。これは、ジョルダン正規形として知られています。

いくつかの行列は、どの体でも対角化できません。最も顕著なのは、非零冪零行列です。これは、より一般的には、固有値の代数的重複度と幾何的重複度が一致しない場合に発生します。たとえば、

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

この行列は対角化できません。つまり、が対角行列となるような行列は存在しません。実際、には 1 つの固有値 (つまり 0) があり、この固有値の代数的重複度は 2、幾何学的重複度は 1 です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{-1}CU}$${\displaystyle C}$

実数行列の中には、実数上で対角化できないものがある。例えば、次の行列を考える。

${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}$

この行列には実固有値がないので、対角行列となるような実行列は存在しません。しかし、複素数を許せば対角化することができます。実際、 ${\displaystyle B}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{-1}BQ}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},}$

は対角行列です。反時計回りに角度だけ回転する回転行列であることは簡単にわかります。${\displaystyle Q^{-1}BQ}$${\displaystyle B}$${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$

上記の例は、対角化可能な行列の合計が対角化可能である必要がないことを示していることに注意してください。

行列を対角化するということは、固有ベクトルが基底を形成する場合、 その固有値と固有ベクトルを求めるのと同じプロセスです。たとえば、次の行列を考えます。

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}$

特性多項式 の根は固有値 です。この線形方程式を解くと、固有ベクトル と が得られ、はとなります。つまり、 の場合 となります。これらのベクトルは の基底を形成するため、基底変換行列の列ベクトルとして組み立てると、次の式が得られます。 この方程式を変換で表すと、次のようになります。 は標準基底 を固有基底 に変換するため、次の式が得られます。 したがって、 は標準基底 を固有ベクトルとして持ち、これが の定義特性となります。${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$${\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2}$${\displaystyle \left(I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)}$${\displaystyle \left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)}$${\displaystyle A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}}$$${\displaystyle P^{-1}AP\mathbf {e} _{i}=P^{-1}A\mathbf {v} _{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i},}$$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle D}$

における固有ベクトルの優先順序は存在しないことに注意する。における固有ベクトルの順序を変更すると、の対角化された形式における固有値の順序が変わるだけである。[ ^2]${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$

対角化は行列の累乗を効率的に計算するために使用できます。${\displaystyle A=PDP^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

後者は対角行列の累乗のみを扱うので計算が簡単です。例えば、上の例の 固有値を持つ行列の場合、次のように計算します。${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =1,1,2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

このアプローチは、行列指数関数や、べき級数として定義できる他の行列関数に一般化できます。たとえば、 を定義すると、次のようになります。 ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

これは、フィボナッチ数列などの線形再帰シーケンスの項の閉じた形式の表現を見つけるときに特に役立ちます。

たとえば、次の行列を考えてみましょう。

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.}$

のさまざまな累乗を計算すると、驚くべきパターンが明らかになります。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }$

上記の現象は を対角化することで説明できます。これを実現するには、の固有ベクトルからなる の基底が必要です。 そのような固有ベクトル基底の1つは次のように与えられます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},}$

ここでe _{i は}R ⁿの標準基底を表す。基底の逆変換は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$

単純な計算でわかるのは

${\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .}$

したがって、aとbはそれぞれuとvに対応する固有値です。行列の乗算の線形性により、次の式が得られます。

${\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v} .}$

標準基準に戻ると、

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

前述の関係を行列形式で表すと、

${\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},}$

それによって上記の現象が説明されます。

量子力学および量子化学計算において、行列の対角化は最も頻繁に適用される数値処理の 1 つです。基本的な理由は、無限次元ヒルベルト空間上のほとんどの物理的状況ではあるが、時間に依存しないシュレーディンガー方程式が固有値方程式であるためです。

非常に一般的な近似は、ヒルベルト空間を有限次元に切り捨てる（または投影する）ことです。その後、シュレーディンガー方程式を実対称行列または複素エルミート行列の固有値問題として定式化できます。正式には、この近似は変分原理に基づいており、下から制限されるハミルトニアンに有効です。

一次摂動論は縮退状態の行列固有値問題にもつながります。

• 欠陥のあるマトリックス
• スケーリング（ジオメトリ）
• 三角行列
• 半単純演算子
• 対角化可能な群
• ジョルダン正規形
• 重みモジュール– 結合代数の一般化
• 直交対角化