誘電率

電磁気学において、絶対誘電率は、単に誘電率と呼ばれることが多く、ギリシャ文字のε (イプシロン) で表され、誘電体材料の電気分極率の尺度です。誘電率の高い材料は、誘電率の低い材料よりも印加電界に応じて分極が大きく、その結果、材料に多くのエネルギーが蓄えられます。静電気学において、誘電率はコンデンサの静電容量を決定する上で重要な役割を果たします。

最も単純なケースでは、印加電界Eから生じる電界変位 Dは

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \ \mathbf {E} ~.}$$

より一般的には、誘電率は状態の熱力学関数です。^[1]誘電率は、印加される磁場の周波数、大きさ、方向に依存します。誘電率のSI単位はファラッド毎メートル（F/m） です。

誘電率は、絶対誘電率εと真空誘電率ε ₀の比である相対誘電率 ε _{rで表されることが多い。}

$${\displaystyle \kappa =\varepsilon _{\mathrm {r} }={\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}~.}$$

この無次元量は、しばしば曖昧に誘電率とも呼ばれる。絶対誘電率と相対誘電率の両方でよく使われる別の用語は誘電率であるが、これは物理学や工学^{[2] 、化学[3]}の分野では推奨されていない。

定義により、完全な真空の比誘電率はちょうど 1 ですが、標準温度および圧力では、空気の比誘電率はε _{r air} ≡ κ _air ≈ 1.0006 になります。

比誘電率は電気感受性（χ） と直接関係しており、

$${\displaystyle \chi =\kappa -1}$$

そうでなければ

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\ \varepsilon _{0}=(1+\chi )\ \varepsilon _{0}~.}$$

「誘電率」という用語は、1880年代にオリバー・ヘヴィサイドによって、トムソン（1872）の「透磁率」を補完するために導入されました。 ^{[4] [無関係な引用]以前は}pと書かれていましたが、 εを使用した指定は1950年代から一般的に使用されています。

誘電率のSI単位はファラッド毎メートル（F/mまたはF·m ⁻¹）である。^[5]

$${\displaystyle {\frac {\text{F}}{\text{m}}}={\frac {\text{C}}{{\text{V}}{\cdot }{\text{m}}}}={\frac {{\text{C}}^{2}}{{\text{N}}{\cdot }{\text{m}}^{2}}}={\frac {{\text{C}}^{2}{\cdot }{\text{s}}^{2}}{{\text{kg}}{\cdot }{\text{m}}^{3}}}={\frac {{\text{A}}^{2}{\cdot }{\text{s}}^{4}}{{\text{kg}}{\cdot }{\text{m}}^{3}}}}$$

電磁気学では、電界変位場 D は、電界Eの存在によって生じる特定の媒体内の電荷の分布を表します。この分布には、電荷の移動と電気双極子の再配向が含まれます。電界の変化に 「瞬時に」反応する線形、均質、等方性の非常に単純なケースでは、誘電率との関係は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \ \mathbf {E} }$$

ここで誘電率εはスカラーです。媒体が異方性の場合、誘電率は2階のテンソルになります。

一般に、誘電率は定数ではなく、媒体内の位置、適用される電界の周波数、湿度、温度、およびその他のパラメータによって変化します。非線形媒体では、誘電率は電界の強度に依存する場合があります。周波数の関数としての誘電率は、実数値または複素数値を取ることができます。

SI 単位では、誘電率はファラッド/メートル (F/m または A ² ·s ⁴ ·kg ⁻¹ ·m ⁻³ ) で測定されます。変位場Dはクーロン/平方メートル(C/m ² )の単位で測定され、電界Eはボルト/メートル (V/m)で測定されます。DとE は帯電物体間の相互作用を表します。Dはこの相互作用に関連する電荷密度に関連し、E は力と電位差に関連しています。

真空の誘電率ε _o（自由空間の誘電率または電気定数とも呼ばれる）は、⁠だ/え⁠自由空間ではクーロン力定数にも現れ、

$${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{\ 4\pi \varepsilon _{0}\ }}}$$

その価値は^{[6] [7]}

$${\displaystyle \varepsilon _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}\approx 8.854\,187\,8128(13)\times 10^{-12}{\text{ F/m }}}$$

どこ

• cは自由空間における光の速度であり、
• µ _{0 は}真空透磁率です。

定数cとµ _{0 は、} SI 単位系が 2019 年に改訂されるまで、正確な数値を持つように定義されていました。そのため、その日までは、 結果が無理数であっても (分数にπ が含まれているため) 、 ε _{0 を}分数として正確に表すことができました。 ^[8]対照的に、アンペアは 2019 年以前は測定された量でしたが、それ以降はアンペアが正確に定義され、μ _{0は実験的に測定された量 (結果として不確実性を伴う) となり、したがって}ε ₀の新しい 2019 年の定義も同様になりました( c は2019 年以前もそれ以降も正確に定義されたままです)。 ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{c^{2}\mu _{0}}}={\tfrac {1}{35\,950\,207\,149.472\,7056\pi }}{\text{ F/m}}\ }$

均質材料の線形誘電率は通常、自由空間の誘電率に対する相対誘電率ε _r（誘電率とも呼ばれますが、この用語は非推奨であり、静的なゼロ周波数の相対誘電率のみを指す場合もあります）として表されます。異方性材料では、相対誘電率がテンソルになり、複屈折を引き起こす場合があります。実際の誘電率は、相対誘電率にε _oを掛けて計算されます。

$${\displaystyle \ \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\ \varepsilon _{0}=(1+\chi )\ \varepsilon _{0}\ ,}$$

ここで、χ（多くの場合χ _eと表記される）は材料の電気感受性である。

磁化率は、電界Eと誘導誘電分極密度Pを関連付ける比例定数（テンソルの場合もある）として定義され、

$${\displaystyle \ \mathbf {P} \ =\ \varepsilon _{0}\ \chi \ \mathbf {E} \;,}$$

ここでεo_は自由空間の誘電率である。

媒体の磁化率はその比誘電率ε _rと次の式 で関係する。

$${\displaystyle \chi =\varepsilon _{\mathrm {r} }-1~.}$$

真空の場合、

$${\displaystyle \chi =0~.}$$

磁化率は、クラウジウス-モソッティの関係によって、媒体内の個々の粒子の分極率とも関連しています。

電気変位 Dは分極密度Pと次の式 で関係する。

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\ \mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\ (1+\chi )\ \mathbf {E} =\varepsilon _{\mathrm {r} }\ \varepsilon _{0}\ \mathbf {E} ~.}$$

媒質の誘電率εと透磁率 µ の組み合わせによって位相速度 v = ⁠が決まる。c/ん⁠その媒体を通過する電磁放射:

$${\displaystyle \varepsilon \mu ={\frac {1}{\ v^{2}}}~.}$$

コンデンサの静電容量は設計と構造に基づいており、充電や放電によって変化しません。平行板コンデンサの静電容量の式は次のように表されます。

$${\displaystyle C=\varepsilon \ {\frac {A}{d}}}$$

ここでは1枚のプレートの面積、はプレート間の距離、 は2枚のプレート間の媒体の誘電率です。比誘電率 のコンデンサの場合、次のように言えます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle C=\kappa \ \varepsilon _{0}{\frac {A}{d}}}$$

誘電率はガウスの法則を通じて電束（ひいては電場）と関連している。ガウスの法則は、閉じたガウス 面Sに対して、

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ ,}$$ ここで、は表面を通過する正味の電気フラックス、はガウス面内に囲まれた電荷、は表面上の特定の点における電界ベクトル、はガウス面上の微分面積ベクトルです。 ${\displaystyle \Phi _{E}}$${\displaystyle Q_{\text{enc}}}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$

ガウス面が均一に絶縁された対称的な電荷配置を囲んでいる場合、式は次のように簡略化できる。

$${\displaystyle E\ A\ \cos \theta ={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ }}\ ,}$$ ここで、は電界線とSの法線（垂直線）との間の角度を表します。 ${\displaystyle \ \theta \ }$

すべての電界線が表面を90°で横切る場合、式はさらに次のように簡略化されます。

$${\displaystyle \ E={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ A\ }}~.}$$

球の表面積は均一な球状の電荷配置から離れた 電界であるため、${\displaystyle \ 4\pi r^{2}\ ,}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \ E={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}A\ }}={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}\ \left(4\ \pi \ r^{2}\right)\ }}={\frac {Q}{\ 4\pi \ \varepsilon _{0}\ r^{2}\ }}~.}$$

この式は、点電荷、導電性球またはシェルの外側、均一に帯電した絶縁球の外側、または球状コンデンサのプレート間による電界に適用されます。

一般的に、物質は印加された電界に応じて瞬時に分極することはできないため、時間の関数としてのより一般的な定式化は次のようになる。

$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi \left(t-t'\right)\mathbf {E} \left(t'\right)\,\mathrm {d} t'~.}$$

つまり、分極は、χ (Δ t )で与えられる時間依存の磁化率と以前の時間の電場との畳み込みです。 Δ t < 0に対してχ (Δ t ) = 0と定義すると、この積分の上限は無限大まで拡張することもできます。 瞬間的な応答は、ディラックのデルタ関数の磁化率χ (Δ t ) = χδ (Δ t )に対応します。

時間に関してフーリエ変換し、この関係を周波数の関数として表すと便利です。畳み込み定理により、積分は単純な積になります。

$${\displaystyle \ \mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\ \chi (\omega )\ \mathbf {E} (\omega )~.}$$

この磁化率の周波数依存性は、誘電率の周波数依存性につながります。周波数に対する磁化率の形状は、材料の 分散特性を特徴付けます。

さらに、因果律の結果として、分極は以前の時点の電場にのみ依存する（つまり、Δ t < 0の場合、実質的にχ (Δ t ) = 0 ）という事実は、磁化率χ (0)にクラマース・クローニッヒ制約を課します。

真空の応答とは対照的に、外部フィールドに対する通常の材料の応答は、一般的にフィールドの周波数に依存します。この周波数依存性は、材料の分極が電界が適用されても瞬時に変化しないという事実を反映しています。応答は常に因果的（適用されたフィールドの後に発生する）であり、位相差で表すことができます。このため、誘電率は、適用されたフィールドの （角）周波数 ωの複雑な関数として扱われることがよくあります。

$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$$

（複素数は大きさと位相の指定を可能にするため）。したがって誘電率の定義は次のようになる。

$${\displaystyle D_{0}\ e^{-i\omega t}={\hat {\varepsilon }}(\omega )\ E_{0}\ e^{-i\omega t}\ ,}$$ どこ

• D _oとE _{o は}それぞれ変位と電場の振幅であり、
• i は虚数単位で、i ² = − 1です。

静電場に対する媒体の応答は、誘電率の低周波限界（静的誘電率ε _s（ε _DCとも呼ばれる）とも呼ばれる）によって記述されます。

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {s} }=\lim _{\omega \rightarrow 0}{\hat {\varepsilon }}(\omega )~.}$$

高周波限界（光周波数を意味する）では、複素誘電率は一般にε _∞（またはε _opt ^[10]と呼ばれることもある）と呼ばれる。プラズマ周波数​​以下では、誘電体は電子ガス挙動を伴う理想的な金属として振る舞う。静的誘電率は低周波の交流場の良い近似値であり、周波数が増加すると、DとEの間に測定可能な位相差δが現れる。位相シフトが顕著になる周波数は、温度と媒体の詳細に依存する。中程度の場の強度（E _o）では、DとEは比例関係のままであり、

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}={\frac {D_{0}}{E_{0}}}=|\varepsilon |e^{-i\delta }~.}$$

交流磁場に対する材料の応答は複素誘電率によって特徴付けられるため、実部と虚部を分離するのが自然であり、慣例により次のように行われます。

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )=\left|{\frac {D_{0}}{E_{0}}}\right|\left(\cos \delta -i\sin \delta \right)~.}$$

どこ

• ε′は誘電率の実部です。
• ε″は誘電率の虚数部です。
• δ は損失角です。

時間依存性e ^{− iωt}の符号の選択は、誘電率の虚数部の符号規則を決定します。ここで使用される符号は物理学で一般的に使用される符号に対応していますが、工学上の規則ではすべての虚数を逆にする必要があります。

複素誘電率は、複数の周波数で発生する分散現象を重ね合わせて記述したものであるため、通常は周波数ωの複雑な関数です。誘電関数ε ( ω )は、虚数部が正の周波数に対してのみ極を持つため、クラマース・クローニッヒの関係式を満たします。ただし、実際に研究されることが多い狭い周波数範囲では、誘電率は周波数に依存しないものとして、またはモデル関数によって近似できます。

与えられた周波数において、虚数部ε″は、正（上記の符号規則による）の場合は吸収損失につながり、負の場合は利得につながります。より一般的には、異方性誘電テンソルの固有値の虚数部を考慮する必要があります。

固体の場合、複素誘電関数はバンド構造と密接に関係している。結晶材料の電子構造を特徴付ける主要な量は光子吸収の確率であり、これは光学誘電関数の虚数部ε ( ω )に直接関係している。光学誘電関数は基本式で与えられる: ^[11]

$${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1+{\frac {8\pi ^{2}e^{2}}{m^{2}}}\sum _{c,v}\int W_{c,v}(E){\bigl (}\varphi (\hbar \omega -E)-\varphi (\hbar \omega +E){\bigr )}\,\mathrm {d} x~.}$$

この式で、W _{c , v} ( E ) は、エネルギーEにおけるブリルアンゾーン平均遷移確率と結合状態密度の積を表します。^{[12] [13]} J _{c , v} ( E ) ; φは広がり関数であり、エネルギー準位をぼかす散乱の役割を表します。^{[14]一般に、広がりは}ローレンツとガウス の中間です。^{[15] [16]} 合金の場合は、ナノメートルスケールの局所組成の統計的変動による強い散乱のため、ガウスにいくらか近くなります。

磁化プラズマのドルーデモデルによれば、軸方向に磁化された半導体におけるミリ波およびマイクロ波周波数の交流電界とキャリアの相互作用を考慮したより一般的な表現では、誘電率を非対角テンソルとして表現する必要がある。^[17]

$${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )={\begin{vmatrix}\varepsilon _{1}&-i\varepsilon _{2}&0\\i\varepsilon _{2}&\varepsilon _{1}&0\\0&0&\varepsilon _{z}\\\end{vmatrix}}\;\operatorname {\mathbf {E} } (\omega )}$$

ε _{2 が}ゼロの場合、テンソルは対角ですが単位元に比例せず、媒体は一軸媒体と言われ、一軸結晶と同様の特性を持ちます。

物質は、実数ε ′と虚数ε ″成分（または、導電率σ （後者で考慮される場合））の比較に基づいて、複素数値誘電率εによって分類できます。完全導体は無限大の導電率σ = ∞を持ちますが、完全誘電体は導電率が全くない物質ですσ = 0 。この後者の場合、実数値誘電率（または虚数成分がゼロの複素数値誘電率）は、損失のない媒体という名前でも知られています。^[18]一般に、⁠σ/ωε ′⁠ ≪ 1我々はこの材料を低損失誘電体（ただし、完全に無損失ではない）とみなしているが、 ⁠σ/ωε ′⁠ ≫ 1 は良導体と関連しています。無視できない導電性を持つこのような材料は、電磁波の伝播を阻害する大きな損失を生み出すため、損失媒体とも呼ばれます。どちらの制限にも該当しない材料は、一般媒体と見なされます。

損失のある媒体の場合、つまり伝導電流が無視できない場合、流れる総電流密度は次のようになります。

$${\displaystyle J_{\text{tot}}\ =\ J_{\mathrm {c} }+J_{\mathrm {d} }=\sigma \ E\ +\ i\ \omega \ \varepsilon '\ E=i\ \omega \ {\hat {\varepsilon }}\ E\ }$$

どこ

• σは媒体の導電率です。
• ${\displaystyle \ \varepsilon '\ =\ \varepsilon _{0}\ \varepsilon _{\mathsf {r}}\ }$誘電率の実部です。
• ${\displaystyle \ {\hat {\varepsilon }}\ =\ \varepsilon '-i\ \varepsilon ''\ }$複素誘電率

これは、複素共役の曖昧さに関する電気工学の慣例を使用していることに注意してください。物理/化学の慣例には、これらの方程式の複素共役が含まれます。

変位電流の大きさは、印加磁場Eの周波数 ωに依存します。一定の磁場では変位電流は発生しません。

この形式では、複素誘電率は次のように定義される: ^{[19] [20]}

$${\displaystyle \ {\hat {\varepsilon }}\ =\ \varepsilon '\left(\ 1\ -\ i\ {\frac {\sigma }{\ \omega \varepsilon '\ }}\ \right)\ =\ \varepsilon '\ -\ i\ {\frac {\ \sigma \ }{\ \omega \ }}}$$

一般に、誘電体による電磁エネルギーの吸収は、周波数の関数として誘電率の形状に影響を与えるいくつかの異なるメカニズムによって行われます。

• まず、永久および誘導分子双極子に関連する緩和効果があります。低周波数では、電場の変化が遅いため、電場が測定可能なほど変化する前に双極子が平衡に達します。媒体の粘性のために双極子の向きが印加電場に追従できない周波数では、電場のエネルギーが吸収されてエネルギーが散逸します。双極子が緩和するメカニズムは誘電緩和と呼ばれ、理想的な双極子の場合は古典的なデバイ緩和によって説明されます。
• 2 つ目は共鳴効果で、これは原子、イオン、または電子の回転または振動から生じ、これらのプロセスは、それぞれの特性吸収周波数の近傍で観測されます。

上記の効果は、多くの場合、組み合わさってコンデンサ内で非線形効果を引き起こします。たとえば、誘電吸収とは、長時間充電されたコンデンサが短時間放電しても完全に放電できないことを指します。理想的なコンデンサは放電後もゼロボルトのままですが、実際のコンデンサには小さな電圧が発生します。この現象は、ソークエイジまたはバッテリーアクションとも呼ばれます。多くのポリマーフィルムなどの一部の誘電体では、結果として生じる電圧は元の電圧の1〜2％未満になる場合があります。ただし、電解コンデンサまたはスーパーキャパシタの場合は15〜25％にもなることがあります。

量子力学の観点から見ると、誘電率は原子と分子の相互作用によって説明されます。

低周波では、極性誘電体内の分子は印加電界によって分極され、周期的な回転を誘発します。たとえば、マイクロ波周波数では、マイクロ波電界が水分子の周期的な回転を引き起こし、水素結合を破壊するのに十分です。電界は結合に逆らって作用し、エネルギーは熱として物質に吸収されます。これが、電子レンジが水を含む物質に非常によく機能する理由です。水の虚数成分 (吸収指数) には 2 つの最大値があり、1 つはマイクロ波周波数で、もう 1 つは遠紫外線(UV) 周波数です。これらの共鳴は両方とも、電子レンジの動作周波数よりも高い周波数で発生します。

中程度の周波数では、エネルギーは回転を引き起こすには高すぎますが、電子に直接影響を与えるには低すぎ、共鳴分子振動の形で吸収されます。水中では、ここで吸収指数が急激に低下し始め、虚誘電率が最小になるのは青色光の周波数（光学領域）です。

高周波（UV以上）では分子は緩和できず、エネルギーは原子に完全に吸収され、電子エネルギーレベルが励起されます。したがって、これらの周波数は電離放射線に分類されます。

完全なab initio (つまり、第一原理) モデリングを実行することは現在では計算的に可能ですが、まだ広く適用されていません。したがって、現象論的モデルは、実験的動作を捉える適切な方法として受け入れられています。デバイ モデルとローレンツ モデルは、それぞれ 1 次と 2 次 (RC 共振回路と LRC 共振回路など) の集中システム パラメータ線形表現を使用します。

物質の比誘電率は、さまざまな静的電気測定によって調べることができます。複素誘電率は、10 ⁻⁶から10 ¹⁵ヘルツの約 21 桁をカバーするさまざまな種類の誘電分光法を使用して、広範囲の周波数にわたって評価されます。また、クライオスタットとオーブンを使用することで、さまざまな温度範囲にわたって媒体の誘電特性を特徴付けることができます。このように多様な励起場のシステムを研究するために、それぞれが特定の周波数範囲に適したいくつかの測定セットアップが使用されます。

様々なマイクロ波測定技術はChenら[ ^{21]に概説されている}。導電面の間に物質のパックを使用するハッキ・コールマン法の典型的な誤差は約0.3％である。^[22]

• 低周波時間領域測定（10 ⁻⁶～ 10⁺  3Hz)
• 低周波周波数領域測定（10 ⁻⁵～ 10⁺  6Hz)
• 反射同軸方式（10⁺⁶～10⁺  10Hz)
• 伝送同軸方式（10⁺⁸～10⁺  11Hz)
• 準光学的手法（10⁺⁹から10⁺  10Hz)
• テラヘルツ時間領域分光法（10⁺¹¹から10⁺  13Hz)
• フーリエ変換法（10⁺¹¹から10⁺  15Hz)

赤外線および光周波数では、エリプソメトリーが一般的な手法です。また、二重偏光干渉法は、光周波数での非常に薄いフィルムの複素屈折率を測定するのにも使用されます。

光周波数における誘電テンソルの3D測定には、誘電テンソルトモグラフィーを使用することができる。^[23]

• Bottcher, CJF; von Belle, OC; Bordewijk, Paul (1973)。電気分極の理論。第 1 巻: 誘電分極。Elsevier。ISBN 0-444-41579-3。（第2巻、1978年出版）
• フォン・ヒッペル、アーサー（1954）。誘電体と波。ISBN 0-89006-803-8。
• フォン・ヒッペル、アーサー編 (1966)。誘電体材料とその応用：22人の寄稿者による論文。ISBN 0-89006-805-4。

• 「第 11 章」。lightandmatter.com。電磁気学。2011 年 6 月 3 日にオリジナルからアーカイブ。– オンライン教科書の1章