レッドヘッファーのスター製品

数学において、レドヘファーのスター積は、線形方程式の結合システムを解く際に生じる線形演算子の二項演算である。これは1959 年にレイモンド・レドヘファーによって導入され、 ^{[1]その後、}散乱行列の計算方法で広く採用されてきた。異なる線形散乱体からの 2 つの散乱行列が与えられると、レドヘファーのスター積は、1 つの散乱体の出力チャネルの一部またはすべてを別の散乱体の入力に接続した ときに生成される結合散乱行列を生成する。

がブロック行列 と で、 のときブロックの形状が同じであると します。Redhefferスター積は次のように定義されます。 ^[1]${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle A_{ij},B_{kl}}$${\displaystyle ij=kl}$

${\displaystyle A\star B={\begin{pmatrix}B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{11}&B_{12}+B_{11}(I-A_{12}B_{21})^{-1}A_{12}B_{22}\\A_{21}+A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{21}A_{11}&A_{22}(I-B_{21}A_{12})^{-1}B_{22}\end{pmatrix}}}$ 、

が可逆であると仮定すると、 はそれぞれまたは に従う単位行列です。これは、いわゆる プッシュスルー単位行列を利用して、いくつかの方法で書き直すことができます。 ${\displaystyle (I-A_{12}B_{21}),(I-B_{21}A_{12})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A_{12}B_{21}}$${\displaystyle B_{21}A_{12}}$ ${\displaystyle (I-AB)A=A(I-BA)\iff A(I-BA)^{-1}=(I-AB)^{-1}A}$

レッドヘッファーの定義は、行列を超えて ヒルベルト空間上の線型作用素にまで拡張されます。 ^[2] 定義により、は の線型自己準同型であり、の線型自己準同型を形成します。ここで、 は直和です。ただし、変換が互換性がある限り、スター積は依然として意味を持ちます。これは、 および のときに可能であり 、 となる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle A_{ij},B_{kl}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \oplus}$${\displaystyle A\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\alpha },H_{\alpha }\oplus H_{\gamma })}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {L(H_{\alpha }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\alpha })}}}$${\displaystyle A\star B\in {\mathcal {L(H_{\gamma }\oplus H_{\beta },H_{\beta }\oplus H_{\gamma })}}}$

${\displaystyle (I-A_{12}B_{21})^{-1}}$が存在する場合にのみ存在します 。 ^[3] したがって、どちらかが存在する場合、Redhefferスター積も存在します。 ${\displaystyle (I-B_{21}A_{12})^{-1}}$

スターアイデンティティは、または上のアイデンティティです。 ^[2]${\displaystyle {\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&I\end{pmatrix}}}$

スター積は、関連するすべての行列が定義されている限り結合的である。 ^[3] したがって。 ${\displaystyle A\star B\star C=(A\star B)\star C=A\star (B\star C)}$

どちらかの辺が存在する場合、レドヘッファースター積の随伴項はである。 ^[2]${\displaystyle (A\star B)^{*}=B^{*}\star A^{*}}$

がの左逆行列で、 が右逆行列を持ち、 が 存在する場合、 となります。 ^[2] 同様に、がの左逆行列で、が右逆行列を持ち、 が 存在する場合、 となります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle BA=I}$${\displaystyle A_{22}}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A\star B=I}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle BA=I}$${\displaystyle A_{11}}$${\displaystyle B\star A}$${\displaystyle B\star A=I}$

また、と に左逆が存在する場合、 となります。 ${\displaystyle A\star B=I}$${\displaystyle A_{22}}$${\displaystyle BA=I}$

スター逆行列は行列逆行列と等しく、両方ともブロック逆行列で 計算できる 。 ^[2]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}&(A_{21}-A_{22}A_{12}^{-1}A_{11})^{-1}\\(A_{12}-A_{11}A_{21}^{-1}A_{22})^{-1}&(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}\end{pmatrix}}}$。

スター積は、変数を共有する複数の線形方程式系を解くことから生じる。多くの場合、各線形システムは物理プロセスにおける1つのサブシステムの挙動をモデル化し、複数のサブシステムを1つに接続することで、サブシステム間で共有される変数を排除して全体的な線形システムを得ることができる。たとえば、ヒルベルト空間の要素を次のように するとする^[4]${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{4}\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{3}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

変数 に次の方程式を与えます。${\displaystyle 4}$${\displaystyle 6}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=A_{11}x_{5}+A_{12}x_{4}\\x_{6}&=A_{21}x_{5}+A_{22}x_{4}\\x_{1}&=B_{11}x_{3}+B_{12}x_{2}\\x_{4}&=B_{21}x_{3}+B_{22}x_{2}\end{aligned}}}$。

最初の方程式を最後の方程式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle x_{4}=(I-B_{21}A_{12})^{-1}(B_{21}A_{11}x_{5}+B_{22}x_{2})}$。

最後の式を最初の式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle x_{3}=(I-A_{12}B_{21})^{-1}(A_{11}x_{5}+A_{12}B_{22}x_{2})}$。

前の2つの式を次の式に代入して消去する と、Redhefferスター積は次の行列となる。 ^[1]${\displaystyle x_{3},x_{4}}$${\displaystyle x_{1},x_{6}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{6}\end{pmatrix}}=(A\star B){\begin{pmatrix}x_{5}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$。

多くの散乱プロセスは、散乱行列の線形システムのブロック構造に異なる規則を適用する形式をとります。通常、電磁波や量子力学的散乱における線形誘電体媒体など、入力に対して線形変換を実行する物理デバイスは、さまざまなポートを介して環境と相互作用するシステムとしてカプセル化できます。各ポートは入力を受け入れ、出力を返します。ヒルベルト空間には、異なる表記法 を使用するのが一般的です。この表記の下付き文字は、デバイス上のポートを表します。さらに、任意の要素 には、移動方向を表す上付き文字が追加されます (+ はポート i から i+1 への移動を示し、- はその逆を示します)。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}}$${\displaystyle c_{i}^{\pm }\in {\mathcal {H}}_{i}}$

前のセクションで使用した Redheffer変換の同等の表記は、 ${\displaystyle R\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{2}\oplus H_{1})}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}R_{11}&R_{12}\\R_{21}&R_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}}$ 。

S行列の作用は、 Redhefferの定義と比較して、追加の反転で定義されます。^[5]${\displaystyle S\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1}^{-}\\c_{2}^{+}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}}$ 、

したがって、となります 。 の非対角単位行列を定義するには、 が同じ基礎ヒルベルト空間である必要があることに注意してください。 (下付き文字は違いを意味するものではなく、単に記録用のラベルです。) ${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}R}$${\displaystyle {\mathcal {H_{1},H_{2}}}}$

２つのS行列のスター積は^[5]で与えられる。 ${\displaystyle \star _{S}}$${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\star _{S}B={\begin{pmatrix}A_{11}+A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{11}A_{21}&A_{12}(I-B_{11}A_{22})^{-1}B_{12}\\B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{21}&B_{22}+B_{21}(I-A_{22}B_{11})^{-1}A_{22}B_{12}\end{pmatrix}}}$ 、

ここで、 なので、 です。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{2},H_{1}\oplus H_{2})}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{3},H_{2}\oplus H_{3})}}}$${\displaystyle A\star _{S}B\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{3},H_{1}\oplus H_{3})}}}$

これらは、に対するの特性の類似物です。 そのほとんどは、対応 から得られます 。交換演算子 は、以下で定義される S 行列のスター アイデンティティでもあります。このセクションの残りの部分では、は S 行列です。 ${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star _{S}}$${\displaystyle J(A\star B)=(JA)\star _{S}(JB)}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A,B,C}$

${\displaystyle A\star _{S}B}$ または の いずれかが存在する場合に存在します 。 ${\displaystyle (I-A_{22}B_{11})^{-1}}$${\displaystyle (I-B_{11}A_{22})^{-1}}$

S行列のスターアイデンティティは である 。これは、${\displaystyle J}$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle J\star _{S}S=S\star _{S}J=S}$

の結合法則は、行列の乗算の 結合法則から導かれます。${\displaystyle \star _{S}}$${\displaystyle \star }$

との対応、および の随伴から、次の式が得られる。 ${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star _{S}}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle (A\star _{S}B)^{*}=J(B^{*}\star _{S}A^{*})J}$

は、 の S 行列スター積逆行列であり 、 は通常の逆行列であり、は 上 で定義されたとおりです。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma \star _{S}S=S\star _{S}\Sigma =J}$${\displaystyle JS^{-1}J}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle J}$

散乱行列は、作用 を伴う伝達行列 、 として書き直すことができることに注意する 。ここ で、 ^[6]${\displaystyle T}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{2}^{+}\\c_{2}^{-}\end{pmatrix}}=T{\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{\scriptscriptstyle ++}&T_{\scriptscriptstyle +-}\\T_{\scriptscriptstyle -+}&T_{\scriptscriptstyle --}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{21}-S_{22}S_{12}^{-1}S_{11}&S_{22}S_{12}^{-1}\\-S_{12}^{-1}S_{11}&S_{12}^{-1}\end{pmatrix}}}$ 。

ここで、下付き文字は各ポートでの伝播の異なる方向を関連付けます。その結果、散乱行列のスター積は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}=(S^{A}\star S^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}}$ 、

は、次の伝達行列の行列乗算に類似している ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{3}^{+}\\c_{3}^{-}\end{pmatrix}}=(T^{A}T^{B}){\begin{pmatrix}c_{1}^{+}\\c_{1}^{-}\end{pmatrix}}}$ 、

ここで、 なので、 です。 ${\displaystyle T^{A}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{2}\oplus H_{2})}}}$${\displaystyle T^{B}\in {\mathcal {L(H_{2}\oplus H_{2},H_{3}\oplus H_{3})}}}$${\displaystyle T^{A}T^{B}\in {\mathcal {L(H_{1}\oplus H_{1},H_{3}\oplus H_{3})}}}$

レッドヘファーはスター積をいくつかの方法で一般化しました。

によって与えられる 全単射がある場合、結合的スター積は次のように定義される: ^[7]${\displaystyle M\leftrightarrow L}$${\displaystyle L=f(M)}$

${\displaystyle A\star B=f^{-1}(f(A)f(B))}$。

上記の Redheffer によって定義された特定のスター製品は、次のように得られます。

${\displaystyle f(A)=((I-A)+(I+A)J)^{-1}((A-I)+(A+I)J)}$

どこ。 ${\displaystyle J(x,y)=(-x,y)}$

スター積は3x3行列に対しても定義できる。 ^[8]

物理学では、 2つ以上のサブシステムから全体の散乱行列を構築するときに、レドヘッファーのスター積が現れる 。もし系 が散乱行列 を持ち、系 が 散乱行列 を持つ場合、結合された系 は 散乱行列 を持つ。 ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{A}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle S^{B}}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle S^{AB}=S^{A}\star S^{B}}$

放射伝達、中性子拡散、回路理論などを含む多くの物理プロセスは散乱プロセスによって記述され、その定式化はプロセスの次元と演算子の表現に依存します。^{[6]確率問題の場合、散乱方程式は}コルモゴロフ型方程式で現れることがあります。

レッドヘッファーのスター積は、層状、多層媒体における電磁場の伝播を解くために使用できます。^[9]構造内の各層には独自の散乱行列があり、全体の構造の散乱行列はすべての層間のスター積として記述できます。^[10]層状媒体の電磁気をシミュレートする無料のソフトウェア プログラムは、Stanford Stratified Structure Solver です。

連続した半導体界面の運動モデルでは、散乱行列の定式化を使用して半導体間の電子の動きをモデル化することができます。 ^[11]

グラフ上のシュレーディンガー作用素の解析では、グラフの散乱行列はその部分グラフに対応する散乱行列の一般化された星積として得ることができる。^[12]