極値推定器

統計学と計量経済学において、極値推定量は、データに依存する特定の目的関数の最大化（または最小化）を通じて計算されるパラメトリックモデルの推定量の広いクラスです。極値推定量の一般理論は、雨宮（1985）によって開発されました。

推定量は、次のような 目的関数がある場合、極値推定量と呼ばれます。${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\underset {\theta \in \Theta }{\operatorname {arg\;max} }}\ {\widehat {Q}}_{n}(\theta ) 、}$

ここでΘはパラメータ空間です。少し弱い定義が与えられることもあります。

${\displaystyle {\widehat {Q}}_{n}({\hat {\theta }})\geq \max _{\theta \in \Theta }\,{\widehat {Q}}_{n} (\theta )-o_{p}(1),}$

ここで、o _p (1) は確率的にゼロに収束する変数です。この修正により、目的関数を正確に最大化する必要はなく、十分に近い値であれば十分です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$

極値推定量の理論では、目的関数がどのようなものであるべきかは指定されていません。さまざまなモデルに適したさまざまなタイプの目的関数があり、このフレームワークを使用すると、そのような推定量の理論的特性を統一的な観点から分析できます。理論では、目的関数が備えるべき特性のみが指定されているため、特定の目的関数を選択するには、それらの特性が満たされていることを確認するだけで済みます。

パラメータ空間 Θ がコンパクトで、次の極限関数 Q ₀ ( θ )が存在する場合: Θ 上で確率的に一様にQ ₀ ( θ )に収束し、関数Q ₀ ( θ ) が連続しており、 θ = θ ₀で一意に最大値をとる場合、 はθ ₀に対して無矛盾である。^[1]${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )}$${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$

確率の一様収束とは、 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {Q}}_{n}(\theta )}$

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta }{\big |}{\hat {Q}}_{n}(\theta )-Q_{0}(\theta ){\big |}\ {\xrightarrow {p}}\ 0.}$

Θ がコンパクトであるという要件は、Q ₀の最大値が十分に分離されているというより弱い仮定に置き換えることができます。つまり、 θ 0 から離れているが Q 0 ( θ ) が Q 0 ( θ 0 ) に近い点 θ は存在しないはずです。正式_には、_Q 0 ( θ _i ) → _Q 0 ( θ ₀ )と_なる任意の_{シーケンス}{ θ _i }に対して、_θ i → _θ 0が_真であることを意味します。

一貫性が確立され、サンプルの導関数が他のいくつかの条件を満たしていると仮定すると、^[2]極値推定量は漸近的に正規分布に収束します。 ${\displaystyle Q_{n}}$

• M推定量

• 雨宮 剛 (1985) 「極値推定量の漸近的性質」高度計量経済学 ハーバード大学出版局 pp. 105–158. ISBN 0-674-00560-0。
• 林文夫 (2000) 「極値推定量」計量経済学プリンストン: プリンストン大学出版局 pp. 445–506. ISBN 0-691-01018-8。
• Newey, Whitney K.; McFadden, Daniel (1994). 「大規模サンプル推定と仮説検定」.計量経済学ハンドブック. 第 4 巻. Elsevier Science. pp. 2111–2245. doi :10.1016/S1573-4412(05)80005-4. ISBN 0-444-88766-0。