クレイマース＝クローニッヒ関係

クレイマース・クローニッヒ関係（ KK関係と略されることもある）は、上半平面で解析的な任意の複素関数の実部と虚部を結びつける双方向の数学的関係である。この関係は、物理システムの応答関数の実部を虚部から計算する（またはその逆）ためによく使用される。安定なシステムでは、因果律が解析性の条件を意味し、逆に、解析性が対応する安定な物理システムの因果律を意味するからである。^{[ 1 ]}この関係は、ラルフ・クローニッヒとハンス・クレイマース にちなんで名付けられた。^{[ 2 ] [ 3 ]}数学では、これらの関係はソホツキ・プレメリの定理とヒルベルト変換という名前で知られている。

させて${\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$複素変数の複素関数である${\displaystyle \omega }$、 どこ${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$そして${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$は実数である。この関数が、閉じた上半平面で解析的であると仮定する。${\displaystyle \omega }$そして、${\displaystyle 0}$として${\displaystyle |\omega |\to \infty }$クレイマース・クローニッヒの関係式は次のように表される。 $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}$$ そして $${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega ',}$$ どこ${\displaystyle \omega }$現実であり、${\displaystyle {\mathcal {P}}}$はコーシー主値を表します。

このような関数の実部と虚部は独立していないため、いずれかの部分が分かれば、関数全体を再構築することができる。

証明は、複素積分に対するコーシーの留数定理の適用から始まる。任意の解析関数が与えられた場合${\displaystyle \chi }$閉じた上半平面では、関数${\displaystyle \omega '\mapsto \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )}$、 どこ${\displaystyle \omega }$は実数であり、（開いた）上半平面で解析的である。したがって、留数定理は次のように述べている。 $${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '=0}$$この領域内の任意の閉じた輪郭線 について。輪郭線が実軸をトレースするように選択されると、 極の上の隆起は${\displaystyle \omega '=\omega }$、そして上半平面に大きな半円があります。これは、積分をこれら3つの輪郭線に沿った寄与に分解し、それらを極限に渡すことによって行われます。半円セグメントの長さは、に比例して増加します。${\displaystyle |\omega '|}$しかし、その積分は極限で消滅する。${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}}$より速く消える${\displaystyle 1/|\omega '|}$実軸に沿った線分と極を中心とする半円が残ります。半円のサイズをゼロにすると、次のようになります。 $${\displaystyle 0=\oint {\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).}$$

最後の式の第2項は、留数論^{[ 4 ]}、より具体的にはソホツキ・プレメリの定理を用いて得られる。式を整理すると、クラマース・クローニッヒの関係式の簡潔な形式が得られる。 $${\displaystyle \chi (\omega )={\frac {1}{i\pi }}{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi (\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '。}$$

シングル${\displaystyle i}$分母の分割は、実数部と虚数部の間のつながりを効果的にします。最後に、分割${\displaystyle \chi (\omega )}$そして、方程式を実部と虚部に分解して、上記の式を得る。

クラマース・クローニッヒ形式は応答関数に適用できます。特定の線形物理システム、または信号処理などの工学分野では、応答関数は${\displaystyle \chi (tt')}$時間依存の特性がどのように機能するかを説明します${\displaystyle P(t)}$物理システムの衝撃力に対する反応${\displaystyle F(t')}$その時${\displaystyle t'.}$ 例えば、${\displaystyle P(t)}$振り子の角度である可能性があり、${\displaystyle F(t)}$振り子運動を駆動するモーターの印加力。応答${\displaystyle \chi (tt')}$ゼロでなければならない${\displaystyle t<t'}$システムは力が加えられる前にはそれに応答できないため、この因果条件はフーリエ変換が${\displaystyle \chi (\omega )}$の$\displaystyle \chi (t)$上半平面では解析的である。^{[ 5 ]} さらに、システムがその最高共振周波数よりもはるかに高い周波数の振動力を受けると、強制力が方向転換する前にシステムが応答する時間がほとんどなくなり、周波数応答は${\displaystyle \chi (\omega )}$ゼロに収束します${\displaystyle \omega }$非常に大きくなる。これらの物理的考察から、次のことが導かれる。${\displaystyle \chi (\omega )}$これは通常、クレイマース・クローニッヒ関係に必要な条件を満たす。

応答関数の虚数部は、駆動力と同位相であるため、システムがどのようにエネルギーを散逸させるかを表します。 クラマース・クローニッヒの関係式によれば、システムの散逸応答を観測すれば、その逆位相（反応性）応答を決定でき、またその逆も成り立ちます。

積分は${\displaystyle -\infty }$に${\displaystyle \infty }$つまり、負の周波数での応答がわかっているということです。幸いなことに、ほとんどの物理システムでは、正の周波数応答が負の周波数応答を決定します。${\displaystyle \chi (\omega )}$は実数値応答のフーリエ変換である$\displaystyle \chi (t)$今後はこの前提で進めます。

その結果、${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$。 これはつまり${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$周波数の偶関数であり、${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$奇妙だ。

これらの特性を利用すると、積分範囲を縮小して${\displaystyle [0,\infty )}$最初の関係式を考えてみましょう。これは実部を与えます。${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$被積分関数の分子と分母に を掛けることで、積分を確定パリティの積分に変換します。${\displaystyle \omega '+\omega }$そして分離する： $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

以来${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$が奇数の場合、2番目の積分は消滅し、残りは $${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

虚数部についても同様の導出を行うと、 $${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\int _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$$

これらは、物理的に現実的な応答関数に有用な形式で表されたクレイマース・クローニッヒの関係式である。

Hu ^{[ 6 ]}と Hall および Heck ^{[ 7 ]}は、関連する、おそらくより直感的な証明を与えており、これは経路積分を回避している。それは以下の事実に基づいている。

• 因果的なインパルス応答は、偶関数と奇関数の和として表現でき、奇関数は偶関数に符号関数を掛けたものです。
• 時間領域波形の偶数部と奇数部は、それぞれフーリエ積分の実部と虚部に対応する。
• 時間領域における符号関数による乗算は、ヒルベルト変換（すなわちヒルベルト核による畳み込み）に対応する。${\displaystyle 1/\pi \omega }$周波数領域において。

これらの事実から得られる公式を組み合わせると、クラマース・クローニッヒの関係式が得られます。この証明は、時間領域で因果関係にある任意の関数の周波数領域における実部と虚部を関連付けるという点で、以前の証明とは若干異なるアプローチをとっており、周波数領域の上半平面における解析性の条件とはやや異なるアプローチを示しています。

この証明の非公式な図解版を掲載した記事も入手可能です。^{[ 8 ]}

上記のクラマース・クローニッヒの定理は、複素応答関数の実部と虚部の関係を表す。関連する目標は、複素応答関数の振幅と位相の関係を見出すことである。

一般に、残念ながら、振幅から位相を一意に予測することはできません。^{[ 9 ]}この簡単な例として、時間Tの純粋な時間遅延があります。これは、 Tに関係なく任意の周波数で振幅 1 を持ちますが、位相はTに依存します(具体的には、位相 = 2π × T × 周波数)。

しかしながら、最小位相システムの特殊なケースでは、振幅と位相の間に独特の関係が存在し、 ^{[ 9 ]}時にはボーデゲイン位相関係と呼ばれる。マルセル・バイヤール（1936年）とヘンドリック・ウェイド・ボーデ（1945年）の研究にちなんで、バイヤール・ボーデ関係とバイヤール・ボーデ定理という用語は、特に電気通信と制御理論の分野で、一般のクラマース・クローニッヒ関係または特に振幅位相関係にも使用される。^{[ 10 ] [ 11 ]}

• 分散（光学）
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