数値解析接続

多体物理学において、解析接続の問題は、虚軸上の値が与えられたグリーン関数のスペクトル密度を数値的に抽出する問題である。これは、虚数時間または松原周波数でのみグリーン関数の値を計算することが多い量子モンテカルロシミュレーションから物理システムの動的特性を計算するために必要な後処理ステップである。

数学的には、この問題は、条件の悪いカーネルを持つ第1種フレドホルム積分方程式を解くことに帰着する。結果として、これは唯一の解を持たない不適切逆問題であり、入力に小さなノイズがあると、正規化されていない解に大きな誤差が生じる。この問題を解くには、最大エントロピー法^{[1] [2] [3] [4]、}平均スペクトル法^{[5] [6] [7] [8] 、パデ近似法[9] [10]}など、さまざまな方法がある。

一般的な解析接続の問題は、積分方程式を数値的に反転させることによって、 松原周波数におけるグリーン関数値から実周波数におけるスペクトル関数を得ることである。${\textstyle A(\omega )}$${\textstyle \omega }$${\textstyle {\mathcal {G}}(i\omega _{n})}$ ${\textstyle \omega _{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\omega }}\;A(\omega )}$

ここで、フェルミオン系の場合は、ボソン系の場合は であり、温度の逆数です。この関係はクラマース-クローニッヒの関係の例です。 ${\textstyle \omega _{n}=(2n+1)\pi /\beta }$${\textstyle \omega _{n}=2n\pi /\beta }$${\textstyle \beta =1/T}$

スペクトル関数は、逆フーリエ変換を上記の式に 適用することで、虚時間グリーン関数と関連付けることもできる。${\textstyle {\mathcal {G}}(\tau )}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )\ \colon ={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}e^{-i\omega _{n}\tau }{\mathcal {g}}(i\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}A(\omega ){\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\frac {e^{-i\omega _{n}\tau }}{i\omega _{n}-\omega }}}$

とします。松原周波数の合計を評価すると、望ましい関係が得られます。 ${\textstyle \tau \in [0,\beta ]}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}{\frac {-e^{-\tau \omega }}{1\pm e^{-\beta \omega }}}A(\omega )}$

ここで、上の符号はフェルミオン系、下の符号はボソン系を表します。

解析接続のもう一つの例は、松原周波数における電流-電流相関関数値から 光伝導率を計算することである。この2つは次のように関係している。 ${\displaystyle \sigma (\omega )}$${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})}$

${\displaystyle \Pi (i\omega _{n})=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\omega }{\pi }}{\frac {2\omega ^{2}}{\omega _{n}^{2}+\omega ^{2}}}\;A(\omega )}$

• Maxent プロジェクト: 最大エントロピー法を使用して解析継続を実行するためのオープン ソース ユーティリティ。
• Spektra: 平均スペクトル法を使用して解析継続を実行するための無料のオンライン ツール。
• SpM: 虚時間グリーン関数の解析接続のためのスパースモデリングツール。

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