J構造

数学において、J 構造は、ジョルダン代数に関連する体上の代数構造です。この概念は、ジョルダン反転を基本演算とし、ホアの恒等式を基本関係とする線型代数群と公理を使用して、ジョルダン代数の理論を展開するために、シュプリンガー (1973) によって導入されました。半単純代数群の分類から派生した単純構造の分類があります。特性が 2 以外の体上では、J 構造の理論は、ジョルダン代数の理論と本質的に同じです。

V を体K上の有限次元ベクトル空間とし、j をVからそれ自身への有理写像とし、 n / N の形式で表現可能とし、 n をVからそれ自身への多項式写像、NをK [ V ]の多項式とする。H を、 g ∘ j = j ∘ hとなるような( g , h ) のペアを含むGL( V ) × GL( V )の部分集合とする。これは積の閉じた部分群であり、最初の因数、すなわち発生するgの集合への射影はjの構造群であり、G' ( j ) と表記される。

J構造は、VがK上のベクトル空間、jがVからそれ自身への双有理写像、eが以下の条件を満たすVの非ゼロ元である3元（V、j、e）である。 ^[1]

• jは次数−1の同次双有理反転である
• jはeで正規であり、j ( e ) = e
• jがx、e + x、e + j ( x )において正則であれば、

${\displaystyle j(e+x)+j(e+j(x))=e}$

• 構造群G = G ( j )の下でのeの軌道G eはVのザリスキ開集合である。

J構造（V、j、e ）に関連付けられたノルムは、 jの分子Nであり、 N（e）= 1となるように正規化されている。J構造の次数は、同次多項式写像としてのNの次数である。^[2]

構造の二次写像は、可逆なxにおける微分d jによって定義されるVからEnd( V )への写像P で ある。^[3]

${\displaystyle P(x)=-(dj)_{x}^{-1}.}$

二次写像はV上の二次多項式写像であることがわかります。

可逆な二次写像によって生成される構造群Gの部分群はJ構造の内部構造群である。これは閉じた連結正規部分群である。 ^[4]

K の標数が2 でないとする。QをK上のベクトル空間V上の二次形式とし、関連する双線型形式Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) と、 Q ( e ,.) が自明でないような区別元e を持つものとする。反射写像x ^*を次のように 定義する。

${\displaystyle x^{*}=Q(x,e)ex}$

そして逆写像jは

${\displaystyle j(x)=Q(x)^{-1}x^{*}.}$

この場合、( V , j , e ) は J 構造です。

Q を、標準基底e ¹ ,..., e ^rを持つ、固定整数rに対するK ^r上の通常の平方和の二次関数とします。すると、 ( K ^r , Q , e ^r ) は次数 2 の J 構造になります。これは O ₂と表記されます。^[5]

このセクションで想定している特性が2 に等しくない場合、J 構造の理論は本質的には Jordan 代数の理論と同じです。

A をK上の有限次元可換非結合代数で単位元eとする。L ( x ) はxの左側への乗法を表すものとする。A上の唯一の双有理写像iが存在してi ( x ). x = eとなる。これはi がx上で正則な場合である。つまり、次数 −1 の同次写像であり、 i ( e ) = eを伴う反転である。これはi ( x ) = L ( x ) ⁻¹ . eで定義できる。i をA上の反転と呼ぶ。^[6]

ジョルダン代数は、恒等式^{[7] [8]によって定義される。}

${\displaystyle x(x^{2}y)=x^{2}(xy).}$

別の特徴づけは、すべての可逆なxに対して、

${\displaystyle x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y).}$

A がジョルダン代数であれば、 ( A , i , e ) は J 構造です。 ( V , j , e ) が J 構造であれば、 V上に、反転jを伴う恒等変換 e を持つ唯一のジョルダン代数構造が存在します。

この節で想定する一般的な特性では、J構造は2次ジョルダン代数と関連している。2次ジョルダン代数を、VからEnd( V )への2次写像Qと特別な元eを持つ有限次元ベクトル空間Vとする。Qは双線型写像Q ( x , y )= Q ( x + y )−Q ( x ) −Q ( y )も表すものとする。2次ジョルダン代数の特性は次のようになる^{[9] [10]。}

• Q ( e ) = id _V、Q ( x、e ) y = Q ( x、y ) e
• Q ( Q ( x ) y ) = Q ( x ) Q ( y ) Q ( x )
• Q ( x ) Q ( y , z ) x = Q ( Q ( x ) y , x ) z

Q ( x ) e をx の二乗と呼ぶ。二乗が優勢（ザリスキ稠密像を持つ）であれば、その代数は分離可能と呼ばれる。^[11]

Qがxで正則である場合、Q ( x ) i x = xとなる唯一の双有理反転iが存在します。前と同様に、i は反転であり、 i ( x ) = Q ( x ) ⁻¹ xで定義できます。

( V , j , e )がJ構造で、二次写像Qを持つ場合、( V , Q , e )は二次ジョルダン代数である。逆に、( V , Q , e )が反転iを持つ可分二次ジョルダン代数である場合、( V , i , e )はJ構造である。^[12]

マクリモンは密度公理を削除し、3番目の公理（フアの恒等式の一種）を強化してすべての同位体で成立するようにしたH構造の概念を提唱した。結果として得られる構造は、二次ジョルダン代数と圏的に同値である。^{[13] [14]}

J構造は、冪等元によって決定される部分空間へのピアーズ分解を持つ。^[15] aをJ構造（V、j、e）の冪等元、すなわちa ² = aと する。Qを二次写像とする。定義

${\displaystyle \phi _{a}(t,u)=Q(ta+u(ea)).}$

これは、 Kの非ゼロt、uに対して可逆であり、したがってφは代数トーラスGL ₁ × GL ₁から内部構造群G ₁への射を定義する。部分空間が存在する。

${\displaystyle V_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=t^{2}x}\right\rbrace }$

${\displaystyle V'_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=tux}\right\rbrace }$

${\displaystyle V_{e-a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=u^{2}x}\right\rbrace }$

これらはVの直和分解を形成する。これは冪等なaに対するパース分解である。^[16]

区別された要素eの条件を削除すると、「同一性のないJ構造」が得られます。^[17]これらは、ジョルダン代数の同位体 に関連しています。 ^[18]

• ケビン・マクリムモン(1977)。 「ヨルダン代数における反転の公理」。J.代数。47 : 201–222。土井：10.1016/0021-8693(77)90221-6。Zbl  0421.17013。
• McCrimmon, Kevin (1978). 「Jordan 代数とその応用」(PDF) . Bull. Am. Math. Soc . 84 : 612–627. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14503-0 . MR  0466235. Zbl  0421.17010.
• McCrimmon, Kevin (2004). A Taste of Jordan algebras. Universitext. ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . doi :10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR  2014924. Zbl  1044.17001. 2012年11月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年5月18日閲覧。
• 大久保 進 (2005) [1995].物理学における八元数とその他の非結合代数入門. 数理物理学におけるモントロール記念講義シリーズ. 第2巻.ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511524479. ISBN 0-521-01792-0.ZBL0841.17001  。​
• シェーファー、リチャード・D. (1995) [1966].非結合代数入門. ドーバー. ISBN 0-486-68813-5.ZBL0145.25601  。​
• スプリンガー、TA (1973)。ジョルダン代数と代数群。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 75. ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-06104-5.ZBL0259.17003  。​