固定小数点（数学）

数学において、不動点（不動点と略されることもある）は、不変点とも呼ばれ、特定の変換で変化しない値です。特に、関数の場合、不動点は関数によって自身にマッピングされる要素です。変換の不動点の集合もすべて不変集合です。

正式には、c が関数fの不動点であるとは、c がfの定義域と余域の両方に属し、f ( c ) = cであるときです。特に、 f の定義域が余域と交わらない場合、 f は不動点を持つことができません。fが実数上で定義されている場合、図で表すと、それはユークリッド平面の曲線に対応し、各不動点c は曲線と直線y  =  xの交点に対応します(図を参照)。

たとえば、f が実数上でによって 定義されている場合、 f (2) = 2であるため、 2 はf の不動点になります。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$

すべての関数が固定点を持つわけではありません。たとえば、f ( x ) = x + 1には固定点がありません。これは、どの実数に対しても x + 1がxと等しくなることはないためです。

数値解析において、固定小数点反復法は関数の固定小数点を計算する方法である。具体的には、同じ定義域と共定義域を持つ関数、定義域内の点が与えられた場合、固定小数点反復法は ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

これにより、点 に収束することが期待される反復関数適用のシーケンスが 生成されます。 が連続である場合、得られた が の不動点であることを証明できます。 ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

固定点の引き付け、固定点の反発、周期点の概念は、固定点反復に関して定義されます。

不動点定理とは、ある一般的な条件下では少なくとも1つの不動点が存在するという定理である。^[1]

たとえば、バナッハの不動点定理(1922) は、それが満たされる場合、固定点反復が常に固定点に収束することを保証する一般的な基準を与えます。

ブラウワーの不動点定理(1911) によれば、n次元ユークリッド空間内の閉じた単位球からそれ自身への連続関数は必ず不動点を持つが、その不動点を見つける方法は説明されていない。

代数位相学のレフシェッツの不動点定理（およびニールセンの不動点定理）は、不動点を数える方法を提供します。

代数学において、群作用を持つ集合Xに作用する群Gに対して、次の場合、 X内のx はgの不動点であるといわれます。 ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle g\cdot x=x}$

群Gの自己同型fの不動点部分群 はGの部分群である。 ${\displaystyle G^{f}}$ $${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

同様に、環Rの自己同型fの不動点部分環は fの不動点の部分環であり、つまり、 ${\displaystyle R^{f}}$ $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

ガロア理論では、体の自己同型集合の不動点の集合は、自己同型集合の 不動体と呼ばれる体です。

位相空間は、任意 の連続関数に対して不動点性（FPP）を持つと言われる。${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to X}$

となるようなものが存在する。 ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=x}$

FPP は位相不変量であり、つまり任意の同相写像によって保存されます。FPP は任意の引き込みによっても保存されます。

ブラウワーの不動点定理によれば、ユークリッド空間のコンパクトかつ凸な 部分集合はすべてFPP を持つ。コンパクトであることだけでは FPP を意味するわけではなく、凸性は位相的な性質ですらないため、FPP を位相的にどのように特徴付けるかを問うことは理にかなっている。1932 年にボルスクは、コンパクトであることと収縮可能性を合わせるとFPP が成り立つための必要十分条件になるかどうかを問うた。この問題は 20 年間未解決であったが、木下が FPP のないコンパクトで収縮可能な空間の例を発見し、この予想は反証された。^[2]

領域理論では、不動点の概念と用語は半順序に一般化される。 ≤ を集合X上の半順序とし、f​​ : X → XをX上の関数とする。すると、fのプレフィックス点( pre-fixed pointとも表記され、prefixpointまたはpre-fixpointと省略されることもある) ^{[要出典]は、} f ( p ) ≤ pとなる任意のpである。同様に、f のポストフィックス点とは、 p ≤ f ( p )となる任意のpである。 ^[3] 逆の用法も時々見られる。^[4]マルキスは、ここで提示された定義を次のように正当化している。「f は項f ( x ) ≤ x の不等号の前にあるため、そのようなx はプレフィックス点と呼ばれる。」^{[5]不動点とは、プレフィックス点とポストフィックス点の両方である点である。プレフィックス点とポストフィックス点は、}理論計算機科学に応用されている。^[6]

順序理論では、半順序集合(poset)からそれ自身への関数の最小不動点は、poset の順序に従って、他の各不動点よりも小さい不動点です。関数は必ずしも最小不動点を持つ必要はありませんが、もし持つ場合は、最小不動点は一意です。

クナスター・タルスキ定理を表現する一つの方法は、完全格子上の単調関数には、最小の固定点が最小の前置点と一致する（同様に、最大の固定点は最大の後置点と一致する）と言うことである。^[7]

コンピュータサイエンスの組合せ論理において、固定小数点コンビネータは、引数関数の固定小数点を返す高階関数である（存在する場合）。正式には、関数fが1つ以上の固定小数点を持つ場合、 ${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

数理論理学において、固定小数点論理は、再帰を表現するために導入された古典的な述語論理の拡張です。その開発は、記述的複雑性理論と、データベース クエリ言語、特にDatalogとの関係によって促進されてきました。

多くの分野において、平衡や安定性は固定点の観点から説明できる基本的な概念です。次にいくつかの例を示します。

• 射影幾何学では、射影性の不動点は二重点と呼ばれている。^{[8] [9]}
• 経済学において、ゲームのナッシュ均衡とは、ゲームの最良の応答対応の不動点のことである。ジョン・ナッシュは、角谷の不動点定理を彼の独創的な論文に利用し、ノーベル経済学賞を受賞した。
• 物理学、より正確には相転移の理論において、不安定な固定点付近での線形化は、ウィルソンのノーベル賞受賞作品であるくりこみ群の発明と、「臨界現象」という用語の数学的説明につながっ た。^{[10] [11]}
• プログラミング言語 コンパイラは、コード最適化に必要となることが多いデータフロー解析などのプログラム解析に固定小数点演算を使用します。また、汎用プログラム解析手法である抽象解釈で使用される中核概念でもあります。^[12]
• 型理論では、固定小数点コンビネータにより、型なしラムダ計算で再帰関数を定義できます。
• すべての Web ページのPageRank値のベクトルは、World Wide Webのリンク構造から派生した線形変換の固定点です。
• マルコフ連鎖の定常分布は、1 ステップ遷移確率関数の固定点です。
• 固定点は反復関数の式を見つけるために使用されます。

• 西山 裕 (2012). 「不動点を描くためのエレガントな解法」(PDF) .国際純粋応用数学ジャーナル. 78 (3): 363–377.