ケーニッヒ関数

数学において、ケーニッヒ関数は複素解析や力学系で生じる関数である。1884年にフランスの数学者ガブリエル・ケーニッヒによって導入され、複素数の単位円からそれ自身への一価正則写像、または写像の半群の拡大として標準的な表現を与える。

D を複素数の単位円板とする。 f を、点 0 を固定してD をそれ自身に写像する正則関数とする。ただし、 fは0 と等しくなく、f はD の自己同型、つまりSU(1,1) の行列によって定義される メビウス変換ではない。

デンジョイ・ウォルフの定理によれば、fは 各ディスク| z |< rで不変であり、 fの反復は0に均一に収束する。実際、0< r <1の場合、

${\displaystyle |f(z)|\leq M(r)|z|}$

| z | ≤ rであり、M ( r ) < 1 である。さらに、f '(0) = λであり、0 < | λ | < 1 である。

ケーニヒス（1884）は、 D上に定義される唯一の正則関数hが存在することを証明した。これはケーニヒス関数と呼ばれ、 h (0) = 0、h '(0) = 1であり、シュレーダー方程式が満たされる。

${\displaystyle h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.}$

関数h は、 正規化された反復のコンパクト上の均一極限です。 ${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}$

さらに、fが一価であれば、h も一価となる。^{[1] [2]}

結果として、f（およびh）が単価である場合、D は開領域U = h ( D )と同一視できます。この共形的同一視の下では、写像   f はλによる乗算、つまりU上の拡大 になります。

• 一意性。kが別の解である場合、解析的にk = hが0に近いことを示すだけで十分です。

${\displaystyle H=k\circ h^{-1}(z)}$

0に近い。したがって、H (0) =0、H' (0)=1であり、| z |が小さい場合、

${\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\ラムダ z)=H(\ラムダ z)~.}$

Hのべき級数に代入すると、0 付近でH ( z ) = z となります。したがって、 0 付近でh = k となります。

• 存在。シュワルツの補題により、${\displaystyle F(z)=f(z)/\lambda z,}$

${\displaystyle |F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.}$

一方で、

${\displaystyle g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.}$

したがって、g _{n は}ワイエルシュトラスのM検定により、 | z | ≤ rに対して一様収束する。

${\displaystyle \sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\sum M(r)^{j}}$

• ユニバレンツ。フルヴィッツの定理によれば、各g ^{n は}ユニバレンツかつ正規化されており、つまり 0 を固定し、そこに導関数 1 を持つため、それらの極限hもユニバレンツです。

f _t ( z ) を、 t ∈ [0, ∞)に対して定義される 0 を固定したDのそれ自身への正則一価写像の半群とする。

• ${\displaystyle f_{s}}$s > 0に対して自己同型ではない
• ${\displaystyle f_{s}(f_{t}(z))=f_{t+s}(z)}$
• ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$
• ${\displaystyle f_{t}(z)}$tとzの共連続である

s > 0の各f _{s は}同じケーニッヒ関数を持ちます（反復関数を参照） 。実際、hがf = f ₁のケーニッヒ関数である 場合、 h ( f _s ( z )) はシュレーダー方程式を満たし、したがってhに比例します。

導関数をとると

${\displaystyle h(f_{s}(z))=f_{s}^{\prime }(0)h(z).}$

したがって、hはf _sのケーニッヒ関数です。

領域U = h ( D )では、写像f _{s は}の乗法となり、連続半群となる。したがって、ここでμ は、 Re μ < 0 でe ^μ = λの一意に決定される解である。したがって、半群は 0 で微分可能である 。${\displaystyle \lambda (s)=f_{s}^{\prime }(0)}$${\displaystyle \lambda (s)=e^{\mu s}}$

${\displaystyle v(z)=\partial _{t}f_{t}(z)|_{t=0},}$

v (0) = 0かつv' (0) = μとなるD上の正則関数。

それから

${\displaystyle \partial _{t}(f_{t}(z))h^{\prime }(f_{t}(z))=\mu e^{\mu t}h(z)=\mu h(f_{t}(z)),}$

となることによって

${\displaystyle v=v^{\prime }(0){h \over h^{\prime }}}$

そして

${\displaystyle \partial _{t}f_{t}(z)=v(f_{t}(z)),\,\,\,f_{t}(z)=0~,}$

ベクトル場の流れ方程式。

0 < λ < 1の場合に限定すると、h ( D )は星状でなければならないので、

${\displaystyle \Re {zh^{\prime }(z) \over h(z)}\geq 0~.}$

逆数についても同じ結果が成り立つので、

${\displaystyle \Re {v(z) \over z}\leq 0~,}$

したがって、v ( z )はBerkson & Porta (1978)の条件を満たす。

${\displaystyle v(z)=zp(z),\,\,\,\Re p(z)\leq 0,\,\,\,p^{\prime }(0)<0.}$

逆に、上記の手順を逆にすると、これらの条件を満たす任意の正則ベクトル場v ( z ) は半群 f _tに関連付けられ、

${\displaystyle h(z)=z\exp \int _{0}^{z}{v^{\prime }(0) \over v(w)}-{1 \over w}\,dw.}$

• Berkson, E.; Porta, H. (1978)、「解析関数の半群と合成演算子」、Michigan Math. J.、25 : 101–115、doi : 10.1307/mmj/1029002009
• カールソン、L. Gamelin、TDW (1993)、複雑力学、Universitext: Tracts in Mathematics、Springer-Verlag、ISBN 0-387-97942-5
• Elin, M.; Shoikhet, D. (2010)、複雑動的システムの線形化モデル: ユニバレント関数、関数方程式、半群理論のトピック、演算子理論: 進歩と応用、第 208 巻、Springer、ISBN 978-3034605083
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• シャピロ、JH (1993)、「合成演算子と古典関数理論」、Universitext: Tracts in Mathematics、Springer-Verlag、ISBN 0-387-94067-7
• Shoikhet, D. (2001)、幾何関数論における半群、Kluwer Academic Publishers、ISBN 0-7923-7111-9