安定した多様体

数学、特に力学系の研究では、安定集合と不安定集合、あるいは安定多様体と不安定多様体という概念は、アトラクターやリペラーという概念に具体化された一般概念に正式な数学的定義を与える。双曲力学の場合、対応する概念は双曲集合である。

土星の環に作用する重力潮汐力は、簡単に視覚化できる物理的な例です。潮汐力は、環を赤道面内に平らにすると同時に、半径方向にも引き伸ばします。環を土星の周りを周回する砂や砂利の粒子 (「塵」) と想像すると、潮汐力は、赤道面より上または下に粒子を押し上げる摂動によって、その粒子が復元力を感じ、平面内に戻されるような力です。粒子は、衝突によって減衰され、調和井戸内で効果的に振動します。安定方向は環に垂直です。不安定方向は、力が粒子を引き伸ばし、引き離す半径方向です。位相空間で互いに非常に近い位置から始まる 2 つの粒子は、半径方向に発散させる半径方向の力を受けます。これらの力は、正のリアプノフ指数を持ちます。軌道は双曲多様体上にあり、粒子の動きは基本的に無秩序で、環の中をさまよいます。中心の多様体はリングに接線方向になっており、粒子は圧縮も伸張も受けません。これにより、二次重力が優勢になり、粒子はリング内の衛星または小衛星に引き込まれ、それらに位相ロックされます。衛星の重力は、位相ロックループに見られるキックローターに似た、軌道を一周するたびに、規則的に繰り返される小さなキックを効果的に提供します。

リング内の粒子の離散時間運動は、ポアンカレ写像によって近似できます。この写像は、システムの転送行列を効果的に提供します。行列の最大固有値に関連付けられた固有ベクトルは、フロベニウス-ペロン固有ベクトルであり、これは不変測度、つまりリング内の粒子の実際の密度でもあります。転送行列の他のすべての固有ベクトルは、より小さな固有値を持ち、減衰モードに対応します。

以下は、反復関数であるか離散時間ダイナミクスを持つシステムの場合の定義を示します。時間発展がフローによって与えられるシステムにも同様の概念が適用されます。

を位相空間、同相写像をとする。がの不動点である場合、の安定集合は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon X\to X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}}$

そして不安定集合は${\displaystyle p}$次のように定義される。

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

ここで、は関数 の逆関数、つまり を表します。 ここで、は 上の恒等写像です。${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$${\displaystyle id_{X}}$${\displaystyle X}$

が最小周期の周期点である場合、それは の不動点であり、 の安定集合と不安定集合は次のように定義される。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{k}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

そして

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p)。}$

の近傍 が与えられたとき、の局所安定集合と不安定集合は次のように定義される。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ 各 }}n \geq 0\}}$

そして

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

が距離化可能であれば、任意の点に対する安定集合と不安定集合を次のように定義できる。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ }}n\to \infty \}}$

そして

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

ここで はの計量です。この定義は、が周期点である 場合の前の定義と明らかに一致します。${\displaystyle d}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$

ここで、 がコンパクトで滑らかな多様体で、が微分同相写像 、 であるとします。が双曲的周期点である場合、安定多様体定理により、のある近傍に対して、局所的な安定集合と不安定集合は 埋め込みディスクであり、におけるその接空間はそれぞれ、および( の安定空間と不安定空間) であることが保証されます。さらに、それらは ( から自体へのすべての微分同相写像の空間)の位相におけるの近傍で連続的に (ある意味で) 変化します。最後に、安定集合と不安定集合は、注入的に埋め込まれたディスクです。これが、これらが一般に安定多様体 および不安定多様体と呼ばれる理由です。この結果は、非周期点が何らかの双曲的集合内にある限り、非周期的点に対しても有効です(双曲的集合に対する安定多様体定理)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E^{s}}$${\displaystyle E^{u}}$${\displaystyle Df(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$

が（有限次元）ベクトル空間であり同型で ある場合、その安定集合と不安定集合はそれぞれ安定空間と不安定空間と呼ばれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

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• 通常双曲不変多様体
• ラグランジアンコヒーレント構造

• アブラハム、ラルフ; マースデン、ジェロルド E. (1978)。『力学の基礎』。マサチューセッツ州リーディング：ベンジャミン/カミングス。ISBN 0-8053-0102-X。
• アーウィン、マイケル C. (2001)。「安定多様体」。滑らかな動的システム。ワールドサイエンティフィック。pp. 143–160。ISBN 981-02-4599-8。
• スリタラン、SS (1990)。流体力学的遷移の不変多様体理論。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-582-06781-2。

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