イジングモデル

ハミルトニアン関数の各項のマイナス符号${\displaystyle H(\sigma )}$これは慣例です。この符号規約を用いると、イジングモデルは相互作用の符号に応じて分類できます。ペアi、jに対して、 

相互作用がすべて強磁性である場合、その系は強磁性系または反強磁性系と呼ばれます。元のイジングモデルは強磁性系であり、現在でも「イジングモデル」とは強磁性イジングモデルを意味するとよく考えられています。

強磁性イジングモデルでは、スピンは整列しようとする性質があり、隣接するスピンが同じ符号を持つ配置になる確率が高くなります。一方、反強磁性モデルでは、隣接するスピンは反対の符号を持つ傾向があります。

H (σ)の符号規約は、スピンサイトjが外部磁場とどのように相互作用するかも説明します。つまり、スピンサイトは外部磁場と整列しようとします。もし：

イジングモデルは、格子と相互作用する外部場がない場合、つまり格子Λ内のすべてのjに対してh  =  0の場合によく調べられます。この単純化を用いると、ハミルトニアンは次のようになります。

$${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

外部磁場がどこでもゼロの場合（h  =  0）、イジングモデルはすべての格子点におけるスピンの値の切り替えに対して対称性を持ちます。ゼロでない磁場はこの対称性を破ります。

もう1つの一般的な簡略化は、すべての最近接相互作用点⟨ij⟩が同じ相互作用強度を持つと仮定することです。すると、 Λ内のすべてのペアi、jに対してJij = Jと設定できます。この場合、ハミルトニアンはさらに簡略化され_、 

$${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

重み付き無向グラフ G の頂点集合 V(G)の部分集合 S は、グラフ G を S とその補集合 G\S に分割するカットを決定します。カットのサイズは、S と G\S の間のエッジの重みの合計です。最大カットサイズは、S を変化させた場合の他のどのカットのサイズよりも少なくとも大きくなります。

グラフ G 上に外部場がないイジングモデルの場合、ハミルトニアンはグラフのエッジ E(G) に関する以下の和になります。

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$。

ここで、グラフの各頂点 i はスピン値をとるスピンサイトである。$\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$特定のスピン配置${\displaystyle \sigma }$頂点の集合を分割する${\displaystyle V(G)}$2つに${\displaystyle \sigma }$-依存サブセット、スピンアップを持つもの$\displaystyle V^{+}}$そしてスピンダウンするもの${\displaystyle V^{-}}$を で表す。${\displaystyle \delta (V^{+})}$の${\displaystyle \sigma }$- 2 つの相補的な頂点部分集合を接続する、依存するエッジの集合$\displaystyle V^{+}}$そして${\displaystyle V^{-}}$サイズ​${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$カットの${\displaystyle \delta (V^{+})}$重み付き無向グラフGを二部グラフにするには、次のように定義できます。

$${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},}$$

どこ${\displaystyle W_{ij}}$エッジの重みを表します${\displaystyle ij}$また、同じ重量を二重にカウントすることを補正するために、1/2のスケーリングが導入されています。${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$。

アイデンティティ

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$$

ここで、第１項の合計は以下に依存しない。${\displaystyle \sigma }$最小化することを意味${\displaystyle H(\sigma )}$で${\displaystyle \sigma }$最小化することと同等${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$エッジの重みを定義する${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$これにより、外部場のないイジング問題は、 カットサイズを最大化するグラフ最大カット問題^{[ 5 ]に変換される。}${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$これはイジングハミルトニアンと以下のように関連している。

$${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$$

このモデルに関して問うべき統計的な疑問の多くは、スピン数が非常に多い極限において生じる。

• 一般的な構成では、スピンの大部分は+1または-1ですか、それとも均等に分かれていますか？
• ある位置iにおけるスピンが 1 である場合、位置jにおけるスピンも 1 である確率はどれくらいですか？
• βが変化する場合、相転移は起こるか？
• 格子Λにおいて、+1スピンの大きなクラスターの形状のフラクタル次元はいくらか？

イジングは1924年の博士論文で、 d  = 1の場合のモデルを解いた。 これは、各サイトが左右の隣接サイトとのみ相互作用する線形水平格子と考えることができる。1次元では、解は相転移を許容しない。^{[ 6 ]}すなわち、任意の正のβに対して、相関⟨σ _i σ _j ⟩は| i  − j |に関して指数関数的に減衰する。  $${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),}$$

そしてシステムは無秩序である。この結果に基づき、彼はこのモデルがどの次元においても相挙動を示さないと誤って結論付けた。

イジングモデルは、2次元以上の空間において、秩序相と無秩序相の間で相転移を起こす。すなわち、βが小さい場合は無秩序状態であり、βが大きい場合は強磁性秩序を示す。

$${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$$

これは1936年にルドルフ・パイエルスによって初めて証明され、^{[ 7 ]}現在パイエルスの議論と呼ばれるものを用いて証明されました。

磁場のない2次元正方格子上のイジングモデルは、ラース・オンサーガー（1944年）によって解析的に解かれた。オンサーガーはイジングモデルの相関関数と自由エネルギーを取得し、 1949年に2次元モデルの自発磁化の公式を発表したが、導出は示さなかった。ヤン（1952年）は、オンサーガーの研究に直接応えて1951年にセゲーによって証明されたフレドホルム行列式の極限公式を用いて、この公式の最初の公表された証明を与えた。 ^{[ 8 ]} 

イジングスピン相関（一般的な格子構造の場合）については、多くの相関不等式が厳密に導出されており、これにより数学者は臨界状態と非臨界状態の両方でイジングモデルを研究することが可能になった。

20世紀初頭、一部の人々は、次のような議論に基づいて、分配関数では相転移を記述することは決してできないと信じていた。

1. 分配関数は、すべての構成についてe ^{−β E}の合計です。
2. 指数関数は、βの関数としてあらゆる場所で解析的である。
3. 解析関数の和は解析関数である。

この議論は指数関数の有限和に対して有効であり、有限サイズの系の自由エネルギーには特異点が存在しないことを正しく証明している。熱力学的極限にある系（すなわち無限系）の場合、無限和は特異点を生じる可能性がある。熱力学的極限への収束は速いため、系の有限サイズによって特異点が平滑化されるにもかかわらず、比較的小さな格子上でも相挙動がすでに明らかになる。

これはルドルフ・パイエルスがイジング模型において初めて実証したものである。

レンツとイジングがイジング模型を構築した直後、パイエルスは二次元空間において相転移が起こることを明確に示すことができた。

そのため、彼は高温極限と低温極限を比較した。無限温度（β  = 0）では、すべての配置が等しい確率で存在する。各スピンは他のスピンとは完全に独立しており、無限温度における典型的な配置を、プラスとマイナスを白黒で表すようにプロットすると、テレビの砂嵐のように見える。高温（ただし無限温度ではない）では、隣接する位置間にわずかな相関があり、砂嵐は少し塊になる傾向があるが、画面はランダムに見えるままであり、黒または白の正味の過剰はない。

過剰分を定量的に表す指標は磁化であり、これはスピンの平均値である。

$${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$$

前節の議論と同様の偽りの議論によって、イジングモデルにおける平均磁化は常にゼロであることが証明される。

1. スピンのどの配置も、すべてのスピンを反転させた配置と同じエネルギーを持つ。
2. したがって、磁化Mを持つすべての配置に対して、磁化-Mを持つ配置が等しい確率で存在する。
3. したがって、システムは磁化Mの構成と磁化-Mの構成で同じだけの時間を費やす必要がある。
4. つまり、（全期間における）平均磁化はゼロである。

これまでと同様に、これは有限体積における平均磁化がゼロであることを証明するに過ぎません。無限系の場合、ゆらぎによって系がほぼプラスの状態からほぼマイナスの状態へと非ゼロの確率で変化することは不可能かもしれません。

非常に高い温度では、磁化は無限温度の場合と同様にゼロになります。これを確認するには、スピン A がスピン B と小さな相関 ε を持ち、B が C と弱い相関しか持たず、C が A とは独立している場合、A と C の相関の量は ε ²のように変化することに注目してください。距離Lだけ離れた 2 つのスピンの場合、相関の量は ε ^Lのように変化しますが、相関が伝わる経路が複数ある場合は、この量は経路の数だけ増加します。

d次元 の正方格子における長さLの経路の数は$${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$$各ステップでどこへ行くかについては2dの選択肢 があるためです。

全相関の上限は、2点を結ぶすべての経路を合計することによる相関への寄与によって与えられ、これは長さLのすべての経路の合計をで割った 値によって上限が定められる。$${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$$ εが小さい場合、これはゼロになる。

低温（β ≫ 1）では、配置は最低エネルギー配置、つまりすべてのスピンがプラスかマイナスかのいずれかの状態に近い。パイエルスは、低温において、すべてのスピンがマイナスの状態から始まり、ほとんどのスピンがプラスの状態へと変動することが統計的に可能かどうかを問いかけた。これが起こるためには、プラスのスピンの液滴が凝固してプラスの状態を形成できる必要がある。

負の背景における正スピンの液滴のエネルギーは、液滴の周囲長 L に比例し、正スピンと負スピンは互いに隣接しています。周囲長Lの液滴の場合、面積は ( L  −  2)/2 (直線) と ( L /4) ² (正方形のボックス) の間のどこかになります。液滴を導入するための確率コストにはe ^{−β L}という係数がありますが、これは分配関数に周囲長Lの液滴の総数を掛けたものに寄与し、これは長さLの経路の総数よりも少なくなります。 $${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$$ したがって、各サイトに個別の液滴を持たせることで過剰にカウントした場合でも、液滴からの総スピン寄与は、以下によって上限が定められる。 $${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$$

これはβが大きい場合ゼロに収束する。βが十分に大きい場合、これは長いループを指数関数的に抑制するため、ループは発生せず、磁化は-1から大きく変動することはない 。

こうしてパイエルスは、イジングモデルにおける磁化が最終的に超選択セクター、すなわち有限のゆらぎによって結び付けられていない分離したドメインを定義することを明らかにした。

クレイマーズとワニエは、モデルの高温膨張と低温膨張が、自由エネルギーの全体的な再スケーリングを除いて等しいことを示すことができた。これにより、（唯一の臨界点が存在するという仮定の下で）二次元モデルにおける相転移点を正確に決定することが可能になった。

オンサーガーの解法に続いて、ヤンとリーは、温度が臨界温度に近づくにつれて分配関数が特異になる仕組みを研究した。

このモデルのそもそもの動機は、強磁性の現象であった。鉄は磁性体であり、一度磁化されると、原子の時間スケールに比べて非常に長い時間磁化状態を維持する。

19世紀には、磁場は物質中の電流によって生じると考えられており、アンペールは永久磁石は永久的な原子電流によって生じると提唱した。しかし、ラーモアが示したように、古典的な荷電粒子の運動では永久電流を説明することはできなかった。強磁性を生じさせるためには、原子は古典的な電荷の運動に起因しない永久的な磁気モーメントを持たなければならない。

電子のスピンが発見されると、磁性は多数の電子スピンがすべて同じ方向に向いていることに起因することが明らかになった。磁石の片側の電子は反対側の電子と直接相互作用しないため、電子スピンがどのようにしてすべての方向を認識するのかという疑問が生じるのは当然である。電子は隣接する電子にしか影響を与えられない。イジングモデルは、局所的な力のみを用いて、電子スピンの大部分が同じ方向に向いているかどうかを検証するために設計された。

イジングモデルは、原子の運動に関する統計モデルとして再解釈することができる。運動エネルギーは運動量のみに依存し、位置には依存しない一方、位置の統計は位置エネルギーのみに依存するため、気体の熱力学は原子の各配置における位置エネルギーのみに依存する。

大まかなモデルとしては、時空を格子とみなし、各位置に原子が存在するか存在しないかを考える。配置空間は独立したビットB _iの空間であり、各ビットは位置が占有されているか否かに応じて 0 または 1 となる。引力相互作用は、近接する 2 つの原子のエネルギーを減少させる。引力が最近接原子間のみに存在する場合、占有されている隣接ペアごとにエネルギーは −4 JB _i B _{jだけ減少する。}

原子の密度は、化学ポテンシャルを加えることで制御できます。化学ポテンシャルとは、原子を1つ追加する際の乗法的な確率コストです。確率における乗法的な因子は、対数（エネルギー）における加法的な項として再解釈できます。N個の原子を持つ配置の余分なエネルギーはμNだけ変化します。原子を1つ追加する際の確率コストはexp(−βμ)の係数です。

したがって、格子気体のエネルギーは次のようになります。 $${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}.}$$

ビットをスピンの観点から書き直すと、${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$$${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}.}$$

すべてのサイトが等しい数の隣接サイトを持つ格子の場合、これは磁場h = ( zJ  − μ )/2 を持つイジングモデルであり、zは隣接サイトの数です。 

生物系では、格子気体モデルの改良版が、さまざまな結合挙動を理解するために使用されてきました。これには、細胞表面の受容体へのリガンドの結合^{[ 12 ]} 、鞭毛モーターへの走化性タンパク質の結合^{[ 13 ]}、およびDNAの凝縮^{[ 14 ]が含まれます。}

脳内のニューロンの活動は統計的にモデル化できる。各ニューロンは、どの時点においても活動状態（+）または不活動状態（−）のいずれかである。活動状態とは、一定の時間枠内で軸索に活動電位 を伝達するニューロンであり、不活動状態とは、活動電位を伝達しないニューロンである。

^{Jaynes [ 15 ] [ 16 ]}の一般的なアプローチに倣い、 Schneidman、Berry、Segev、Bialek ^{[ 17 ]}による後の解釈 では、Ising モデルはあらゆる神経機能モデルに有用である。なぜなら、神経活動の統計モデルは最大エントロピーの原理を用いて選択されるべきだからである。ニューロンの集合が与えられた場合、各ニューロンの平均発火率を再現できる統計モデルは、各ニューロンに対してラグランジュ乗数を導入する。 $${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ しかし、このモデルでは各ニューロンの活動は統計的に独立しています。あるニューロンが別のニューロンと同時に発火する（または発火しない）傾向がある場合、ペア相関を考慮するために、ペアごとのラグランジュ乗数を導入します。 $${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$$ どこ${\displaystyle J_{ij}}$隣接関係に限定されません。このイジングモデルの一般化は、統計学では二次指数二値分布と呼ばれることがあることに注意してください。このエネルギー関数は、スピンが値を持つ場合と、スピンのペアが同じ値を持つ場合のみ確率バイアスを導入します。高次の相関は乗数によって制約されません。この分布からサンプリングされた活動パターンは、同じ平均活動とペアワイズ相関を持つ他のどの分布と比較しても、考えられる最も効率的な符号化方式でコンピュータに格納するために最大のビット数を必要とします。これは、イジングモデルが、ペアワイズ相関と1の平均数に制約があり、可能な限りランダムなビットで記述されるあらゆるシステムに関係することを意味し、これは物理科学と社会科学の両方で頻繁に発生します。

イジングモデルでは、いわゆるスピングラスも通常のハミルトニアンで記述できる。${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$ここで、S変数はイジングスピンを表し、J _i,kはランダム分布から取られます。スピングラスの場合、典型的な分布では、確率pで反強磁性結合、確率 1  − pで強磁性結合が選択されます(ランダム結合イジングモデルとしても知られています)。これらの結合は、熱ゆらぎがあっても固定または「クエンチ」されたままです。p = 0の場合、元のイジングモデルになります。このシステムはそれ自体で興味をそそられます。特に、奇妙な緩和挙動につながる「非エルゴード的」特性を持つものがあります。関連する結合およびサイト希薄イジングモデル、特に 2 次元では、興味深い臨界挙動につながるため、多くの注目を集めています。^{[ 18 ]}   

イジングモデルはホップフィールドネットワークの開発に重要な役割を果たしました。オリジナルのイジングモデルは平衡のモデルです。ロイ・J・グラウバーは1963年に、時間の要素を追加して、熱平衡に向かうプロセス（グラウバーダイナミクス）として時間とともに進化するイジングモデルを研究しました。 ^{[ 19 ]}（中野薫、1971）^{[ 20 ] [ 21 ]}と（甘利俊一、1972）^{[ 22 ]}は、連想記憶のモデルとしてヘッブ学習ルールによってイジングモデルの重みを変更することを提案しました。同じアイデアは（ウィリアム・A・リトル、1974）^{[ 23 ]}によって発表され、ホップフィールドは1982年の論文でこれを引用しました。

1975 年に発表されたスピン グラスのSherrington–Kirkpatrick モデル[ ^{24 ]は}、ランダム初期化の Hopfield ネットワークです。Sherrington と Kirkpatrick は、SK モデルのエネルギー関数が多くの局所的最小値を持つ可能性が非常に高いことを発見しました。1982 年の論文で、Hopfield はこの最近開発された理論をバイナリ活性化関数を持つ Hopfield ネットワークの研究に適用しました。^{[ 25 ]} 1984 年の論文で、彼はこれを連続活性化関数に拡張しました。^{[ 26 ]}これは、統計力学によるニューラル ネットワークの研究の標準モデルになりました。^{[ 27 ] [ 28 ]}

融解池はイジングモデルでモデル化できます。海氷地形データは結果に大きく影響します。単純な2次元近似では、状態変数は水か氷のどちらかであるバイナリです。^{[ 29 ]}

大規模 (例えば、${\displaystyle 10^{4}}$または${\displaystyle 10^{5}}$ノードあたりの相互作用）ニューラルネットワークにおいて、1979 年に Krizan が提案し、Barth (1981) は Glasser ( 1970)とJellito (1979 ) の方法論を適用して、閉じたCayley ツリー(分岐比が任意に大きい)上の Ising モデルの自由エネルギーの正確な解析式を、外部磁場がゼロ (熱力学的極限) の場合について得た。

$${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )}$$

どこ${\displaystyle \gamma }$は任意の分岐比（2以上）であり、${\displaystyle t\equiv \tanh J}$、${\displaystyle \tau \equiv t^{2}}$、${\displaystyle J\equiv \beta \epsilon }$（と${\displaystyle \epsilon }$（最近接相互作用エネルギーを表す）各ツリーブランチには k 世代（熱力学的極限では → ∞）が存在し（与えられた閉じたケイリーツリー図に示すように閉じたツリー構造を形成する）。最後の項の和は一様に急速に収束することが示され（すなわち z → ∞ のとき有限のままである）、連続的かつ単調な関数となり、次のことが確立される。${\displaystyle \gamma }$自由エネルギーが2以上の場合、自由エネルギーは温度Tの連続関数となる。自由エネルギーのさらなる解析によると、臨界温度において、自由エネルギーは異常な不連続な一次導関数を示すことが示されている（Krizan、Barth & Glasser (1983)、Glasser & Goldberg (1983)）。

ツリー上のサイト（一般にmとn）間のスピン-スピン相関は、頂点（例えばAとĀ、その鏡像）、それぞれの隣接サイト（例えばBとそれの鏡像）、および2つのツリーの最上部と最下部の極端頂点に隣接するサイト間（例えばAとB）で考慮すると、遷移点を持つことがわかった。 $${\displaystyle \langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}}$$ どこ${\displaystyle N_{b}}$結合の数に等しい、${\displaystyle g_{mn}(l)t^{l}}$は、偶数中間サイトを持つ奇数頂点のグラフの数です（詳細な計算については、引用されている方法論と参考文献を参照してください）。${\displaystyle 2^{N}}$は、2値スピンの可能性と分配関数から生じる多重度である。${\displaystyle {Z_{N}}}$から派生する${\displaystyle \sum _{\{s\}}e^{-\beta H}}$。 （注記：${\displaystyle s_{i}}$これは、このセクションで参照されている文献と一致しており、以下と同等である。${\displaystyle S_{i}}$または${\displaystyle \sigma _{i}}$上記および以前のセクションで使用されている。その価値は${\displaystyle \pm 1}$臨界温度${\displaystyle T_{C}}$は $${\displaystyle T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.}$$

このモデルの臨界温度は分岐比のみによって決定される。${\displaystyle \gamma }$そしてサイト間の相互作用エネルギー${\displaystyle \epsilon }$これは、神経構造とその機能に関連する直接的な意味を持つ可能性がある事実である（相互作用エネルギーと分岐比をその遷移挙動に関連付けるという意味で）。例えば、睡眠状態と覚醒状態の間の神経ネットワークの活動の遷​​移挙動（スピン-スピン型の相転移と相関する可能性がある）と神経相互接続性の変化との関係（${\displaystyle \gamma }$）および／または近隣間の相互作用（${\displaystyle \epsilon }$）時間の経過とともに、これは、このような現象をさらに実験的に調査するための提案された可能性のある方法の 1 つにすぎません。いずれにせよ、このイジング モデルでは、「長距離相関の安定性は、の増加とともに増加する」ことが確立されています。${\displaystyle \gamma }$または増加${\displaystyle \epsilon }$。

このトポロジーでは、2 つのツリー (またはブランチ) が結合している中央サイト (つまり、A と個別に C、D、または E の間) と極端頂点間のスピン スピン相関はゼロであることがわかりました。この挙動は、k が増加するにつれて、リンクの数 (極端頂点間) が指数関数的に増加するため、スピン相関への寄与が指数関数的に減少しても、一方のツリーの極端頂点 (A) と結合したツリーの極端頂点 (Ā) などのサイト間の相関は (臨界温度以上で) 有限のままであるという事実によるものと説明されます。さらに、A と B も (それらの鏡像と同様に) ゼロでない相関を示し、B レベルのサイト (A レベルと) は、発火の同期を示す傾向がある「クラスター」と見なされます。

他の古典的なネットワークモデルを比較検討した結果、閉じたケイリー木上のイジングモデルは、スピン間相関がゼロでない局所的および長距離的サイトを示すと同時に、相関がゼロの中間サイトも示す最初の古典的な統計力学モデルであることが判明しました。これは、当時、大規模なニューラルネットワークにとって重要な問題でした。このモデルの挙動は、イジング型の相互作用を持つ閉じたケイリー木トポロジーを示す、他の発散収束木型の物理（または生物）システムにも関連しています。このトポロジーは、イジングモデルにおける挙動が厳密に解明されているため、無視すべきではありません。おそらく自然界は、設計の多くのレベルで、このような単純な対称性を利用する方法を見つけているでしょう。

バース（1981）は、（1）古典的な大規模ニューラルネットワークモデル（同様の結合発散収束トポロジーを持つ）と（2）基礎となる統計的量子力学モデル（トポロジーに依存せず、基本量子状態に持続性を持つ）との間に相互関係が存在する可能性を早期に指摘した。

閉じたケイリーツリーモデルから得られた最も重要な結果は、中間距離相関がないにもかかわらず長距離相関が発生することです。この結果は他の古典モデルでは実証されていません。この現象を説明できないインパルス伝達の古典的見解の失敗は、多くの研究者（Ricciiardi and Umezawa、1967、Hokkyo、1972、Stuart、Takahashi and Umezawa、1978、1979）によって、非常に基本的なレベルで根本的に新しい仮定を正当化するほど重要であると指摘され、脳内に量子協調モードが存在することを示唆しています。さらに、脳内のゴールドストーン粒子またはボソン（Umezawaらによる）の（モデリング）は、基底状態に保存される量子数の長距離相関を示していることは興味深い点です。閉じたケイリーツリーモデルでは、サイトのペアの基底状態と個々のサイトの状態変数の両方が長距離相関を示すことができます。

初期の神経物理学者（梅澤、クリザン、バースなど）の間では、古典的な神経モデル（統計力学的な側面を持つものを含む）は、いずれ量子物理学（量子統計的な側面を持つものを含む）と統合されなければならないという考えが自然かつ一般的であった。これは、化学の分野が歴史的に量子化学を通じて量子物理学に統合されてきたのと同様の過程であると考えられる。

閉じたケイリー木に関しては、時間依存の場合や外部場の場合など、統計力学上の興味深い問題がいくつか残されており、基礎となる量子構成要素とその物理との相互関係を理解することを目的とした理論的な取り組みも行われている。

メトロポリス・ヘイスティングス法は、イジングモデルの推定値を計算する最も一般的に使用されるモンテカルロ法です。^{[ 30 ]}このアルゴリズムはまず、状態μにあるときに、アルゴリズムがすべての状態の中から状態νを選択する確率を表す選択確率g (μ, ν)を選択します。次に、詳細平衡を満たすように受理確率A (μ, ν)を使用します。新しい状態νが受理された場合、その状態に移動し、新しい状態を選択して受理するかどうかを決定するプロセスを繰り返します。νが受理されない場合は、μにとどまります。このプロセスは、何らかの停止条件が満たされるまで繰り返されます。イジングモデルの場合、停止条件は多くの場合、格子が強磁性体になったとき、つまりすべてのサイトが同じ方向を向いたときです。^{[ 30 ]}

アルゴリズムを実装する際には、エルゴード性が満たされるようにg (μ, ν) を選択する必要がある。熱平衡状態では、システムのエネルギーは小さな範囲内でしか変動しない。^{[ 30 ]}これが、シングルスピン反転ダイナミクスの概念の背後にある動機である。^{[ 31 ]}この概念では、各遷移において、格子上のスピンサイトの 1 つだけを変更すると述べている。^{[ 30 ]} さらに、シングルスピン反転ダイナミクスを使用すると、2 つの状態間で異なる各サイトを 1 つずつ反転させることで、任意の状態から他の任意の状態に移行できる。現在の状態のエネルギーH _μと、可能な新しい状態のエネルギーH _ν (シングルスピン反転ダイナミクスを使用) との間の変化の最大量は、新しい状態に移動するために「反転」するスピンと、そのスピンの隣接スピンとの間の 2 Jである。^{[ 30 ]}したがって、各サイトに 2 つの隣接サイト (左と右) がある 1 次元イジング モデルでは、エネルギーの最大差は 4 Jになります。c を格子配位数、つまり任意の格子サイトが持つ最近接隣接サイトの数とします。周期境界条件により、すべてのサイトが同じ数の隣接サイトを持つと仮定します。[ 30 ^{]臨界減速}のため、メトロポリス-ヘイスティングス アルゴリズムは臨界点付近でうまく機能しないことに注意することが重要です。臨界点付近でモデルを解くには、マルチグリッド法、ニーダーマイヤー アルゴリズム、スウェンセン-ワン アルゴリズム、またはウォルフ アルゴリズムなどの他の手法が必要です。これは、システムの臨界指数を決定するために必要な要件です。

特にイジングモデルの場合、単一スピン反転ダイナミクスを用いると、以下のことが証明できます。格子上には合計L個のサイトがあり、単一スピン反転のみを別の状態への遷移方法として用いると、現在の状態μから合計L個の新しい状態νが存在することがわかります。このアルゴリズムでは、選択確率がL個の状態に等しいと仮定しています。すなわち、g (μ, ν) = 1/ Lです。詳細平衡の法則によれば、以下の式が成り立つはずです。

$${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

したがって、アルゴリズムの受理確率を次のように選択したい。

$${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$$

H _ν > H _μの場合、A (ν, μ) > A (μ, ν)。 Metropolis は、A (μ,  ν) またはA (ν, μ)の大きい方を 1 に設定します。この推論により、受け入れアルゴリズムは次のようになります。^{[ 30 ]}

$${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

アルゴリズムの基本形式は以下のとおりです。

1. 選択確率g (μ, ν)を用いてスピンサイトを選択し 、このスピンが関与するエネルギーへの寄与を計算します。
2. スピンの値を反転させて、新しい寄与を計算します。
3. 新しいエネルギーが小さい場合は、反転した値を維持する。
4. 新しいエネルギーがもっと多い場合は、確率のみで維持します${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. 繰り返す。

エネルギー変化Hν − Hμ_{は、スピンの値とその最も近いグラフ近傍のみに依存します。したがって、グラフがあまり連結していなければ、アルゴリズムは高速です。このプロセスにより}、最終的に分布から選択が行われます。  

イジングモデルは、将来の状態 ν に遷移する即時の確率P _β (ν) が現在の状態 μ のみに依存するため、マルコフ連鎖として見ることができる。メトロポリスアルゴリズムは実際にはマルコフ連鎖モンテカルロシミュレーションの一種であり、メトロポリスアルゴリズムでは単一スピン反転ダイナミクスを使用するため、各状態は正確にL個の他の状態へのリンクを持つと見なすことができ、各遷移は単一のスピンサイトを反対の値に反転することに対応する。^{[ 32 ]}さらに、エネルギー方程式H _{σ の}変化は最近接相互作用強度Jのみに依存するため、イジングモデルとその変種であるSznajd モデルは、意見ダイナミクスの投票者モデルの一種と見なすことができる。

熱力学的限界は、相互作用の減衰が${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$α > 1 の場合。^{[ 33 ]}

• 強磁性相互作用の場合${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$1 < α < 2 の場合、ダイソンは階層構造の場合との比較により、十分に低い温度で相転移が起こることを証明した。^{[ 34 ]}
• 強磁性相互作用の場合${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$フレーリッヒとスペンサーは、十分に低い温度で相転移が起こることを証明した（階層構造の場合とは対照的に）。^{[ 35 ]}
• 相互作用の場合${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$α > 2 (有限範囲相互作用の場合を含む) の場合、自由エネルギーは熱力学的パラメータに関して解析的であるため、正の温度 (つまり有限の β) では相転移は起こりません。^{[ 33 ]}
• 最近接相互作用の場合、E. Ising はモデルの厳密解を提供しました。任意の正の温度 (つまり β が有限) では、自由エネルギーは熱力学的パラメータに関して解析的であり、切り捨てられた 2 点スピン相関は指数関数的に速く減衰します。ゼロ温度 (つまり β が無限) では、二次相転移があります。自由エネルギーは無限であり、切り捨てられた 2 点スピン相関は減衰しません (一定のままです)。したがって、T = 0 はこの場合の臨界温度です。スケーリング式が満たされます。^{[ 36 ]}

強磁性の場合、相転移が生じる。低温では、パイエルスの議論により、最近接相互作用の場合に正の磁化が証明され、さらにグリフィスの不等式により、より長距離の相互作用が加わった場合にも正の磁化が証明される。一方、高温では、クラスター展開により熱力学的関数の解析性が得られる。最近接相互作用の場合、自由エネルギーはオンサーガーによって厳密に計算された。スピン間相関関数はマッコイとウーによって計算された。

3 次元でも 2 次元でも、イジング モデルで最も研究されているケースは、ゼロ磁場における最近接結合を持つ立方格子上の並進不変モデルです。多くの理論家が、2 次元の場合のオンサーガーの解に類似する解析的な 3 次元解を何十 年にもわたって探してきました。^{[ 39 ] [ 40 ]}このような解は、存在しないという証明はないものの、現在まで見つかっていません。3 次元では、イジング モデルは、アレクサンダー ポリャコフとウラジミール ドツェンコによって、相互作用しないフェルミオン ストリングによる表現を持つことが示されました。この構成は格子上に拡張され、臨界点を推測的に記述する連続体極限は不明です。

3 次元でも 2 次元と同様に、パイエルスの議論は相転移が存在することを示している。この相転移は厳密には連続的であることが知られており (相関長が発散し、磁化がゼロになるという意味で)、臨界点と呼ばれている。臨界点は、ウィルソン・カダノフ繰り込み群変換の繰り込み群固定点によって記述できると考えられている。また、モンテカルロ シミュレーション[ 41 ] [ 42 ]、^{量子モデルにおける厳密な対}角化結果[ ^{43 ] 、および量子場理論の議論[ 44} ] によって証明されるように、相転移は 3 次元ユニタリー共形場理論によって記述できると考えられている。繰り込み群の描像または共形場理論の描像^{を厳密に確立することは未解決の問題であるが、理論物理学者はこれらの}2 つの方法を使用して相転移の臨界指数を計算しており、これは実験およびモンテカルロ シミュレーションと一致している。 3 次元イジング臨界点を記述するこの共形場理論は、共形ブートストラップ法を用いて活発に研究されている。^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}この方法は現在、臨界理論の構造に関する最も正確な情報をもたらす（イジング臨界指数を参照）。

2000年、サンディア国立研究所のソリン・イストレイルは、非平面格子上のスピングラス・イジングモデルがNP完全であることを証明した。つまり、P ≠ NPを仮定すると、一般的なスピングラス・イジングモデルは平面の場合のみ厳密に解けるため、2次元を超える次元の解も扱いが困難である。^{[ 49 ]}イストレイルの結果は、空間的に変化する結合を持つスピングラスモデルに関するものであり、結合が等しいイジングの元の強磁性モデルについては何も語っていない。

イジングモデルは、どの次元においても、局所的に変化する平均場によって効果的に記述できる。この平均場は、広い領域におけるスピン値の平均として定義されるが、システム全体を含むほど広い領域ではない。平均化領域が移動するにつれて、平均場は点ごとにゆっくりと変化する。この平均場のゆらぎは、無限系極限における連続体場理論によって記述される。この近似の精度は、次元が大きくなるにつれて向上する。平均場近似を超えてイジングモデルの振る舞いをより深く理解するには、繰り込み群法を用いるとよい。