量子回転子モデル

量子回転子モデルは、量子システムの数学モデルです。これは、磁気双極子モーメントから生じる短距離双極子間磁気力（クーロン力は無視）を介して相互作用する剛体回転子として動作する回転電子の配列として視覚化できます。このモデルは、運動エネルギーに類似した項を含む点で、イジングモデルやハイゼンベルグモデルなどの類似のスピンモデルとは異なります。

基本的な量子回転子は自然界には存在しないが、このモデルは低エネルギー状態にある十分に少数の密接に結合した電子のシステムの有効自由度を記述することができる。 ^[1]

与えられたサイトにおけるモデルのn次元位置（方向）ベクトルがであると仮定する。すると、回転子の運動量は、成分の交換関係によって定義できる。${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle [n_{\alpha},p_{\beta}]=i\delta_{\alpha\beta}}$

しかし、（3次元で）成分によって定義される回転子角運動量演算子を使用することが便利であることがわかっている^[1]。${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L_{\alpha }=\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }n_{\beta }p_{\gamma }}$

そして、量子ローター間の磁気相互作用、そしてそれらのエネルギー状態は、次のハミルトニアンで記述できます。

${\displaystyle H_{R}={\frac {J{\bar {g}}}{2}}\sum _{i}\mathbf {L} _{i}^{2}-J\sum _{\langle ij\rangle }\mathbf {n} _{i}\cdot \mathbf {n} _{j}}$

ここで、は定数です。相互作用の合計は、山括弧で示されているように、最も近い隣接要素にわたって行われます。 が非常に小さい場合と非常に大きい場合、ハミルトニアンは、それぞれ「磁気的に」整列した回転子と無秩序または「常磁性」回転子という 2 つの異なる構成 (基底状態) を予測します。^[1]${\displaystyle J,{\bar {g}}}$${\displaystyle {\bar {g}}}$

量子回転子間の相互作用は、回転子を磁気モーメントではなく局所電流として扱う別の（同等の）ハミルトニアンで記述することができる。^[2]

ローターモデルの重要な特徴の1つは、連続的なO(N)対称性であり、したがって磁気的に整列した状態では連続的な対称性が破れている。2層のハイゼンベルグスピン とを持つシステムでは、ローターモデルは、ハミルトニアン ${\displaystyle \mathbf {S} _{1i}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{2i}}$

${\displaystyle H_{d}=K\sum _{i}\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{2i}+J\sum _{\langle ij\rangle }\left(\mathbf {S} _{1i}\cdot \mathbf {S} _{1j}+\mathbf {S} _{2i}\cdot \mathbf {S} _{2j}\right)}$

対応関係^{[1]を使用して}${\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {S} _{1i}+\mathbf {S} _{2i}}$

O(2)対称性を持つ量子回転子モデルの特殊なケースは、ジョセフソン接合の超伝導アレイや光格子内のボソンの挙動を記述するために使用できます。^[3] O(3)対称性の別の特殊なケースは、量子ハイゼンベルグ反強磁性体の2層（二重層）のシステムと同等であり、二重層量子ホール強磁性体を記述することもできます。^{[3]また、2次元回転子モデルの}相転移は、反強磁性ハイゼンベルグスピンモデルと同じ普遍性クラスを持つことも示されています。 ^[4]

• ハイゼンベルクモデル（量子）
• イジングモデル