Loading article…
幾何学では、点反射（点反転または中心反転とも呼ばれる）は、アフィン空間の幾何学的変換であり、すべての点が指定された反転中心を横切って反射され、反転中心は固定されたままです。ユークリッド空間または擬ユークリッド空間では、点反射は等長変換（距離を保存する）です。[ 1 ]ユークリッド平面では、点反射は半回転（ 180°またはπラジアン）と同じですが、3次元ユークリッド空間では、点反射は距離を保存するが向きを反転する不適切な回転です。点反射は対合です。これを2回適用すると恒等変換になります。
点反射に対して不変なオブジェクトは、点対称性（反転対称性または中心対称性とも呼ばれる）を持つと言われます。点反射を対称性の中に含む点群は、中心対称性を持つと呼ばれます。反転対称性は多くの結晶構造や分子に見られ、それらの物理的性質に大きな影響を与えます。[ 2 ]
反射という用語は曖昧で、言語の濫用とみなされ、反転の方が好まれる場合もありますが、点反射は広く使用されています。このようなマップは対合であり、位数が 2 であることを意味します。つまり、それらは自身の逆マップです。2 回適用すると恒等マップが得られます。これは、反射と呼ばれる他のマップにも当てはまります。より狭義には、反射とは超平面(次元アフィン部分空間–直線上の点、平面上の直線、3次元空間内の平面）超平面は固定されているが、より広くは、反射はユークリッド空間の任意の対合に適用され、固定集合（次元kのアフィン空間、ここで) は鏡と呼ばれます。 1 次元では、点が直線上の超平面であるため、これらは一致します。
線形代数の観点から言えば、原点が固定されていると仮定すると、対合はすべての固有値が 1 または -1 である対角化可能な写像に正確に対応します。超平面での反射は、単一の -1 固有値（および重複度）を持ちます。点反射は固有値 1 を持ち、点反射は固有値 -1 のみを持ちます (重複度n )。
反転という用語は、円に関して反転が定義される反転幾何学と混同してはならない。
2次元では、点の鏡映は180度の回転と同じです。3次元では、点の鏡映は、回転軸に垂直な回転面を横切る鏡映と組み合わせた180度の回転として表すことができます。n次元では、nが偶数の場合は点の鏡映は向きを保存し、 nが奇数の場合は向きを反転します。
ユークリッド空間R nにおけるベクトルaが与えられたとき、点pに関してaを反射する式は次のようになる。
pが原点の場合、点の反射は単にベクトルaの否定になります。
ユークリッド幾何学において、点Xを点Pに関して反転させたものは、点X *であり、PはXとX *を端点とする線分の中点である。言い換えれば、XからPへのベクトルは、 PからX *へのベクトルと同じである。
Pにおける反転の式は次のとおりです。
ここで、 p、x、x *はそれぞれP、X、X *の位置ベクトルである。
反転点P が原点と一致する場合、点反射は一様スケーリングの特殊なケース、すなわちスケール係数が -1 の一様スケーリングに相当します。これは線形変換の一例です。
Pが原点と一致しない場合、点反射は相似変換の特殊なケース、すなわち相似中心がPと一致し、スケールファクターが-1となる相似変換に相当します。（これは非線形アフィン変換の一例です。）
2つの点反射の合成は平行移動である。[ 3 ]具体的に は、pでの点反射に続いてqでの点反射を行うと、ベクトル2( q - p )による平行移動となる。
すべての点の鏡映と平行移動からなる集合は、ユークリッド群のリー部分群である。これは、 R nと位数 2 の巡回群との半直積であり、後者はR nに対して否定作用を行う。まさにこのユークリッド群の部分群が、直線を点ごとに無限遠に固定するのである。
n = 1 の場合、点反射群は直線の完全等長変換群となる。
その点を踏まえてそしてその反映その点に関して後者は線分の中点である;
したがって、反射点の座標を求める方程式は次のようになります。
特に、点 C の座標が（下記の段落を参照）
偶数次元ユークリッド空間、例えば2N次元空間において、点Pにおける反転は、点Pで交わる任意のN個の互いに直交する平面の各平面において、角度πをN回回転させることと等価である。これらの回転は互いに可換である。したがって、偶数次元空間における点の反転は、向きを保存する等長変換、すなわち直接等長変換である。
奇数次元のユークリッド空間、例えば（2N + 1）次元空間では、これは、点Pで交差する任意のN個の互いに直交する平面の各平面において、 πを中心としたN回の回転と、これらの回転平面によって張られる2N次元部分空間における鏡映を組み合わせたものに相当します。したがって、これは向きを保存するのではなく反転させるものであり、間接的な等長変換です。
3D空間における幾何学的には、これは点Pを通る軸を中心とした180°の回転と、その軸に垂直な点Pを通る平面での鏡映を組み合わせたものに相当します。結果は軸の向き（逆方向）には依存しません。演算の種類、またはそれが生成する群の種類を表す記号は次のとおりです。C i、S 2、および 1 ×。群タイプは、純粋な回転対称性を持たない 3D の3 つの対称群タイプの 1 つです。n = 1の周期対称性を参照してください。
以下の3次元点群は反転を含んでいます。
反転対称性は、他の対称操作と同様に、材料の特性において重要な役割を果たします。[ 2 ]
分子によっては、対称性を保ちながら全ての原子が反射できる点が存在する場合、反転中心を持つものがあります。多くの場合、それらは配位数と結合角によって分類される多面体とみなすことができます。たとえば、4 配位の多面体は四面体に分類され、5 配位の環境は結合角に応じて四角錐または三角両錐になります。6 配位の八面体は中心対称多面体の例であり、中心原子が反転中心として働き、6 つの結合原子が対称性を保ちます。一方、四面体は中心対称ではなく、中心原子を通る反転によって多面体が反転します。配位数が奇数（偶数ではない）の多面体は中心対称ではありません。反転中心を持つ多面体は中心対称として知られ、持たない多面体は非中心対称として知られています。反転中心の有無は光学特性に大きな影響を与えます。[ 4 ]例えば、反転対称性を持たない分子は双極子モーメントを持ち、光子と直接相互作用することができるが、反転対称性を持つ分子は双極子モーメントを持たず、ラマン散乱を介してのみ相互作用する。[ 5 ]後者は、その発見により1930年のノーベル物理学賞を受賞したC.V.ラマンにちなんで名付けられた。[ 6 ]
さらに、結晶学では、周期構造の反転中心の存在によって、中心対称化合物と非中心対称化合物が区別されます。すべての結晶性化合物は、単位セルと呼ばれる原子構成単位の繰り返しから成り、これらの単位セルによって、どの多面体がどのような順序で形成されるかが決まります。酸化物などの多くの材料では、これらの多面体は、どの原子が共通の結合を共有しているか、また価数に応じて、角、辺、または面を共有することによって互いに結合することができます。金属や合金などの他のケースでは、構造は密に充填された原子の配置として考える方が適切です。反転対称性を持たない結晶も圧電効果を示します。反転対称性の有無は、固体の特性に多くの影響を及ぼし、[ 2 ]異なる結晶対称性間の数学的関係も同様です。[ 7 ]
結晶中の実際の多面体は、結合幾何学において予想される均一性を欠くことが多い。結晶学でよく見られる不規則性には、歪みと無秩序がある。歪みとは、不均一な結合長による多面体の歪みであり、多くの場合、異種原子間の静電相互作用の違いやヤーン・テラー歪みなどの電子効果によるものである。例えば、チタン中心は八面体中の6つの酸素と均等に結合する可能性が高いが、酸素の1つがより電気陰性度の高いフッ素に置き換えられると歪みが生じる。歪みは多面体の本来の幾何学的構造を変えることはない。歪んだ八面体も依然として八面体として分類されるが、十分に強い歪みは化合物の中心対称性に影響を与える可能性がある。無秩序とは、2つ以上のサイトに原子が分散して占有されることであり、ある割合の多面体では原子が1つの結晶学的位置を占め、残りの位置では別の原子が占める。構造の乱れは、占有率が既に存在する反転中心を挟んで分割されているかどうかに応じて、特定の多面体の中心対称性にも影響を与える可能性がある。
中心対称性は、個々の多面体だけでなく、結晶構造全体に適用されます。結晶は、バルク構造内で異なる多面体が空間内でどのように配置されるかを記述する32の結晶学的点群に分類されます。これらの32の点群のうち、11は中心対称です。非中心対称多面体が存在するからといって、点群が同じになるとは限りません。2つの非中心対称形状は、2つの間に反転中心を含むように空間内で配向される可能性があります。互いに向き合う2つの四面体は、各原子が鏡像対を持つことができるように配向されるため、中央に反転中心を持つことができます。その逆もまた真であり、複数の中心対称多面体を配置して非中心対称点群を形成することができます。
原点に関する反転は、位置ベクトルの加法反転、および−1によるスカラー乗算に対応します。この操作は他のすべての線形変換と可換ですが、平行移動とは可換ではありません。これは一般線形群の中心にあります。「点」、「線」、「平面」を明示しない「反転」は、この反転を意味します。物理学では、原点を通る 3 次元反射はパリティ変換とも呼ばれます。
数学において、原点による反射とは、ユークリッド空間R nをデカルト座標系の原点に関して点反射することを指します。原点による反射は、スカラー倍に対応する直交変換です。また、次のように書くこともできます。、 どこは単位行列です。3次元では、これはなどなど。
スカラー行列として、それはすべての基底において、次の行列で表されます。対角線上にあり、恒等関数とともに直交群の中心である。。
これはn回の直交反射（任意の直交基底の軸に関する反射）の積です。直交反射は可換であることに注意してください。
2次元では、実際には180度回転であり、これはn 個の直交平面における 180 度の回転です。 [ a ]直交平面における回転は可換であることを再度注意してください。
決定要因（行列による表現、または鏡映の積として表現される）。したがって、偶数次元では向きを保存するため、特殊直交群SO(2 n ) の要素となり、奇数次元では向きを反転するため、SO(2 n + 1)の要素ではなく、代わりに写像の分割を提供する。それによって、内部直接製品として。
同様に、これは反射の生成セットに関して直交群の最長要素です。直交群の要素はすべて反射の生成セットに関して長さが最大でnであり、 [ b ]原点を通る反射の長さはn ですが、これは一意ではありません。他の最大回転の組み合わせ (およびおそらく反射) も最大の長さを持ちます。
SO(2 r ) では、原点を通る反射は、通常の計量に関して単位元から最も遠い点です。O(2 r + 1) では、原点を通る反射は SO(2 r + 1) には含まれません (非単位元成分に含まれます)。また、非単位元成分内の他のどの点よりも「遠い点」であるという自然な意味はありませんが、他の成分の基点となります。
要素と混同してはならないスピン群では、これは特に偶数スピン群で混乱を招く。、したがって両方ありますそして2つのリフト。
恒等式による反射は、クリフォード代数の自己同型写像にまで拡張され、これを主対合または次数対合と呼ぶ。
恒等式による反射は擬スカラーに持ち上げられる。
に南インド科学協会で行われた就任演説。
