ポイント反射

互いに中心対称な二重四面体

幾何学において、点反射（点反転または中心反転とも呼ばれる）は、アフィン空間の幾何学的変換であり、指定された反転中心（固定）を挟んですべての点が反射される。ユークリッド空間または擬ユークリッド空間では、点反射は等長変換（距離が保存される）である。^[1]ユークリッド平面では、点反射は半回転（ 180°または $π$ ラジアン）と同じであるが、3次元ユークリッド空間では、点反射は距離が保存されるが向きが反転する不適切な回転である。点反射は反転であり、これを2回適用すると恒等変換となる。

点対称に対して不変な物体は点対称性（反転対称性または中心対称性とも呼ばれる）を持っていると言われる。対称性の中に点対称性を含む点群は中心対称性と呼ばれる。反転対称性は多くの結晶構造や分子に見られ、それらの物理的性質に大きな影響を与える。^[2]

用語

反射という用語は曖昧で、言葉の乱用であると考える人もいます。反転が好ましいのですが、点の反射が広く使用されています。このような写像は反転であり、つまり次数が 2 であることを意味します。つまり、それらはそれ自身の逆であり、それらを 2 回適用すると恒等写像が得られます。これは、反射と呼ばれる他の写像にも当てはまります。より狭義には、反射は、超平面(次元アフィン部分空間、つまり直線上の点、平面内の直線、3 次元空間内の平面) での反射を指し、超平面は固定されていますが、より広義には、反射はユークリッド空間の任意の反転に適用され、固定された集合 (次元kのアフィン空間、ここで) はミラーと呼ばれます。次元 1 では、点は直線上の超平面であるため、これらは一致します。 $n-1$ $1\leq k\leq n-1$

線型代数の観点から見ると、原点が固定されていると仮定すると、反転はすべての固有値が 1 または -1 である対角化可能な写像とまったく同じです。超平面での反射には単一の -1 固有値（および 1 固有値に対する重複値）がありますが、点反射には -1 固有値（重複n ）のみがあります。 $n-1$

「反転」という用語は、反転が円に対して定義される「反転幾何学」と混同しないでください。

例

2 次元では、点反射は180 度の回転と同じです。3 次元では、点反射は、回転軸に垂直な回転面を横切る反射を含む180 度回転として説明できます。次元nでは、点反射は、nが偶数の場合は方向が維持され、nが奇数の場合は方向が反転されます。

式

ユークリッド空間R ⁿのベクトルaが与えられたとき、点pを横切るaの反射の式は

\mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .

pが原点の場合、点反射は単にベクトルaの否定になります。

ユークリッド幾何学では、点Pに関する点Xの反転は点X * であり、P は端点XとX * を持つ線分の中点です。言い換えると、XからPへのベクトルは、 PからX *へのベクトルと同じです。

Pにおける反転の式は

x * = 2 p − x

ここで、p、x、x *はそれぞれP、X、X *の位置ベクトルです。

このマッピングは、正確に 1 つの固定点( P)を持つ等長逆アフィン変換です。

均一なスケーリングまたは相似性の特別なケースとしての点反射

反転点Pが原点と一致する場合、点の反射は均一スケーリングの特殊なケース、つまりスケール係数が-1に等しい均一スケーリングに相当します。これは線形変換の例です。

P が原点と一致しない場合、点の反射は、相似変換の特殊なケース、つまり相似中心が P と一致し、スケール係数が -1 である相似変換に相当します。(これは非線形アフィン変換の例です。)

点反射グループ

2つの点反射の合成は並進である。[ 3 ]^具体的には、pでの点反射の後にqでの点反射が続くと、ベクトル2( q − p )による並進となる。

すべての点の反射と平行移動からなる集合は、ユークリッド群のリー部分群です。これは、R ⁿと位数 2 の巡回群の半直積であり、後者はR ⁿに否定的に作用します。これは、直線を点ごとに無限遠に固定するユークリッド群の部分群とまったく同じです。

n = 1の場合、点反射群は直線の完全な等長変換群です。

数学における点の反射

球の中心を横切る点の反射により、対蹠地図が得られます。
対称空間は、各点を横切る等長反射を持つリーマン多様体です。対称空間は、リー群とリーマン幾何学の研究において重要な役割を果たします。

解析幾何学における点反射

点と、点に対するその反射が与えられると、後者は線分の中点である。 $P(x,y)$ $P'(x',y')$ $C(x_{c},y_{c})$ ${\overline {PP'}}$

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}

したがって、反射点の座標を求める式は次のようになる。

{\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}

特に、点Cが座標を持つ場合（以下の段落を参照） $(0,0)$

{\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}

プロパティ

偶数次元ユークリッド空間、たとえば 2 N次元空間では、点Pにおける反転は、 Pで交差する任意のN 個の相互に直交する平面の集合の各平面における角度 $πにわたる$ N 回の回転に相当します。これらの回転は相互に可換です。したがって、偶数次元空間の点における反転は、方向保存等長変換または直接等長変換です。

奇数次元ユークリッド空間、例えば (2 N + 1) 次元空間では、これは、Pで交差する任意のN 個の相互に直交する平面の集合の各平面における $π周りの$ N回転と、これらの回転平面が張る2 N次元部分空間における反射との組み合わせに相当します。したがって、方向を維持するのではなく反転するため、間接等長変換となります。

3D の幾何学的には、Pを通る軸の周りの 180° の回転と、軸に垂直なP を通る平面での反射の組み合わせに相当します。結果は軸の方向(他の意味で) に依存しません。操作の種類、またはそれが生成するグループの種類の表記は、、C _i、S _{2 、および 1× です。グループタイプは、純粋な}回転対称性を持たない 3D の 3 つの対称グループタイプのうちの 1 つです。n = 1の周期対称性を参照してください。 ${\overline {1}}$

3 次元の次の点群には反転が含まれます。

C _{n h}とD _{n h （偶数}nの場合）
S _{2 n}およびD _{n d}（奇数nの場合）
T _h、O _h、そしてI _h

点における反転と密接に関連しているのは、平面に関する反射であり、これは「平面における反転」と考えることができます。

結晶と分子の反転中心

反転対称性は、他の対称操作と同様に、材料の特性に大きな役割を果たします。^[2]

一部の分子には反転中心があり、その点を通してすべての原子が対称性を保ちながら反射することができます。多くの場合、それらは多面体とみなされ、配位数と結合角によって分類されます。たとえば、4 配位の多面体は四面体に分類されますが、5 配位の環境は結合角に応じて四角錐または三角両錐になります。6 配位の八面体は中心原子が反転中心として機能し、6 つの結合原子が対称性を保つため、中心対称多面体の一例です。一方、四面体は中心原子を通して反転すると多面体が反転するため、非中心対称です。奇数 (偶数ではなく) の配位数を持つ多面体は中心対称ではありません。反転中心を持つ多面体は中心対称と呼ばれ、反転中心を持たない多面体は非中心対称です。反転中心の有無は光学特性に大きな影響を与えます。^[4]例えば、反転対称性のない分子は双極子モーメントを持ち、光子と直接相互作用することができますが、反転対称性を持つ分子は双極子モーメントを持たず、ラマン散乱を介してのみ相互作用します。^[5]後者は、1930年にその発見によりノーベル物理学賞を受賞したCVラマンにちなんで名付けられました。 ^[6]

さらに、結晶学では、周期構造の反転中心の存在によって、中心対称化合物と非中心対称化合物が区別されます。すべての結晶化合物は、単位格子と呼ばれる原子構成要素の繰り返しから成り、これらの単位格子によって、どの多面体が形成され、どのような順序になるかが定義されます。酸化物などの多くの材料では、これらの多面体は、どの原子が共通の結合と価数を共有するかに応じて、角、辺、または面を共有して互いに結合できます。金属や合金などの他のケースでは、構造は最密充填された原子の配列と見なす方が適切です。反転対称性を持たない結晶も圧電効果を示します。反転対称性の有無は、固体の特性にさまざまな影響を与えます^[2]。異なる結晶対称性間の数学的関係も同様です^{[7] 。}

結晶中の実際の多面体は、結合形状において予想される均一性を欠くことが多い。結晶学でよく見られる不規則性には、歪みと無秩序がある。歪みは、不均一な結合長による多面体の歪みで、ヘテロ原子間の静電相互作用の違いや、ヤーン・テラー歪みなどの電子効果によることが多い。例えば、チタン中心は八面体中の 6 つの酸素に均等に結合する可能性が高いが、酸素の 1 つがより電気陰性度の高いフッ素に置き換えられると歪みが生じる。歪みによって多面体の本来の形状が変わることはない。歪んだ八面体も八面体として分類されるが、十分に強い歪みは化合物の中心対称性に影響を及ぼす可能性がある。無秩序は、2 つ以上のサイトにわたる分割占有で、ある割合の多面体では 1 つの結晶学的位置を原子が占め、残りの位置では別の原子が占める。不規則性は、すでに存在する反転中心の上で占有が分割されるかどうかに応じて、特定の多面体の中心対称性にも影響を与える可能性があります。

中心対称性は、個々の多面体だけでなく、結晶構造全体に適用されます。結晶は、32 の結晶学的点群に分類され、さまざまな多面体がバルク構造内で空間的にどのように配置されるかを説明します。これらの 32 の点群のうち、11 が中心対称です。中心対称でない多面体が存在するからといって、点群が同じになることが保証されるわけではありません。2 つの中心対称でない形状が、その間に反転中心が含まれるような形で空間内に配置されることがあります。向かい合う 2 つの四面体は、各原子が鏡像ペアを持つことができるため、中央に反転中心を持つことができます。逆もまた真で、複数の中心対称多面体が配置されて、中心対称でない点群を形成することもあります。

原点に対する反転

原点に関する反転は、位置ベクトルの加法反転、および-1 によるスカラー乗算に対応します。この演算は、他のすべての線形変換と交換可能ですが、平行移動とは交換できません。これは、一般線形群の中心にあります。「点」、「線」、「平面」を示さない「反転」は、この反転を意味します。物理学では、原点を通る 3 次元反射はパリティ変換とも呼ばれます。

数学において、原点を通る鏡映とは、直交座標系の原点を横切るユークリッド空間 R ⁿの点鏡映を指します。原点を通る鏡映は、によるスカラー乗算に対応する直交変換であり、と書くこともできます。ここで、は単位行列です。3次元では、、などとなります。 $-1$ $-I$ $I$ $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$

表現

スカラー行列としては、あらゆる基底において対角要素にを持つ行列によって表され、単位行列とともに直交群の中心となります。 $-1$ $O(n)$

これはn 回の直交反射（任意の直交基底の軸を通る反射）の積です。直交反射は可換であることに注意してください。

2次元では、実際には180度の回転であり、次元では、 n個の直交平面で180度の回転です。 ^[a]直交平面での回転は可換であることに再度注意してください。 $2n$

プロパティ

行列式を持ちます（行列による表現または反射の積として）。したがって、偶数次元では方向が保存されるため、特殊直交群SO(2 n ) の要素になります。また、奇数次元では方向が反転するため、SO(2 n + 1)の要素ではなく、代わりにマップの分割を提供し、内部直積としてそれを示します。 $(-1)^{n}$ $O(2n+1)\to \pm 1$ $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$

これは単位元とともに直交群の中心を形成します。
これはすべての二次形式、つまりを保存するため、すべての不定直交群の元でもあります。 $Q(-v)=Q(v)$
特性が 2 の場合にのみ、恒等式と等しくなります。
これは符号付き順列のCoxeter 群の最長要素です。

同様に、これは反射の生成集合に関して直交群の最長の要素です。直交群の要素はすべて、反射の生成集合に関して最大でn の長さを持ち、 ^[b]原点を通る反射は長さn を持ちますが、この点は一意ではありません。他の回転の最大組み合わせ (および場合によっては反射) も最大長を持ちます。

幾何学

SO(2 r ) では、原点を通した反射は、通常のメトリックに関して単位元から最も遠い点です。O(2 r + 1) では、原点を通した反射は SO(2 r +1)にはなく(非単位元にあります)、非単位元内の他の点よりも「遠い点」であるという自然な意味はありませんが、他の要素の基点を提供します。

クリフォード代数とスピン群

これをスピン群の要素と混同しないでください。これは、であるため、偶数スピン群では特に混乱を招きやすく、したがってではとの 2 つのリフトが存在します。 $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ $-I\in SO(2n)$ $\operatorname {Spin} (n)$ $-1$ $-I$

恒等式を通した反映は、主反転または次数反転と呼ばれるクリフォード代数の自己同型にまで拡張されます。

恒等式を通した反射は擬スカラーに上がります。

参照

注記

^ 「直交平面」とは、すべての要素が直交し、平面が 0 のみで交差することを意味します。平面が直線で交差し、二面角が90° になるわけではありません。
^ これは、例えばスペクトル定理から導かれる、回転と反射の直和として直交変換を分類することによって導かれます。

参考文献

^ 「Reflections in Lines」. new.math.uiuc.edu . 2024年4月27日閲覧。
^ abc Nye, JF (1984).結晶の物理的性質: テンソルと行列による表現(pbk で初版、訂正あり、1984 版)。オックスフォード [オックスフォードシャー] : ニューヨーク: クラレンドンプレス、オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-851165-6。
^ 「Lab 9 Point Reflection」. sites.math.washington.edu . 2024年4月27日閲覧。
^ ハリスとベルトルッチ (1989)。対称性と分光法。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66144-5。
^ ラマン、CV (1928)。「新しい放射線」。インド物理学ジャーナル。2 : 387-398。hdl :10821/377。1928年3月16日金曜日、南インド科学協会で行われた就任演説
^ Singh, R. (2002). 「CV ラマンとラマン効果の発見」. Physics in Perspective . 4 (4): 399– 420. Bibcode :2002PhP.....4..399S. doi :10.1007/s000160200002. S2CID 121785335.
^ Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans; Bärnighausen, Hartmut (2017).結晶構造間の対称関係: 結晶化学における結晶学群論の応用. 国際結晶学連合の結晶学に関するテキスト (ペーパーバック版が初版)。オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-880720-9。

[8] 「直交平面」とは、すべての要素が直交し、平面が 0 のみで交差することを意味します。平面が直線で交差し、二面角が90° になるわけではありません。

[9] これは、例えばスペクトル定理から導かれる、回転と反射の直和として直交変換を分類することによって導かれます。

[1] 「Reflections in Lines」. new.math.uiuc.edu . 2024年4月27日閲覧。

[:0-2] Nye, JF (1984).結晶の物理的性質: テンソルと行列による表現(pbk で初版、訂正あり、1984 版)。オックスフォード [オックスフォードシャー] : ニューヨーク: クラレンドンプレス、オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-851165-6。

[3] 「Lab 9 Point Reflection」. sites.math.washington.edu . 2024年4月27日閲覧。

[4] ハリスとベルトルッチ (1989)。対称性と分光法。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-66144-5。

[raman1928-5] ラマン、CV (1928)。「新しい放射線」。インド物理学ジャーナル。2 : 387-398。hdl :10821/377。1928年3月16日金曜日、南インド科学協会で行われた就任演説

[6] Singh, R. (2002). 「CV ラマンとラマン効果の発見」. Physics in Perspective . 4 (4): 399– 420. Bibcode :2002PhP.....4..399S. doi :10.1007/s000160200002. S2CID 121785335.

[7] Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans; Bärnighausen, Hartmut (2017).結晶構造間の対称関係: 結晶化学における結晶学群論の応用. 国際結晶学連合の結晶学に関するテキスト (ペーパーバック版が初版)。オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-880720-9。