Magma（コンピュータ代数システム）

Magmaは、代数、数論、幾何学、組み合わせ論における問題を解決するために設計された数式処理システムです。その名前は、代数構造であるマグマに由来しています。Unix系オペレーティングシステムおよびWindows上で動作します。

Magmaは、シドニー大学シドニー数学統計学部内の計算代数グループによって開発・配布されています。

2006年後半、シュプリンガー社から「アルゴリズムと計算の数学」シリーズの第19巻として「Magmaで数学を発見する」という本が出版された。 ^{[ 3 ]}

Magmaシステムは純粋数学の分野で広く利用されています。計算代数グループはMagmaを引用している出版物のリストを管理しており、2010年時点で約2600件の引用があり、そのほとんどは純粋数学の分野ですが、経済学や地球物理学など多様な分野の論文も含まれています。^{[ 4 ]}

Magmaシステムの前身は、アーサー・ケイリーにちなんでケイリー（1982年～1993年）と名付けられました。

Magmaは1993年8月に正式リリースされました（バージョン1.0）。Magmaのバージョン2.0は1996年6月にリリースされ、それ以降の2.Xシリーズはほぼ年に1回のペースでリリースされています。

2013年、計算代数グループはサイモンズ財団と協定を締結し、サイモンズ財団が米国のすべての非営利、非政府の科学研究機関または教育機関にMagmaを提供するすべての費用を負担することになりました。参加機関に所属するすべての学生、研究者、教員は、その機関を通じてMagmaに無料でアクセスできます。^{[ 5 ]}

• 群論

Magmaには、順列群、行列群、有限表示群、可解群、アーベル群（有限または無限）、多環群、ブレイド群、直線群などのプログラム群が含まれています。また、いくつかの群データベースも含まれています。

• 数論

Magmaには、整数と多項式の高速乗算のためのSchönhage–Strassenアルゴリズムなど、すべての基本的な整数および多項式演算のための漸近的に高速なアルゴリズムが含まれています。整数因数分解アルゴリズムには、楕円曲線法、二次篩法、および数体篩法が含まれます。

• 代数的整数論

Magmaには、代数的数体における包括的な計算を行うためのKANTコンピュータ代数システムが含まれています。また、特殊なタイプでは、体の代数的閉包における計算も可能です。

• モジュール理論と線形代数

Magmaには、Strassen乗算などの基本的な密行列演算のための漸近的に高速なアルゴリズムが含まれています。

• 疎行列

Magmaには、インデックス計算手法で発生する疎行列システムの縮小のための構造化ガウス消去法とランチョス法が含まれており、また、他のいくつかの疎行列線形代数問題にはマルコウィッツピボット法が用いられています。

• 格子とLLLアルゴリズム

Magmaにはfp LLLの証明可能な実装があります^{[ 6 ]。}これは、グラム・シュミット係数に浮動小数点数を使用する整数行列のLLLアルゴリズムですが、結果がLLL削減されることが厳密に証明されています。

• 可換代数とグロブナー基底

Magmaには、 Gröbner基底を計算するためのFaugère F4アルゴリズムの効率的な実装があります。

• 表現論

Magmaには、有限群の指標表の計算やMeataxeアルゴリズムなど、表現論における計算のための豊富なツールが備わっています。

• 不変理論

Magmaには有限群の不変環の型があり、それに対して一次不変量、二次不変量、基本不変量を計算し、モジュール構造を用いて計算することができます。

• 嘘の理論
• 代数幾何学
• 算術幾何学
• 有限入射構造
• 暗号化
• 符号理論
• 最適化

• コンピュータ代数システムの比較

• 公式サイト
• Magma無料オンライン計算機
• Magmaのサンプルコード