確率分布の種類
確率論 において 、 逆正弦分布は 累積分布関数 に 逆正弦 と 平方根 が含まれる 確率分布 です 。
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
)
=
arcsin
(
2
x
−
1
)
π
+
1
2
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}
0 ≤ x ≤ 1 に対して、その 確率密度関数 は
f
(
x
)
=
1
π
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}
(0, 1) 上の標準逆正弦分布は、 α = β = 1/2の ベータ分布 の特殊なケースです 。つまり、が 逆正弦分布のランダム変数である場合、 となります。拡張により、逆正弦分布は ピアソン I 型分布 の特殊なケースです 。
X
{\displaystyle X}
X
∼
B
e
t
a
(
1
2
,
1
2
)
{\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}
逆正弦分布は、 レヴィの逆正弦法則 、 エルデシュの逆正弦法則 、 ベルヌーイ試行 の成功確率の ジェフリーズ事前 分布に現れる。 [1] [2]
一般化 アークサイン – 有界サポート パラメータ
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}
サポート
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
PDF
f
(
x
)
=
1
π
(
x
−
a
)
(
b
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}
ドイツ連邦共和国
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
−
a
b
−
a
)
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}
平均
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
中央値
a
+
b
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}
モード
x
∈
a
,
b
{\displaystyle x\in {a,b}}
分散
1
8
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}
歪度
0
{\displaystyle 0}
過剰尖度
−
3
2
{\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}
CF
e
i
t
b
+
a
2
J
0
(
b
−
a
2
t
)
{\displaystyle e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)}
任意の有界サポート この分布は、単純な変換によって、
a ≤ x ≤ b の任意の有界サポートを含むように拡張できる。
F
(
x
)
=
2
π
arcsin
(
x
−
a
b
−
a
)
{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}
a ≤ x ≤ b に対して 、その 確率密度関数 は
f
(
x
)
=
1
π
(
x
−
a
)
(
b
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}
( a 、 b )について 。
形状係数 確率密度関数による（0,1）上の一般化標準逆正弦分布
f
(
x
;
α
)
=
sin
π
α
π
x
−
α
(
1
−
x
)
α
−
1
{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}
は、パラメータを持つ ベータ分布 の特殊なケースでもあります 。
B
e
t
a
(
1
−
α
,
α
)
{\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}
一般的な逆正弦分布が上記の標準分布に縮小される
ことに注意してください。
α
=
1
2
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}
プロパティ アークサイン分布は、正の係数による平行移動とスケーリングに対して閉じている。
もし
X
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
a
,
b
)
then
k
X
+
c
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
a
k
+
c
,
b
k
+
c
)
{\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}
(-1, 1)上の逆正弦分布の2乗は、(0, 1)上の逆正弦分布を持つ。
もし
X
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
−
1
,
1
)
then
X
2
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}
原点（0, 0）を中心とする 半径の円上で均一に選択された点の座標は、 分布
を持つ。
r
{\displaystyle r}
A
r
c
s
i
n
e
(
−
r
,
r
)
{\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-r,r)}
例えば、円周上の一様に点を選択した場合 、その点のx座標分布は 、y座標分布は
U
∼
U
n
i
f
o
r
m
(
0
,
2
π
r
)
{\displaystyle U\sim {\rm {Uniform}}(0,2\pi r)}
r
⋅
cos
(
U
)
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
−
r
,
r
)
{\displaystyle r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}
r
⋅
sin
(
U
)
∼
A
r
c
s
i
n
e
(
−
r
,
r
)
{\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}
特性関数 一般化逆正弦分布の特性関数は、 で与えられる複素指数を乗じた、第 1 種 ゼロ次 ベッセル関数 です。 の特殊なケースでは 、特性関数は の形になります 。
e
i
t
b
+
a
2
J
0
(
b
−
a
2
t
)
{\displaystyle e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)}
b
=
−
a
{\displaystyle b=-a}
J
0
(
b
t
)
{\displaystyle J_{0}(bt)}
U と V が iid 一様 ( −π,π) ランダム変数である場合 、、、、 および は すべて 分布に従います。
sin
(
U
)
{\displaystyle \sin(U)}
sin
(
2
U
)
{\displaystyle \sin(2U)}
−
cos
(
2
U
)
{\displaystyle -\cos(2U)}
sin
(
U
+
V
)
{\displaystyle \sin(U+V)}
sin
(
U
−
V
)
{\displaystyle \sin(U-V)}
A
r
c
s
i
n
e
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}
が有限区間[a,b]でサポートされている 形状パラメータを持つ一般化逆正弦分布である 場合、
X
{\displaystyle X}
α
{\displaystyle \alpha }
X
−
a
b
−
a
∼
B
e
t
a
(
1
−
α
,
α
)
{\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }
X ~ Cauchy(0, 1) の場合、 標準逆正弦分布に従う。
1
1
+
X
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{1+X^{2}}}}
参考文献
^ Overturf, Drew; et al. (2017). 体積分散型フェーズドアレイからのビームフォーミングパターンの調査 。MILCOM 2017 - 2017 IEEE Military Communications Conference (MILCOM). pp. 817–822. doi :10.1109/MILCOM.2017.8170756. ISBN 978-1-5386-0595-0 。 ^ Buchanan, K.; et al. (2020). 「分散アレイと共有開口分布を使用したヌルビームステアリング」。IEEE Transactions on Antennas and Propagation 68 ( 7): 5353–5364. doi :10.1109/TAP.2020.2978887.
さらに読む
![{\displaystyle x\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a15936df283add394ab909aa7a5e24e7fb6bb2)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
