逆関数の積分

まず、次の追加仮説の下で${\displaystyle f^{-1}}$が微分可能であるならば、上記の式を微分すれば、証明は直ちに完了する。

彼の2番目の証明は幾何学的だった。${\displaystyle f(a)=c}$そして${\displaystyle f(b)=d}$定理は次のように記述できる。

${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

右の図は、この公式を言葉なしで証明したものです。ライザンはこの証明を厳密にするために必要な仮定については論じていませんが、これは以下の条件を満たせば証明できます。${\displaystyle f}$は厳密に単調であると仮定される（ただし、必ずしも連続であるとは限らず、ましてや微分可能であるとは限らない）。この場合、両方とも${\displaystyle f}$そして${\displaystyle f^{-1}}$はリーマン積分可能であり、その恒等式は、下/上ダルブー和間の全単射から導かれる。${\displaystyle f}$および上下ダルブー和${\displaystyle f^{-1}}$^{[ 2 ] [ 3 ]}定理の原始関数版は、次の場合に微積分学の基本定理から導かれる。${\displaystyle f}$また、連続であると仮定する。

ライザンの3番目の証明は、次の追加の仮説を使用する。${\displaystyle f}$微分可能です。${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$1つは${\displaystyle f'(x)}$そして両辺を積分する。右辺は部分積分を用いて計算され、${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$そして、その式は次のようになる。

また、次のように考えることもできる。${\displaystyle f}$微分可能です。${\displaystyle f}$任意の点で連続である${\displaystyle x}$、${\textstyle F:=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$微分可能${\displaystyle x}$微積分学の基本定理により。${\displaystyle f}$が可逆であれば、その導関数は可算個の点でのみゼロになります。これらの点を次の基準でソートします。${\displaystyle ...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...}$。 以来${\displaystyle g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}$各区間における微分可能な関数の合成である${\displaystyle (t_{i},t_{i+1})}$連鎖律が適用される可能性がある ${\displaystyle g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)}$見る${\displaystyle \left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$は、${\displaystyle \left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$私たちは主張します${\displaystyle g}$また、それぞれにおいて微分可能である。$t_i$そして、無限に広がらない場合${\displaystyle I_{2}}$コンパクトです。そのような場合${\displaystyle f^{-1}}$は連続かつ有界である。連続性と微積分学の基本定理により、${\textstyle G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}(t)\,dt}$どこ${\displaystyle C}$は定数であり、 は の微分可能な拡張である${\displaystyle g}$。 しかし${\displaystyle g}$は連続関数の合成なので連続です。${\displaystyle G}$微分可能性により。したがって、${\displaystyle G=g}$微積分学の基本定理を用いて計算することができる。$\int_I2f^-1(t)dt$。

しかしながら、この定理は、${\displaystyle f}$または${\displaystyle f^{-1}}$微分可能ではない: ^{[ 3 ] [ 4 ]}例えば、前の議論でスティルチェス積分を使用すれば十分である。一方、一般的な単調関数はほとんど至るところで微分可能であるが、一般式の証明は、次の条件を満たさない限り成り立たない。${\displaystyle f^{-1}}$絶対的に連続である。^{[ 4 ]}

また、すべての${\displaystyle y}$で${\displaystyle I_{2}}$関数の導関数${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$に等しい${\displaystyle f^{-1}(y)}$。言い換えると：

${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$

この目的のために、平均値の定理を以下に適用すれば十分である。${\displaystyle F}$間${\displaystyle x}$そして${\displaystyle x+h}$考慮すると、${\displaystyle f}$単調である。