四元数解析

数学において、四元数解析とは、定義域および／または値域が四元数である関数を研究する分野である。このような関数は、実変数や複素変数の関数と同様に、四元数変数の関数と呼ばれる。

複素解析や実解析と同様に、四元数においても解析性、正則性、調和性、等角性といった概念を研究することが可能である。ただし、複素数とは異なり、実数と同様に、これら4つの概念は一致しない。

四元数をそのスカラー部分またはベクトル部分に射影したもの、およびモジュラス関数とバーソル関数は、四元数の構造を理解する上で基本的な例です。

四元数変数の関数の重要な例は次のとおりです。

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

これは、qのベクトル部分を、ベクトルuで表される角度の 2 倍だけ回転させます。

四元数の乗法逆数${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$はもう 1 つの基本的な機能ですが、他の数体系と同様に、${\displaystyle f_{2}(0)}$また、ゼロ除算の性質上、関連する問題は一般的に除外されます。

四元数のアフィン変換は次の形式をとる。

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

四元数の線形分数変換は、行列環の要素によって表すことができる。${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$射影線上で動作する${\displaystyle \mathbb {H} }$例えば、マッピング${\displaystyle q\mapsto uqv,}$どこ${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$固定されたベクトルは、楕円空間の運動を生み出すのに役立ちます。

四元数変数理論は、複素変数理論とはいくつかの点で異なります。例えば、複素平面の複素共役写像は中心的なツールですが、非算術的かつ非解析的な演算の導入が必要です。実際、共役変換は平面図形の向きを変えますが、これは算術関数では変化しません。

複素共役とは対照的に、四元数共役は次のように算術的に表現できる。${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

この等式は、基底{1, i, j, k}から始めて証明できる。

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$。

したがって、${\displaystyle f_{4}}$線形である、

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

複素解析が科学研究のための豊富な正則関数群を提供することに成功したことで、一部の研究者は複素数に基づく平面理論を、四元数変数の関数を用いた4次元空間の研究に拡張する取り組みを行った。^{[ 1 ]}これらの取り組みはDeavours（1973）にまとめられている。^{[ a ]}

けれど${\displaystyle \mathbb {H} }$複素平面の和集合として現れる場合、次の命題は複素関数を拡張するには特別な注意が必要であることを示しています。

させて${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$複素変数の関数である、${\displaystyle z=x+iy}$また、${\displaystyle u}$は偶関数である${\displaystyle y}$そしてそれは${\displaystyle v}$は奇妙な関数です${\displaystyle y}$。 それから${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$は拡張です${\displaystyle f_{5}}$四元数変数へ${\displaystyle q=x+yr}$どこ$\displaystyle r^{2}=-1}$そして${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$では、$\displaystyle r^{*}}$共役を表す${\displaystyle r}$、 となることによって${\displaystyle q=x-yr^{*}}$拡張${\displaystyle \mathbb {H} }$が証明されたときに完了する${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$実際、仮説によれば

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$得られるもの

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).}$

以下では、コロンと角括弧は同次ベクトルを表すために使用されます。

軸r周りの回転は、空間マッピングへの四元数の古典的な応用例である。^{[ 2 ]}ホモグラフィ の観点から見ると、回転は次のように表される。

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

どこ${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$はversorです。p * = − pの場合、変換は${\displaystyle q\mapsto q+p}$は次のように表現されます

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

回転軸に沿った回転と並進xrは次のように表される。

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

このような写像は、ねじ変位と呼ばれます。古典運動学では、シャールの定理は、任意の剛体運動をねじ変位として表すことができると述べています。ユークリッド平面の等長変換を回転として表現することが複素数演算の問題であるのと同様に、シャールの定理と必要なねじ軸は、ホモグラフィを用いた四元数演算の問題です。sをrに垂直な右バーソル、つまりマイナス 1 の平方根とし、 t = rsとします。

sを通りrに平行な軸を考える。この軸を中心とした回転は^{[ 3 ]}ホモグラフィ合成によって表される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

どこ${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

（s,t）平面では、パラメータθは円を描く。${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$半平面で${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

この半平面内の任意の点p は、原点から円を通る光線上にある。${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$そして書くことができる${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

次に、上= az、${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$回転の並進による共役を表すホモグラフィとしてp。

ハミルトンの時代から、微分がゼロに向かう経路から導関数が独立しているという要求は制約が厳しすぎると認識されてきた。${\displaystyle \ f(q)=q^{2}\ }$微分から。したがって、四元数変数の関数には方向依存の導関数が必要です。^{[ 4 ] [ 5 ]}四元数引数の多項式関数 の増分を考えると、増分は引数の増分の線形写像であることがわかります。これから、定義を行うことができます。

連続関数 ${\displaystyle \ f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$集合上で微分可能で あると呼ばれる。${\displaystyle \ U\subset \mathbb {H} \ ,}$すべてのポイントで${\displaystyle \ x\in U\ ,}$関数の増分${\displaystyle \ f\ }$四元数の増加分に対応${\displaystyle \ h\ }$その引数は次のように表すことができます。

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h+o(h)}$

どこ

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

四元数代数の線形写像${\displaystyle \ \mathbb {H} \ ,}$そして ${\displaystyle \ o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$ 連続写像を表す

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\ \left|\ o(a)\ \right|\ }{\left|\ a\ \right|}}=0\ ,}$

そして表記法${\displaystyle \ \circ h\ }$...を表す

線形マップ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}}$ これはマップの導関数と呼ばれます${\displaystyle \ f~.}$

四元数では、導関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

したがって、マップの微分${\displaystyle \ f\ }$両側に括弧を付けて、次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=\left(\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}\right)\circ \operatorname {d} x=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x\right){\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

和の項数は関数によって決まります${\displaystyle \ f~.}$表現 ${\displaystyle ~~{\frac {\operatorname {d} _{sp}\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}~~{\mathsf {\ for\ }}~~p=0,1~~}$これらは導関数の構成要素と呼ばれます。

四元数関数の導関数は、次の式で定義される。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\lim _{t\to 0}\left(\ {\frac {\ f(x+t\ h)-f(x)\ }{t}}\ \right)}$

変数${\displaystyle \ t\ }$は実数スカラーです。

すると、以下の式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)+g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\ {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=a\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)b}$

関数の場合${\displaystyle \ f(x)=a\ x\ b\ ,}$どこ${\displaystyle \ a\ }$そして${\displaystyle \ b\ }$定数四元数の場合、導関数は

したがって、構成要素は次のとおりです。

同様に、関数についても${\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}$導関数は

構成要素は以下のとおりです。

最後に、関数について ${\displaystyle \ f(x)=x^{-1}\ ,}$ 導関数は

構成要素は以下のとおりです。

• ケイリーが変身する
• 四元数多様体