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ハロルド・スコット・マクドナルド「ドナルド」コクセター（/ ˈkɒksitər /）CC FRS FRSC（1907年2月9日- 2003年3月31日）[ 2 ]は、イギリス系カナダ人の幾何学者、数学者。20世紀で最も偉大な幾何学者の一人とみなされている。[ 3 ]
コクセターはイギリスで生まれ、ケンブリッジ大学で教育を受け、学生時代にはプリンストン大学にも留学した。1936年から1996年に退職するまで、カナダのトロント大学で60年間勤務し、1948年には正教授に昇進した。数々の栄誉に輝き、カナダ王立協会、英国王立協会、カナダ勲章などを受章している。
彼は『59個の正二十面体』（1938年）や『正多面体』（1947年）など、12冊の著書を執筆した。幾何学や群論における多くの概念は彼にちなんで名付けられており、コクセターグラフ、コクセター群、コクセターの接円の等角航路、コクセター・ディンキン図、トッド・コクセターアルゴリズムなどが挙げられる。
コクセターは、イングランドのケンジントンで、ハロルド・サミュエル・コクセターとルーシー（旧姓 ジー）の間に生まれた。父親は、外科用器具と圧縮ガス（亜酸化窒素で外科患者を麻酔する装置を含む）を製造するコクセター＆サンという家業を引き継いだが、早期に引退して彫刻とバリトン歌手に専念することができた。ルーシー・コクセターは肖像画と風景画の画家で、王立芸術院に通っていた。母方のいとこは建築家のサー・ジャイルズ・ギルバート・スコットである。[ 4 ] [ 2 ]
コクセターは若い頃、作曲をし、10歳で優れたピアニストとなった。[ 5 ]彼は数学と音楽は密接に関係していると考えており、1962年にカナディアン・ミュージック・ジャーナルに掲載された「音楽と数学」という記事でその考えを概説した。[ 5 ]
彼はロンドンのキング・アルフレッド・スクールで教育を受け、その後作曲家になることを目指してハーペンデンのセント・ジョージズ・スクールに通ったが、数学にもっと興味があることに気づいた。セント・ジョージズで水疱瘡から回復している間、後にペトリー多角形の名前の由来となった数学者ジョン・フリンダーズ・ペトリーに出会った。 [ 4 ]彼は1925年にケンブリッジ大学キングス・カレッジに合格したが、数学のレベルが高いトリニティ・カレッジへの入学を目指して1年間勉強することにした。 [ 2 ]コクセターは入学奨学金を得て、1926年にトリニティに入学し、数学を学んだ。そこで彼は1928年に学士号（シニア・ラングラーとして）を取得し、1931年に博士号を取得した。[ 5 ] [ 6 ] 1932年にはロックフェラー・フェローとしてプリンストン大学に1年間滞在し、ヘルマン・ワイル、オズワルド・ヴェブレン、ソロモン・レフシェッツと研究を行った。[ 6 ]トリニティ大学に1年間戻り、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインの数学哲学に関するゼミに出席した。[ 5 ]ヴィトゲンシュタインはコクセターらを選任して講義のノートを取らせ、そのノートは後に『ブルーブック』となった。[ 7 ] 1934年にはプロクター・フェローとしてプリンストン大学にさらに1年間滞在した。[ 6 ]
1936年、コクセターはトロント大学に移籍した。1938年、彼はP.デュ・ヴァル、HTフラザー、ジョン・フリンダーズ・ペトリーと共にトロント大学出版局から『59の正二十面体』を出版した。1940年、コクセターはWWラウズ・ボールが1892年に出版した『数学的娯楽とエッセイ』の第11版を編集した[ 8 ]。彼は1948年に教授に昇格した。彼は1948年にカナダ王立協会のフェローに、1950年に王立協会のフェローに選出された。彼は1954年にMCエッシャーと出会い、二人は生涯の友となった。彼の幾何学的図形に関する研究は、エッシャーの作品、特に双曲テセレーションに基づく「円限界」シリーズに影響を与えた。彼はまた、バックミンスター・フラーのいくつかの革新にも影響を与えた。[ 6 ]コクセター、MS ロンゲ＝ヒギンズ、JCP ミラーは、一様多面体の完全なリストを最初に発表した（1954年）。[P54]
彼はトロント大学で60年間勤務し、12冊の著書を出版した。
コクセターはベジタリアンだった。彼は長寿の秘訣はベジタリアン食、毎朝の腕立て伏せ50回や15分間の逆立ちなどの毎日の運動、そしてカルーア（コーヒーリキュール）、ピーチシュナップス、豆乳で作ったカクテルを毎晩飲むことだと考えていた。[ 4 ]
妻のリーンは1999年に亡くなり、その後コクセターは娘のスーザンと旅をした。彼は2003年3月31日にトロントで亡くなった。
コクセターは、ユークリッド空間における反射の集合の記述を適用するために群を考案したため、それはコクセター群と呼ばれている。[P34]これは群の表示として定義される。 どこそして整数またはのために.ここで、条件 形式が関係ないことを意味する任意の整数に対して課されるべきである。[ 9 ]
コクセターは1935年に有限コクセター群を分類した。[P35]これらの群は、点とそれらを結ぶ線分からなる図と関連付けられていた。これらの図は、ソ連系アメリカ人の数学者ユージン・ディンキンにちなんでディンキン図と呼ばれ、ルート系の有限次元単純リー代数の族を記述する。、、、、、、、、、、、この統合は現在、コクセター・ディンキン図またはコクセターグラフとして知られています。[ 10 ]コクセターは、これらのグループとその図の構造を、コクセター表記またはコクセター記号と呼ばれる括弧表記で示します。
1938年にトロント大学から出版された、コクセター、パトリック・デュ・ヴァル、HT・フラザー、ジョン・フリンダーズ・ペトリーによる著書『59個の正二十面体』[B73]では、正二十面体の面を拡張して星形の立体を形成することによって作られる59個の星型について説明されている。 [ 11 ]
コクセターの『正多面体』は数多くの版で出版されている。 1947年にメシュエン社から[B63]、1948年にピットマン出版から[ 12 ] [ 13 ] 、 1963年にマクミラン社から第2版[ 14 ] [ 15 ]、1973年にドーバー出版から第3版[ 16 ] [ 17 ]が出版されている。
イギリスの数学者ジョン・フリンダーズ・ペトリーは、1926年に、頂点が同一平面上にない正多角形の概念を3次元多面体に拡張しました。彼は、隣接する多面体の共有正方形面を取り除いてトンネルを形成することにより、立方体と切頂八面体から構成される2つの正多面体を発見しました。コクセターは、ペトリーの手順で複数の切頂四面体から構成される3番目の正多面体を発見しました。 [B68] [ 18 ]これらの多面体は、後にイギリスの数学者ジョン・コンウェイによって、それぞれmucube、muoctahedron、mutetrahedronと名付けられました。[ 19 ]
マイケル・ゴールドバーグは、面が五角形と六角形であるゴールドバーグ多面体ファミリーを紹介した。 [ 20 ]このような多面体の双対は測地線多面体であり、三角形の面を持つほぼ球形として記述され、バックミンスター・フラーはこれを「測地線ドーム」と呼んだ。これらの多面体は、ドナルド・キャスパーとアーロン・クルーグによるウイルスキャプシドの幾何学に関する論文で拡張され、応用された。[ 21 ]コクセター[B71]は、生物学的説明に言及することなく、情報の多くを網羅した。キャスパーとクルーグは、測地線多面体の最も一般的な正しい構成を最初に発表し、「ゴールドバーグ・コクセター構成」という名前はスティグラーの命名法則の一例となった。[ 22 ]
コクセターは、等角投影図に従って配置された互いに接する無限円を研究し、連続する4つの円が互いに接するようにした。[P68] [ 23 ]これは後に、より高次元の空間における球と超球の場合に一般化された。[P97] [P98]
コクセターとアリー・ヘンドリック・ボエルダイクは、正四面体を直線状に積み重ねた集合体を構築し、その辺が3つのらせんを形成するようにしました。これは今日ではボエルダイク・コクセターらせんと呼ばれています。[P85b] [B74b] [ 24 ] [ 25 ]
コクセターは1983年の論文「My Graph」[P83]で、28個の頂点と42個の辺を持つ3正則グラフを示した。 [ 26 ] 30個の頂点と45個の辺を持つグラフはウィリアム・トーマス・タットによって発見され、[ 27 ]タット[ 28 ]とコクセター[P58]によってその幾何学的構成との関連性が調査され、現在ではタット・コクセターグラフとして知られている。
コクセターはロバート・フルヒトと共に、ハミルトン閉路を含む3次グラフの表現のためにジョシュア・レーダーバーグが考案したLCF記法を拡張した。[B81] [ 29 ]
1978年以来、カナダ数学会は彼の功績を称え、コクセター・ジェームズ賞を授与している。
彼は1950年に王立協会のフェローに選ばれ、1997年には同協会のシルベスター・メダルを授与された。[ 6 ] 1990年にはアメリカ芸術科学アカデミーの外国人会員となり[ 30 ] 、1997年にはカナダ勲章のコンパニオンに叙せられた。[ 31 ]
1973年に彼はジェフリー・ウィリアムズ賞を受賞した。[ 6 ]
1982年に、彼の功績を称える記念論文集『The Geometric Vein』が出版された。この論文集には、1979年にトロントで開催されたコクセターのシンポジウムに基づいた幾何学に関する41のエッセイが収録されている。[ 32 ] 2004年にトロントで開催されたコクセターのシンポジウムに基づいた 、2冊目の論文集『The Coxeter Legacy』が2006年に出版された。[ 33 ]
コクセターは12冊の著書と200本以上の論文を発表した。
