鎖状錯体のホモトピーカテゴリ

数学のホモロジー代数では、加法圏Aの連鎖複体のホモトピー圏K(A)は、連鎖ホモトピーとホモトピー同値を扱うための枠組みである。これは、Aがアーベルである場合のAの連鎖複体の圏Kom(A)とAの導来圏D(A)の中間に位置し、前者とは異なり三角形化された圏であり、後者とは異なり、その形成にはAがアーベルである必要はない。哲学的には、D(A) はKom(A)の準同型である複体の写像を同型に変換するが、K(A) は「正当な理由」、つまり実際にホモトピー同値までの逆を持つ準同型であるものに対してのみそうする。したがって、K(A)はD(A)よりも理解しやすい。

Aを加法カテゴリとします。ホモトピーカテゴリK(A) は次の定義に基づいています。複体A、BとAからBへの写像f、g がある場合、fからgへの連鎖ホモトピーは写像の集合（複体の写像で はない）であり、${\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}}$

${\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$あるいは単に${\displaystyle fg=d_{B}h+hd_{A}.}$

これは次のように表すことができます。

また、 fとg は連鎖ホモトピックである、または はヌルホモトピック、または0 にホモトピックであるとも言います。定義から、ヌルホモトピックである複体の写像は加法に基づいて群を形成することは明らかです。 ${\displaystyle fg}$

連鎖複体 K(A)のホモトピー圏は次のように定義される。その対象はKom(A)の対象、すなわち連鎖複体と同じである。その射は「ホモトピーを法とする複体の写像」である。つまり、同値関係を定義する。

${\displaystyle f\sim g\}$fがgと同型の場合

定義する

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }$

この関係による商になります。これはヌルホモトピック写像の部分群による商を取るのと同じであることに気づけば、加法カテゴリになることは明らかです。

定義の次の変形も広く使用されています:有界複体の代わりに、下有界複体( n<<0 の場合A ⁿ =0 )、上有界複体( n>>0 の場合A ⁿ = 0 )、または有界複体( |n|>>0 の場合A ⁿ =0 ) のみを取る場合は、下有界ホモトピーカテゴリなどと呼ばれます。これらはそれぞれ、 K ⁺ (A)、K ⁻ (A)、K ^b (A)と表されます。

K(A)における同型である射はホモトピー同値と呼ばれます。詳しく言うと、これは別の写像 が存在し 、2 つの合成が恒等写像および に同型であることを意味します。 ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle g:B\rightarrow A}$${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}$${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$

「ホモトピー」という名前は、位相空間のホモトピック写像が特異鎖のホモトピック写像（上記の意味で）を誘導するという事実に由来しています。

2 つの連鎖ホモトピック写像fとg は、ホモロジー上で同じ写像を誘導します。これは、 (f − g) が境界にサイクルを送り、境界 がホモロジーではゼロになるためです。特に、ホモトピー同値は準同型です。(その逆は一般に偽です。) これは、導出カテゴリへの標準関数が存在することを示しています( Aがアーベルの場合)。 ${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$

複素数AのシフトA[1]は 次の複素数である。

${\displaystyle A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...}$（ご了承ください）、${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$

ここで微分は です。 ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$

射fの錐に対して写像錐をとる。自然な写像が存在する。

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

この図は三角形と呼ばれます。ホモトピー圏K(A)は、任意のA、B、fに対して、上記の三角形と同型 ( K(A)内、つまりホモトピー同値) となるように区別された三角形を定義すると、三角形化圏になります。同じことが、有界変種K ⁺ (A)、K ⁻ (A)、K ^b (A)にも当てはまります。三角形はKom(A)でも意味をなしますが、この圏はこれらの区別された三角形に関して三角形化されていません。たとえば、

${\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to }$

は、恒等写像の円錐が複素数 0 と同型ではないため区別されません (ただし、零写像はホモトピー同値であるため、この三角形はK(A)で区別されます)。さらに、区別された三角形の回転は明らかにKom(A)では区別されませんが、 (それほど明白ではありませんが) K(A)では区別されます。詳細については参考文献を参照してください。 ${\displaystyle C(id)\to 0}$

より一般的には、微分次数カテゴリCのホモトピーカテゴリHo(C)はCと同じオブジェクトを持つように定義されますが、射は によって定義されます 。( Cが、射が微分を尊重する必要のない複体のカテゴリである場合、これは連鎖複体のホモトピーに帰着します)。Cが適切な意味で錐とシフトを持つ場合、Ho(C)も三角形カテゴリです。 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

• マニン、ユーリ・イワノビッチ、ゲルファンド、セルゲイ・I. (2003)、ホモロジー代数の方法、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-43583-9
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.