ハーディ・ワインベルグ原理

集団遺伝学において、ハーディ・ワインベルグの原理（ハーディ・ワインベルグの平衡、モデル、定理、法則とも呼ばれる）は、集団内の対立遺伝子および遺伝子型の頻度は、他の進化的影響がない場合、世代を超えて一定のままであると述べている。これらの影響には、遺伝的浮動、配偶者選択、同類交配、自然選択、性選択、突然変異、遺伝子流動、減数分裂駆動力、遺伝的ヒッチハイク、集団ボトルネック、創始者効果、 近親交配および異系交配弱勢などがある。

最も単純なケースでは、Aとaで示される2 つの対立遺伝子があり、その頻度はそれぞれf (A) = pとf (a) = qです。ランダム交配による予想される遺伝子型頻度は、AAホモ接合体ではf (AA) = p ^{2 、aa ホモ接合体では}f (aa) = q ²、ヘテロ接合体ではf (Aa) = 2 pqです。選択、突然変異、遺伝的浮動、またはその他の力がない場合、対立遺伝子頻度pとq は世代間で一定であるため、平衡に達します。

この原理は、この原理を初めて数学的に実証したGHハーディとヴィルヘルム・ワインバーグにちなんで名付けられました。ハーディの論文は、優性対立遺伝子は自動的に頻度が増加する傾向があるという見解（おそらく講義での誤解に基づいた見解^{[1] ）を覆すことに焦点を当てていました。今日、ハーディ・ワインバーグの遺伝子型頻度の検定は、主に}集団の階層化やその他の非ランダムな交配の形態 を検定するために使用されています。

雌雄同 株の二倍体の集団を考えてみましょう。この集団では、各生物は雄と雌の配偶子を同じ頻度で生成し、各遺伝子座に 2 つの対立遺伝子があります。集団は無限大として扱えるほど大きいと仮定します。生物は配偶子のランダムな結合によって繁殖します (「遺伝子プール」集団モデル)。この集団の遺伝子座には 2 つの対立遺伝子 A と a があり、それぞれ初期頻度f ₀ (A) = pとf ₀ (a) = qで発生します。^{[注 1]各世代の対立遺伝子頻度は、同じ世代の各}遺伝子型の対立遺伝子を、ホモ接合体とヘテロ接合体の遺伝子型からの予想される寄与 (それぞれ 1 と 1/2) に従ってプールすることで得られます。

次世代の遺伝子型を形成するさまざまな方法は、パネット方陣で示すことができます。パネット方陣では、各遺伝子型の割合が、現在の世代の行と列の対立遺伝子頻度の積に等しくなります。

エントリの合計はp ² + 2 pq + q ² = 1です。これは、遺伝子型頻度の合計が 1 になる必要があるためです。

p + q = 1なので、 ( p + q ) ² = p ² + 2 pq + q ² = 1の二項展開でも同じ関係が得られることに再度注意してください。

パネットの四角形または二項展開の要素を合計すると、1世代後の子孫の間で予想される遺伝子型の割合が得られます。

これらの頻度はハーディ・ワインベルグ平衡を定義します。第 1 世代以降の遺伝子型頻度は、最初の世代の遺伝子型頻度と等しい必要はないことに留意してください (例: f ₁ (AA) ≠ f ₀ (AA) )。ただし、将来のすべての時点の遺伝子型頻度はハーディ・ワインベルグ頻度と等しくなります (例: t > 1の場合、 f _t (AA) = f ₁ (AA) )。これは、次世代の遺伝子型頻度が、式 ( 1 ) および ( 2 ) で計算されるように、最初の世代から保存されている現在の世代の対立遺伝子頻度にのみ依存するためです。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}({\text{A}})&=f_{1}({\text{AA}})+{\tfrac {1}{2}}f_{1}({\text{Aa}})=p^{2}+pq=p(p+q)=p=f_{0}({\text{A}})\\f_{1}({\text{a}})&=f_{1}({\text{aa}})+{\tfrac {1}{2}}f_{1}({\text{Aa}})=q^{2}+pq=q(p+q)=q=f_{0}({\text{a}})\end{aligned}}}$

より一般的な雌雄異 株二倍体（生物は雄か雌のいずれか）で、個体のランダムな交配によって繁殖する場合、性別を問わず、各親遺伝子型（AA、Aa、aa）間の9つの可能な交配から遺伝子型頻度を計算し、各交配の予想される遺伝子型の寄与によって重み付けする必要があります。^[2]同様に、6つのユニークな二倍体-二倍体の組み合わせを検討します。

${\displaystyle \left[({\text{AA}},{\text{AA}}),({\text{AA}},{\text{Aa}}),({\text{AA}},{\text{aa}}),({\text{Aa}},{\text{Aa}}),({\text{Aa}},{\text{aa}}),({\text{aa}},{\text{aa}})\right]}$

そして、それぞれについてパネット方陣を構築し、次世代の遺伝子型への寄与を計算します。これらの寄与は、各二倍体-二倍体の組み合わせの確率に応じて重み付けされ、k = 3の多項分布に従います。たとえば、交配の組み合わせ(AA,aa)の確率は2 f _t (AA) f _t (aa)であり、 Aa遺伝子型[0,1,0]のみが生成されます。全体として、結果として得られる遺伝子型頻度は次のように計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[f_{t+1}({\text{AA}}),f_{t+1}({\text{Aa}}),f_{t+1}({\text{aa}})\right]=\\&\qquad =f_{t}({\text{AA}})f_{t}({\text{AA}})\left[1,0,0\right]+2f_{t}({\text{AA}})f_{t}({\text{Aa}})\left[{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},0\right]+2f_{t}({\text{AA}})f_{t}({\text{aa}})\left[0,1,0\right]\\&\qquad \qquad +f_{t}({\text{Aa}})f_{t}({\text{Aa}})\left[{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}}\right]+2f_{t}({\text{Aa}})f_{t}({\text{aa}})\left[0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right]+f_{t}({\text{aa}})f_{t}({\text{aa}})\left[0,0,1\right]\\&\qquad =\left[\left(f_{t}({\text{AA}})+{\tfrac {1}{2}}f_{t}({\text{Aa}})\right)^{2},2\left(f_{t}({\text{AA}})+{\tfrac {1}{2}}f_{t}({\text{Aa}})\right)\left(f_{t}({\text{aa}})+{\tfrac {1}{2}}f_{t}({\text{Aa}})\right),\left(f_{t}({\text{aa}})+{\tfrac {1}{2}}f_{t}({\text{Aa}})\right)^{2}\right]\\&\qquad =\left[f_{t}({\text{A}})^{2},2f_{t}({\text{A}})f_{t}({\text{a}}),f_{t}({\text{a}})^{2}\right]\end{aligned}}}$

前述のように、時刻t + 1における対立遺伝子頻度は時刻tにおける対立遺伝子頻度と等しく、したがって時間に対して一定であることが示されます。同様に、遺伝子型頻度は対立遺伝子頻度のみに依存するため、時刻t  = 1以降も時間に対して一定です。

雌雄異株または雌雄異株の生物において、対立遺伝子または遺伝子型の割合が最初はどちらの性別でも不等である場合、ランダム交配の 1 世代後には一定の割合が得られることが示されます。雌雄異株の生物が異配偶子であり、遺伝子座がX 染色体上にある場合、対立遺伝子頻度が最初は 2 つの性別で不等である場合 (たとえば、人間のように XX の女性と XY の男性)、異配偶子の性別のf ′(a)が前世代の同配偶子の性別のf (a)を「追いかける」ことが示され、2 つの初期頻度の加重平均で平衡に達するまで続きます。

ハーディ・ワインベルグ均衡の根底にある7つの仮定は以下の通りである。^[3]

• 生物は二倍体である
• 有性生殖のみが起こる
• 世代は重複していない
• 交配はランダム
• 人口規模は無限に大きい
• 対立遺伝子頻度は男女で等しい
• 移住、遺伝子流動、混合、突然変異、選択はない

ハーディ・ワインベルグの仮定に違反すると、期待からの逸脱が生じる可能性があります。これが母集団にどのような影響を与えるかは、違反した仮定によって異なります。

• ランダム交配。HWP は、集団内でランダム交配を 1 世代行うと、集団は所定の遺伝子型頻度 (ハーディ・ワインベルグ比率と呼ばれる) を持つとしています。ランダム交配の仮定が破られると、集団はハーディ・ワインベルグ比率を持ちません。ランダムでない交配の一般的な原因は近親交配であり、これによりすべての遺伝子のホモ接合性が高まります。

集団が以下の 4 つの仮定のいずれかに違反する場合、その集団は各世代でハーディ・ワインベルグ比率を維持し続ける可能性がありますが、対立遺伝子頻度は時間の経過とともに変化します。

• 一般的に、選択は対立遺伝子頻度の変化を引き起こし、その変化はしばしば非常に急速である。方向性選択は最終的に、好ましい対立遺伝子以外のすべての対立遺伝子の喪失につながるが（1 つの対立遺伝子が優性である場合は、劣性対立遺伝子が低頻度で生き残ることができる）、均衡選択などの一部の選択形式は、対立遺伝子の喪失なしに平衡につながる。
• 突然変異は、新しい対立遺伝子を集団に導入することで、対立遺伝子頻度に非常に微妙な影響を及ぼします。突然変異率は 10 ⁻⁴～ 10 ⁻⁸のオーダーで、対立遺伝子頻度の変化は最大で同じオーダーになります。反復突然変異は、対立遺伝子に対して強い選択があっても、集団内の対立遺伝子を維持します。
• 移住は、2 つ以上の集団を遺伝的に結び付けます。一般に、対立遺伝子頻度は集団間でより均一になります。移住のモデルの中には、本質的に非ランダムな交配 (たとえば、ワールンド効果) を含むものがあります。これらのモデルでは、ハーディ・ワインベルグ比率は通常有効ではありません。
• 集団の規模が小さいと、対立遺伝子の頻度がランダムに変化することがあります。これはサンプリング効果によるもので、遺伝的浮動と呼ばれます。サンプリング効果は、対立遺伝子が少数のコピーで存在する場合に最も重要になります。

現実世界の遺伝子型データでは、ハーディ・ワインベルグ平衡からの逸脱は遺伝子型判定エラーの兆候である可能性がある。^{[4] [5] [6]}

A 遺伝子が性連鎖性である場合、異性配偶子性 (例: 哺乳類の雄、鳥類の雌) は遺伝子のコピーを 1 つしか持たず (ヘミ接合性と呼ばれます)、同性配偶子性 (例:人間の雌) は 2 つのコピーを持ちます。平衡時の遺伝子型頻度は、異性配偶子性では p と q ですが、同性配偶子性では p ^2、2 pq 、q ^{2 です。}

たとえば、人間の赤緑色盲はX 連鎖劣性形質です。西ヨーロッパの男性では、この形質は約 12 人に 1 人 ( q = 0.083) に影響しますが、女性では約 200 人に 1 人 (0.005、 q ² = 0.007 と比較) に影響し 、ハーディ・ワインベルグの比率に非常に近いです。

集団が、各サブ集団（男性または女性）で異なる対立遺伝子頻度を持つ男性と女性でまとめられると、各息子が母親から X 染色体を受け継ぐため、次の世代の男性集団の対立遺伝子頻度は女性集団のそれに従います。集団は非常に速く平衡状態に収束します。

上記の単純な導出は、2 つ以上の対立遺伝子と倍数性に対して一般化できます。

追加の対立遺伝子頻度 rを考えてみましょう。2 対立遺伝子の場合は( p  +  q ) ^2の二項展開であり、3 対立遺伝子の場合は ( p  +  q  +  r ) ²の三項展開です。

${\displaystyle (p+q+r)^{2}=p^{2}+q^{2}+r^{2}+2pq+2pr+2qr\,}$

より一般的には、対立遺伝子頻度p ₁からp _nによって与えられる対立遺伝子A ₁、...、A _{n を}考えます。

${\displaystyle (p_{1}+\cdots +p_{n})^{2}\,}$

すべてのホモ接合体に対して：

${\displaystyle f(A_{i}A_{i})=p_{i}^{2}\,}$

そしてすべてのヘテロ接合体について：

${\displaystyle f(A_{i}A_{j})=2p_{i}p_{j}\,}$

ハーディ・ワインベルグ原理は、倍数体システム、つまり各染色体の 2 つ以上のコピーを持つ生物にも一般化できます。ここでも 2 つの対立遺伝子だけを考えてみましょう。二倍体の場合は、次の二項式展開になります。

${\displaystyle (p+q)^{2}\,}$

したがって、倍数体の場合は次の二項展開になります。

${\displaystyle (p+q)^{c}\,}$

ここで、c は倍数性であり、例えば四倍体の場合（c = 4）は次のようになります。

生物が「真の」四倍体であるか複二倍体であるかによって、個体群がハーディ・ワインベルグ平衡に達するまでにどれくらいの時間がかかるかが決まります。

倍数体の異なる対立遺伝子の場合、ハーディ・ワインベルグ平衡における遺伝子型頻度は、多項式展開の個々の項によって与えられる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (p_{1}+\cdots +p_{n})^{c}}$

${\displaystyle (p_{1}+\cdots +p_{n})^{c}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n}\ \in \mathbb {N} :k_{1}+\cdots +k_{n}=c}{c \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}$

HWP からの偏差の検定は、通常、データから得られた観測された遺伝子型頻度と HWP を使用して得られた期待される遺伝子型頻度を使用したピアソンのカイ二乗検定を使用して実行されます。対立遺伝子の数が多いシステムの場合、サンプル内にすべての遺伝子型クラスを適切に表すのに十分な数の個体が存在しないことが多いため、空の可能性のある遺伝子型が多く、遺伝子型数が少ないデータになる可能性があります。この場合、カイ二乗分布の漸近仮定はもはや成り立たなくなり、コンピューターで解く必要があるフィッシャーの正確検定の形式を使用する必要がある場合があります。最近では、HWP からの偏差を検定するMCMC方法がいくつか提案されています (Guo & Thompson、1992 年、Wiggintonら、 2005 年)。

このデータはEB Ford (1971)によるアカヒゲコウモリに関するもので、個体群のサンプルの表現型が記録されています。遺伝子型と表現型の区別は無視できるほど小さいと想定されています。帰無仮説は個体群がハーディ・ワインバーグ比率になっているというもので、対立仮説は個体群がハーディ・ワインバーグ比率になっていないというものです。

これから、対立遺伝子頻度を計算することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={2\times \mathrm {obs} ({\text{AA}})+\mathrm {obs} ({\text{Aa}}) \over 2\times (\mathrm {obs} ({\text{AA}})+\mathrm {obs} ({\text{Aa}})+\mathrm {obs} ({\text{aa}}))}\\\\&={2\times 1469+138 \over 2\times (1469+138+5)}\\\\&={3076 \over 3224}\\\\&=0.954\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=1-p\\&=1-0.954\\&=0.046\end{aligned}}}$

したがって、ハーディ・ワインベルグの期待値は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Exp} ({\text{AA}})&=p^{2}n=0.954^{2}\times 1612=1467.4\\\mathrm {Exp} ({\text{Aa}})&=2pqn=2\times 0.954\times 0.046\times 1612=141.2\\\mathrm {Exp} ({\text{aa}})&=q^{2}n=0.046^{2}\times 1612=3.4\end{aligned}}}$

ピアソンのカイ二乗検定では次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi ^{2}&=\sum {(O-E)^{2} \over E}\\&={(1469-1467.4)^{2} \over 1467.4}+{(138-141.2)^{2} \over 141.2}+{(5-3.4)^{2} \over 3.4}\\&=0.001+0.073+0.756\\&=0.83\end{aligned}}}$

自由度は1 です(ハーディ・ワインベルグ比率検定の自由度は # 遺伝子型 − # 対立遺伝子です)。自由度 1 の 5%有意水準は 3.84 であり、χ ²値がこれより小さいため、母集団がハーディ・ワインベルグ頻度内にあるという帰無仮説は棄却されません。

フィッシャーの正確検定はハーディ・ワインベルグ比率の検定に適用できる。この検定は対立遺伝子頻度pとqに条件付けられるため、この問題はヘテロ接合体の適切な数を検定するものとみなすことができる。このように、ヘテロ接合体の数が多すぎるか少なすぎる場合、ハーディ・ワインベルグ比率の仮説は棄却される。対立遺伝子頻度を与えられたヘテロ接合体の条件付き確率は、Emigh (1980) で次のように与えられている。

${\displaystyle \operatorname {prob} [n_{12}\mid n_{1}]={\frac {\binom {n}{n_{11},n_{12},n_{22}}}{\binom {2n}{n_{1},n_{2}}}}2^{n_{12}},}$

ここで、n ₁₁、n ₁₂、n ₂₂はそれぞれ3つの遺伝子型AA、Aa、aaの観測数であり、n _{1 は}A対立遺伝子の数です。 ${\displaystyle n_{1}=2n_{11}+n_{12}}$

例Emigh (1980) ^[7] の例の1つを使用して、n  = 100、p = 0.34の場合を考えてみましょう 。観察される可能性のあるヘテロ接合体とその正確な有意水準は表4に示されています。

この表を使用して、観察されたヘテロ接合体の数に基づいてテストの有意水準を調べる必要があります。たとえば、20 個のヘテロ接合体が観察された場合、テストの有意水準は 0.007 です。小規模サンプルのフィッシャーの正確検定では一般的ですが、有意水準の段階は非常に粗くなっています。

ただし、表はnとp の両方に依存するため、このような表はすべての実験ごとに作成する必要があります。

同等性検定は、観測された遺伝子型頻度とハーディ・ワインベルグ平衡の十分な一致を確立するために開発されました。ハーディ・ワインベルグ平衡の仮定の下で、遺伝子型分布の族を とします。遺伝子型分布とハーディ・ワインベルグ平衡の間の距離は で定義され、ここでは距離です。同等性検定問題は およびで与えられ、ここで は許容パラメータです。仮説 が棄却される場合、集団は高い確率でハーディ・ワインベルグ平衡に近づきます。二対立遺伝子の場合の同等性検定は、Wellek (2004) などで開発されています。^[8]複数の対立遺伝子の場合の同等性検定は、Ostrovski (2020) で提案されています。^[9]${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d(p,{\mathcal {M}})=\min _{q\in {\mathcal {M}}}d(p,q)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle H_{0}=\{d(p,{\mathcal {M}})\geq \varepsilon \}}$${\displaystyle H_{1}=\{d(p,{\mathcal {M}})<\varepsilon \}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle H_{0}}$

近親交配係数（ F統計量も参照）は、ハーディ・ワインベルグ平衡から予測されるヘテロ接合体の観測頻度から 1 を引いた値です。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F={\frac {\operatorname {E} {(f({\text{Aa}}))}-\operatorname {O} (f({\text{Aa}}))}{\operatorname {E} (f({\text{Aa}}))}}=1-{\frac {\operatorname {O} (f({\text{Aa}}))}{\operatorname {E} (f({\text{Aa}}))}},}$

ここでハーディ・ワインベルグ均衡からの期待値は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {E} (f({\text{Aa}}))=2pq}$

たとえば、上記のフォードのデータの場合:

${\displaystyle F=1-{138 \over 141.2}=0.023.}$

2 つの対立遺伝子の場合、ハーディ・ワインベルグ比率のカイ 2 乗適合度検定は近親交配の検定と同等です 。 ${\displaystyle F=0}$

近交係数は、期待値がゼロに近づくにつれて不安定になるため、まれな対立遺伝子や非常に一般的な対立遺伝子には役立ちません。 の場合: ;は未定義です。 ${\displaystyle F{\big |}_{E=0,O=0}=-\infty }$${\displaystyle F{\big |}_{E=0,O>0}}$

メンデル遺伝学は1900 年に再発見されました。しかし、メンデル遺伝学がどのようにして連続的な形質を引き起こすのかが当時は知られていなかったため、数年間は多少議論が続きました。ユール(1902) は、優性遺伝子が集団内で増加すると考え、メンデル遺伝学に反対しました。^[10]アメリカ人の ウィリアム E. キャッスル(1903) は、淘汰がなければ遺伝子型頻度は安定したままであることを示しました。^[11] カール ピアソン(1903) は、 p  =  q = 0.5の値を持つ 1 つの平衡位置を発見しました 。^[12] レジナルド パネットはユールの主張に反論できず、一緒にクリケットをプレーしていたイギリスの数学者GH ハーディにこの問題を紹介しました。ハーディは純粋数学者で、応用数学をある程度軽蔑していました。生物学者による数学の利用に関する彼の見解は、1908年の論文で「非常に単純」であると述べている。^[13]

サイエンス誌の編集者へ: 専門知識のない事柄に関する議論に割り込むのは気が進みません。また、私が申し上げたい非常に単純な点は生物学者にはよく知られているはずであると考えていました。しかし、RC パネット氏が私の注意を引いたウドニー・ユール氏の発言から、それでも申し上げる価値があるかもしれないと感じました...

Aa がメンデルの法則に則った一対の形質で、A が優性であるとし、どの世代でも純粋優性形質 (AA)、ヘテロ接合体 (Aa)、純粋劣性形質 (aa) の数が p :2 q : rであるとします。最後に、これらの数はかなり大きく、交配はランダムとみなせるほどで、3 種類の品種間で性別が均等に分布し、すべてが同じように繁殖力があるとします。次の世代では、これらの数が( p  +  q ) ² :2( p  +  q )( q  +  r ):( q  +  r ) ²、またはp ₁ :2 q ₁ : r ₁などになることを示すには、掛け算表のような数学を少し使えば十分です。

興味深い疑問は、どのような状況でこの分布が前の世代と同じになるのかということです。この条件は q ²  =  prであることは容易にわかります。また、q ₁ ²  =  p ₁ r _{1 で}あるため、p、q、rの値が何で あっても、分布はいずれにしても第2世代以降も変化せずに継続します。

この原理は、1943年まで英語圏ではハーディの法則として知られていましたが、その年にカート・スターンが、この法則は1908年にドイツの医師ヴィルヘルム・ワインバーグによって初めて独立して定式化されたことを指摘しました。^{[14] [15]}ウィリアム・キャッスルも1903年に、対立遺伝子頻度が等しい特別なケースの比率を導き出しており、この法則はハーディ・ワインバーグ・キャッスルの法則と呼ばれることもありますが、まれにしか呼ばれません。

ハーディの命題は、頻度p、 2 q、およびrの再帰関係から始まります。これらの再帰関係は、確率の基本概念、具体的には独立性、および条件付き確率に従います。たとえば、世代の子孫が ホモ接合優性である確率を考えます。対立遺伝子は、それぞれの親から独立して受け継がれます。優性対立遺伝子は、ホモ接合優性親から確率 1 で受け継がれるか、ヘテロ接合親から確率 0.5 で受け継がれます。この推論を式で表すには、が親からの優性対立遺伝子の受け継ぎを表すものとします。さらに、およびが前の世代の潜在的な親の遺伝子型を表すもの とします。${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle A_{t}}$${\displaystyle \textstyle AA_{t-1}}$${\displaystyle \textstyle Aa_{t-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{t}&=P(A_{t},A_{t})=P(A_{t})^{2}\\&=\left(P(A_{t}\mid AA_{t-1})P(AA_{t-1})+P(A_{t}\mid Aa_{t-1})P(Aa_{t-1})\right)^{2}\\&=\left((1)p_{t-1}+(0.5)2q_{t-1}\right)^{2}\\&=\left(p_{t-1}+q_{t-1}\right)^{2}\end{aligned}}}$

同じ推論を他の遺伝子型に適用すると、残りの2つの再帰関係が得られます。均衡は、各割合が次の世代間で一定であるときに発生します。より正式には、集団が均衡状態にある世代とは、 ${\displaystyle \textstyle t}$

${\displaystyle \textstyle 0=p_{t}-p_{t-1}}$、、 そして${\displaystyle \textstyle 0=q_{t}-q_{t-1}}$${\displaystyle \textstyle 0=r_{t}-r_{t-1}}$

これらの方程式を解くことで、平衡状態が起こるための必要かつ十分な条件を決定することができる。ここでも、ホモ接合優勢動物の頻度を考えてみよう。平衡状態とは、

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{t}-p_{t-1}\\&=p_{t-1}^{2}+2p_{t-1}q_{t-1}+q_{t-1}^{2}-p_{t-1}\end{aligned}}}$

まず、 の場合を考えます。これは、およびを意味することに注意してください。次に、 の残りの場合を考えます。 ${\displaystyle \textstyle p_{t-1}=0}$${\displaystyle \textstyle q_{t-1}=0}$${\displaystyle \textstyle r_{t-1}=1}$${\displaystyle \textstyle p_{t-1}\neq \textstyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{t-1}(p_{t-1}+2q_{t-1}+q_{t-1}^{2}/p_{t-1}-1)\\&=q_{t-1}^{2}/p_{t-1}-r_{t-1}\end{aligned}}}$

ここで、対立遺伝子の比率の合計は 1 になる必要があるため、最終的な等式が成立します。どちらの場合も、 です。他の 2 つの平衡条件は同じ式を意味することが示されます。3 つの平衡式の解を合わせると、ハーディの平衡条件が十分であることがわかります。この条件は第 2 世代に対して常に成立するため、後続の世代はすべて同じ比率を持ちます。 ${\displaystyle \textstyle q_{t-1}^{2}=p_{t-1}r_{t-1}}$

Hardy の元の方程式によって与えられた遺伝子型分布の計算例は参考になります。上記の表 3 の表現型分布は、Hardy の初期遺伝子型分布を計算するために使用されます。Hardyが使用したp値とq値は、上記で使用した値と同じではないことに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{sum}}&={\mathrm {obs} ({\text{AA}})+2\times \mathrm {obs} ({\text{Aa}})+\mathrm {obs} ({\text{aa}})}={1469+2\times 138+5}\\[5pt]&=1750\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={1469 \over 1750}=0.83943\\[5pt]2q&={2\times 138 \over 1750}=0.15771\\[5pt]r&={5 \over 1750}=0.00286\end{aligned}}}$

分布のチェックとして、計算する

${\displaystyle p+2q+r=0.83943+0.15771+0.00286=1.00000\,}$

そして

${\displaystyle E_{0}=q^{2}-pr=0.00382.\,}$

次の世代では、ハーディの方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}q&={0.15771 \over 2}=0.07886\\\\p_{1}&=(p+q)^{2}=0.84325\\[5pt]2q_{1}&=2(p+q)(q+r)=0.15007\\[5pt]r_{1}&=(q+r)^{2}=0.00668.\end{aligned}}}$

分布のチェックとして再度計算する

${\displaystyle p_{1}+2q_{1}+r_{1}=0.84325+0.15007+0.00668=1.00000\,}$

そして

${\displaystyle E_{1}=q_{1}^{2}-p_{1}r_{1}=0.00000\,}$

これらは期待値です。読者は、第 2 世代の値を第 3 世代に使用すると、同じ結果が得られることを証明できます。

ハーディ・ワインベルグ原理は、罹患頻度に基づいて、集団内の 常染色体劣性疾患の保因者の頻度を推定するためにも使用できます。

嚢胞性線維症を持って生まれる赤ちゃんが推定されると仮定すると、これは北欧の人口で観察されるホモ接合体の頻度とほぼ同じです。ハーディ・ワインベルグ方程式を使用して、保因者頻度、ヘテロ接合体の頻度を推定できます。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2500}}}$${\displaystyle \textstyle 2pq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&q^{2}={\frac {1}{2500}}\\[5pt]&q={\frac {1}{50}}\\[5pt]&p=1-q\end{aligned}}}$

が小さいので、 p、、を 1 とすることができます。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{50}}}$${\displaystyle \textstyle 1-{\frac {1}{50}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2pq=2\cdot {\frac {1}{50}}\\[5pt]2pq={\frac {1}{25}}\end{aligned}}}$

したがって、保因率は と推定され、これは北欧の集団で観察される頻度とほぼ同じです。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{25}}}$

これを簡略化すると、キャリア周波数は出生周波数の平方根の約 2 倍になります。

de Finetti 図を使用して、集団内の二対立遺伝子座の遺伝子型頻度の分布をグラフで表すことができます。これは、3 つの遺伝子型頻度の分布を互いの関係で表すために三角形のプロット (三線プロット、三軸プロット、三元プロットとも呼ばれます) を使用します。軸の 1 つの方向が反転されている点で、他の多くの同様のプロットと異なります。^[16]図の曲線はハーディ・ワインベルグ放物線であり、対立遺伝子がハーディ・ワインベルグ平衡にある状態を表します。このようなグラフでは、自然選択の影響とそれが対立遺伝子頻度に与える影響を表すことができます。 ^{[17] de Finetti 図は、} AWF Edwardsが著書Foundations of Mathematical Geneticsで開発し、広く使用しました。^[18]

• F統計
• 固定指数
• QST_(遺伝学)
• ヴァルンド効果
• 平均への回帰
• 多項分布（ハーディ・ワインベルグ分布は確率 の三項分布である）${\displaystyle (\theta ^{2},2\theta (1-\theta ),(1-\theta )^{2})}$
• 加法不均衡とZ統計
• 集団遺伝学
• 遺伝的多様性
• 創始者効果
• 人口ボトルネック
• 遺伝的浮動
• 近親交配による弱勢
• 近親交配係数
• 関係係数
• 自然淘汰
• フィットネス
• 遺伝的負荷

• EvolutionSolution（ページ下部）
• ハーディ・ワインベルグ平衡計算機
• 遺伝学 集団遺伝学シミュレーター^{[永久リンク切れ‍ ]}
• Guo & Thompson 1992 の HARDY C 実装
• Wigginton ら 2005 のソース コード (C/C++/Fortran/R)
• オンラインのフィネッティ図ジェネレーターとハーディ・ワインベルグ平衡テスト
• オンライン ハーディ・ワインベルグ平衡テストとデ・フィネッティ図の描画 2015 年 5 月 26 日、Wayback Machineにアーカイブ
• ハーディ・ワインベルグ平衡計算機