加法不均衡とZ統計

加法不均衡（D ）は、観察された遺伝子型頻度とハーディ・ワインベルグ平衡の下で予想される遺伝子型頻度との差を推定する統計量である。対立遺伝子1と2を持つ二対立遺伝子座では、加法不均衡は次式に従って存在する^[1]。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{11}&=p_{1}^{2}+D\\[5pt]f_{12}&=2p_{1}(1-p_{1})-2D\\[5pt]f_{22}&=(1-p_{1})^{2}+D\end{aligned}}}$

ここで、f _ijは集団内の遺伝子型ijの頻度、 pは集団内の対立遺伝子頻度、 Dは加法不均衡係数である。^[1]

D > 0の値は、集団内のホモ接合体の過剰/ヘテロ接合体の不足を示し、 D < 0 はヘテロ接合体の過剰/ホモ接合体の不足を示します。D = 0 の場合、遺伝子型はハーディ・ワインベルグ平衡にあると見なされます。実際には、サンプルから推定された加法不均衡が正確に 0 になることはめったにありませんが、0 と有意に異ならないと結論付けるには十分小さい場合があります。加法不均衡係数の値を見つけることは、遺伝子型頻度セットにおけるハーディ・ワインベルグ平衡を受け入れるか拒否するかの代替評価を提供します。^[1]${\displaystyle {\ワイドハット {D}}}$

遺伝子型と対立遺伝子の頻度は区間 (0,1) 内の正の数でなければならないため、Dの可能な値の範囲には次のような制約があります。

${\displaystyle \max_{u\,\in\,(1,2)}-p_{u}^{2}\leq D\leq p_{1}(1-p_{1})}$

サンプルから D を推定するには、次の式を使用します。

${\displaystyle {\widehat {D}}={\widehat {f}}_{11}-{\widehat {p}}_{1}^{2}={\frac {n_{11}}{n}}-\left({\frac {2n_{11}+n_{12}}{2n}}\right)^{2}}$

ここで、n ₁₁ ( n ₁₂ ) は、特定の遺伝子型を持つ標本内の個体数であり、n は標本内の個体の総数です。およびは、集団の遺伝子型と対立遺伝子頻度の標本推定値であることに注意してください。 ${\displaystyle {\ワイドハット {f}}_{11}}$${\displaystyle {\ワイドハット {p}}_{1}}$

（ によって与えられる） のおおよその標本分散は次のようになります。${\displaystyle {\ワイドハット {D}}}$${\displaystyle \operatorname {var} ({\widehat {D}})}$

${\displaystyle \operatorname {var} {\widehat {D}}={\frac {{\widehat {p}}_{1}^{2}(1-{\widehat {p}}_{1}^{2})}{n}}}$   ^[2]

これから推定95%信頼区間を計算すると、

${\displaystyle {\widehat {D}}\pm 1.96{\sqrt {\operatorname {var} ({\widehat {D}})}}}$

注: は推定標準偏差にも等しくなります 。 ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {var} ({\widehat {D}})}}}$

信頼区間にゼロが含まれていない場合、ハーディ・ワインベルグ平衡の帰無仮説を棄却できます。 ${\displaystyle {\ワイドハット {D}}}$

• 同様に、 z統計量を使用してハーディ・ワインベルグ均衡を検定することもできます。z統計量では、加法不均衡の推定値からの情報を使用して有意性を判断します。ただし、 z統計量を使用する場合、目標は、漸近的に標準正規分布を持つように統計量を変換することです。これを行うには、その標準偏差で割ります。これにより、簡略化された式が得られます。^[1]${\displaystyle {\ワイドハット {D}}}$

${\displaystyle z={\frac {{\widehat {D}}{\sqrt {n}}}{{\widehat {p}}_{1}(1-{\widehat {p}}_{1})}}}$

zが大きい場合、ハーディ・ワインベルグ均衡からの逸脱も大きくなります。zの値が十分に大きい場合、逸脱が偶然に発生する可能性は低く、ハーディ・ワインベルグ均衡の仮説は棄却されます。^[1]${\displaystyle {\ワイドハット {D}}}$

z がハーディ ワインベルグ均衡のもとで期待される値よりも大幅に大きいか小さいかを判断するには、「帰無仮説のもとで」観測されたzと同じかそれ以上の極端な値を「観測する確率」を求めます。通常は裾確率( y  >  z ) が使用されます。ここで、y は標準正規乱数です。zが正の場合、裾確率は 1 −  ( y  ≤  z ) です。正規分布は対称であるため、上側裾確率と下側裾確率は等しくなります。したがって、上側確率を求め、2 を掛けて組み合わせた裾確率を求めることができます。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

zが負の場合、負の裾の確率( y ≤ z ) を求め、2 を掛けて上側と下側の両方の裾の結合確率を求めます。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$

これらの式から計算された確率値は、事前に指定されたαの値と比較して分析できます。観測された確率p  ≤  αの場合、「ハーディ・ワインベルグ均衡の帰無仮説を棄却」できます。p  >  αの場合、帰無仮説を棄却できません。一般的に使用される α の値は、0.05、0.01、および 0.001 です。^[3]

有意水準α = 0.05の場合、両側検定でzの絶対値が「臨界値1.96以上」で あれば、ハーディ・ワインベルグ平衡の仮説を棄却できる。 ^{[1] [4]}