3D4

^{数学において、 3} D ₄型のスタインバーグ三元群はスタインバーグ群またはツイスト・シュヴァレー群の族を形成する。これらはD _4の準分割形式であり、体K ⊂ Lの3 次ガロア拡大に依存し、ディンキン図D ₄の三元自己同型を使用する。残念ながら、この群の表記法は標準化されておらず、著者によっては³ D ₄ ( K ) ( ³ D _4をKに値を取る代数群と考える) と書き、また³ D ₄ ( L ) (群を位数 3 の外部自己同型によって固定された D ₄ ( L )のサブグループと考える) と書く人もいる。群³ D ₄は、次元 8 の 直交群またはスピン群に非常によく似ている。

有限体上では、これらの群は有限単純群の18の無限族のうちの1つを形成し、スタインバーグ（1959）によって導入されました。これらは、ジャック・ティッツによってTits（1958）とTits（1959）で独立に発見されました。

_{D 4型の}単連結分割代数群は、そのディンキン図の3 次自己同型から来る 3 次三元自己同型 σ を持ちます。Lが3 次自己同型 τ を持つ体である場合、これは D ₄ ( L ) 群の³次自己同型 τ を誘導します。3 群D ₄ ( L ) は、 στ によって固定された点の D ₄ ( L )の部分群です。これは、体L上の 3 つの 8 次元表現を持ち、3 次外部自己同型 τ によって 並べ替えられます。

グループ³ D ₄ ( q ³ ) の順序は q ¹² ( q ⁸  +  q ⁴  + 1) ( q ⁶  − 1) ( q ²  − 1) です。比較すると、次元 8 の分割スピン グループ D ₄ ( q ) の順序は q ¹² ( q ⁸  − 2 q ⁴  + 1) ( q ⁶  − 1) ( q ²  − 1) であり、次元 8 の準分割スピン グループ² D ₄ ( q ^{2 ) の順序は}q ¹² ( q ⁸  − 1) ( q ⁶  − 1) ( q ² − 1)です  。

群³ D ₄ ( q ³ ) は常に単純です。シューア乗数は常に自明です。外部自己同型群は、q ³ = p ^fかつpが素数であるとき、順序fの巡回群です。

^{この群は、 3} D ₄ ( q )、D ₄ ² ( q ³ )、またはねじれシュバレー群 と呼ばれることもあります。

この群族の最小のメンバーには、他のメンバーにはないいくつかの例外的な特性があります。このグループの位数は 211341312 = 2 ¹² ⋅3 ⁴ ⋅7 ² ⋅13 で、外部自己同型群の位数は 3 です。

³ D ₄ (2 ³ )の自己同型群は、トンプソン散在群の最大部分群であり、次元 52 のF _{4型のコンパクト}リー群の部分群でもあります。特に、この群は F ₄の 26 次元表現に作用します。この表現では、Elkies & Gross (1996) によって研究された、ノルム 2 ベクトルを持たない行列式 3 の唯一の 26 次元偶数格子である 26 次元格子を固定します。この格子の双対には、ノルム 8/3 のベクトルのペアが 819 個あり、その上で³ D ₄ (2 ³ ) はランク 4 の置換群として作用します。

群³ D ₄ (2 ³ ) には、構造が

2 ¹⁺⁸ :L ₂ (8) ランク4の順列表現の点を819点に固定する。

[2 ¹¹ ]:(7 × S ₃ )

ユー₃ (3):2

S ₃ × L ₂ (8)

（７×Ｌ２_（７））：２

3 ¹⁺² .2S ₄

7 ² :2A ₄

3 ² :2A ₄

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• 有限単純群の一覧
• ² E ₆

• カーター、ロジャー W. (1989) [1972]、「リー型の単純群」、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-50683-6、MR  0407163
• Elkies, Noam D.; Gross, Benedict H. (1996)、「例外的な円錐とリーチ格子」、International Mathematics Research Notices、1996 (14): 665–698、doi : 10.1155/S1073792896000426、ISSN  1073-7928、MR  1411589
• スタインバーグ、ロバート（1959）、「シュヴァレーの主題による変奏曲」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、9（3）：875-891、doi：10.2140/pjm.1959.9.875、ISSN  0030-8730、MR  0109191
• スタインバーグ、ロバート (1968)、シュヴァレー群に関する講義、イェール大学、ニューヘブン、コネチカット州、MR  0466335、2012-09-10 にオリジナルからアーカイブ
• ティッツ、ジャック (1958)、タイプ E6 グループの「形式」、ブルバキのセミネール。アニー 10 年: 1957/1958。会議テキスト。 152 〜 168 を公開。 2e ed。コリジェ、Exposé 162、vol. 15、パリ: 事務局 math'ematique、MR  0106247
• ティッツ、ジャック (1959)、「Sur la triité et somes groupes qui s'en déduisent」、Inst.オート エチュード Sci.出版物。数学。、2 : 13–60、土井:10.1007/BF02684706、S2CID  120426125

• 3D4(23) 有限群の地図帳
• 3D4(33) 有限群の地図帳