2E6（数学）

数学において、² E _{6 は}スタインバーグ群またはねじれシュヴァレー群の族である。これは、体K ⊂ Lの二次拡大に依存するE ₆の準分割形式である。残念ながら、群の表記は標準化されておらず、著者によっては² E ₆ ( K ) ( ² E _6をKに値を取る代数群と考える) と書き、また別の著者は² E ₆ ( L ) (群を外反転によって固定された E ₆ ( L )のサブグループと考える) と書いている。

有限体上では、これらの群は有限単純群の 18 個の無限族のうちの 1 つを形成し、Tits (1958) と Steinberg (1959) によって独立に導入されました。

有限体上

群² E ₆ ( q ² ) の位数は q ³⁶ ( q ¹² − 1) ( q ⁹ + 1) ( q ⁸ − 1) ( q ⁶ − 1) ( q ⁵ + 1) ( q ² − 1) /(3, q + 1) である。^{[1]これは E 6 ( q ) の位数}q ³⁶ ( q ¹² − 1) ( q ⁹ − 1 ) ( q ⁸ − 1 ) ( q ^{6 − 1) (}q ⁵ − 1) ( q ² − 1) /(3, q − 1) と似_ている。

そのシュアー乗数は、q =2、すなわち²E ₆ (2 ² ) の場合を除き、位数 (3, q + 1) を持ち、その場合位数は 12 であり、位数 2,2,3 の巡回群の積である。 ²E ₆ (2 ² ) の例外的な二重被覆の 1 つは、ベビーモンスター群のサブグループであり、位数 4 の基本アーベル群による例外的な中心拡大は、モンスター群のサブグループである。

外部自己同型群の位数は(3, q + 1) · fで、q ² = p ^fである。

実数を超える

実数上、² E _{6 はE}₆の準分割形式であり、エリー・カルタンによって分類されたE _{6の 5 つの実形式のうちの 1 つです。その最大コンパクト部分群は}F ₄型です。

備考

^ 読み方の例: ² E ₆ ( q ² )においてq ² =2 ²ならば、順序式q ³⁶ ( q ¹² − 1) ( q ⁹ + 1) ( q ⁸ − 1) ( q ⁶ − 1) ( q ⁵ + 1) ( q ² − 1) /(3, q + 1) においてq =2 である。ただし、群² E ₆ (2 ^{2 ) は}² E ₆ (2)と表記されることもある(例: Wilson の Atlas)。

参考文献

カーター、ロジャー W. (1989) [1972]、「リー型の単純群」、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-50683-6、MR 0407163
スタインバーグ、ロバート (1959)、「シュヴァレーの主題による変奏曲」、パシフィック数学ジャーナル、9 : 875–891、doi : 10.2140/pjm.1959.9.875、ISSN 0030-8730、MR 0109191
スタインバーグ、ロバート (1968)、シュヴァレー群に関する講義、イェール大学、ニューヘブン、コネチカット州、MR 0466335、2012-09-10 にオリジナルからアーカイブ
ティッツ、ジャック (1958)、タイプ E6 グループの「形式」、ブルバキのセミネール。アニー 10 年: 1957/1958。会議テキスト。 152 〜 168 を公開。 2e ed。コリジェ、Exposé 162、vol. 15、パリ: 事務局 math'ematique、MR 0106247
ロバート・ウィルソン: 有限群表現のアトラス: 散在群

[1] 読み方の例: ² E ₆ ( q ² )においてq ² =2 ²ならば、順序式q ³⁶ ( q ¹² − 1) ( q ⁹ + 1) ( q ⁸ − 1) ( q ⁶ − 1) ( q ⁵ + 1) ( q ² − 1) /(3, q + 1) においてq =2 である。ただし、群² E ₆ (2 ^{2 ) は}² E ₆ (2)と表記されることもある(例: Wilson の Atlas)。