ラマヌジャン・ペーターソン予想

数学において、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（1916、p. 176）によるラマヌジャン予想は、重み $12の$ カスプ形式 $Δ（$ $z$ $）$ のフーリエ係数 $τ$ $（$ $n$ $）$ によって与えられるラマヌジャンのタウ関数を述べている。

\Delta (z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots ,

ここで、は $q=e^{2\pi iz}$

|\tau (p)|\leq 2p^{11/2},

$pが$ 素数の場合。Petersson (1930)によって導入された一般化ラマヌジャン予想またはラマヌジャン-ピーターソン予想は 、他のモジュラー形式または保型形式への一般化です。

ラマヌジャンL関数

リーマンゼータ関数とディリクレL関数はオイラー積を満たす。

そして、それらの完全な乗法特性により

リーマンゼータ関数とディリクレL関数以外に、上記の関係を満たすL関数はあるだろうか？確かに、保型形式のL関数はオイラー積（1）を満たすが、完全乗法性を持たないため（2）は満たさない。しかし、ラマヌジャンは、モジュラー判別式のL関数が修正関係を満たすことを発見した。

ここで $τ (p)は$ ラマヌジャンのタウ関数である。

{\frac {1}{p^{2s-11}}}

は完全な乗法性からの違いと考えられる。上記のL関数はラマヌジャンのL関数と呼ばれる。

ラマヌジャン予想

ラマヌジャンは次のように推測した。

$τ$ は乗法であり、
$τは$ 完全に乗法的ではないが、 $N$ の $素数p$ と $j$ に対しては、 $τ$ $($ $p$ $j$ $+1$ $) =$ $τ$ $($ $p$ $)$ $τ$ $($ $p$ $j$ $) -$ $p$ $11$ $τ$ $($ $p$ $j$ $-1$ $)$ となり、
$| τ (p)| \leq 2 p 11/2$ 。

ラマヌジャンは、（３）の右辺の分母に $u = p - s$ の二次方程式があることを観察した。

1-\tau (p)u+p^{11}u^{2}

多くの例から、常に虚根を持つことがわかります。二次方程式の根と係数の関係は、ラマヌジャンの予想と呼ばれる3番目の関係につながります。さらに、ラマヌジャンのタウ関数の場合、上記の二次方程式の根を $α$ と $β$ とすると、

\operatorname {Re} (\alpha )=\operatorname {Re} (\beta )=p^{11/2},

これはリーマン予想に似ています。これは、すべての $τ (n)$ 、つまり任意の $ε > 0$ に対して、わずかに弱い推定値を意味します。

O\left(n^{11/2+\varepsilon }\right).

1917年、L. モーデルは複素解析の手法、具体的には今日ヘッケ作用素として知られるものを用いて最初の2つの関係を証明した。3番目の命題は、デリーニュ (1974) によるヴェイユ予想の証明から導かれた。それが帰結であることを示すために必要な定式化は繊細で、全く自明ではなかった。それは久我道夫の研究であり、佐藤幹夫、志村五郎、井原康隆の貢献もあり、デリーニュ (1971) がそれに続いた。この関係の存在は、エタールコホモロジー理論の帰結が解明されていた 1960年代後半の詳細な研究のいくつかに影響を与えた。

モジュラー形式に対するラマヌジャン・ペーターソン予想

1937年、エーリッヒ・ヘッケはヘッケ作用素を用いて、モーデルの最初の2つの予想の証明の方法を $SL(2,$ $Z$ $)$ の離散部分群 $Γの$ 保型L関数に一般化した。任意のモジュラー形式

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}\qquad q=e^{2\pi iz},

ディリクレ級数を形成することができる

\varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.

$Γ$ に対して重み $k$ $\geq 2$ のモジュラー形式 $f (z)$ の場合、 $φ$ $($ $s$ $) は$ $Re($ $s$ $) >$ $k$ で絶対収束します。これは、 $a$ $n$ $= O($ $n$ $k$ $-1+$ $ε$ $)$ であるためです。 $f は重み$ $k$ のモジュラー形式であるため、 $($ $s$ $-$ $k$ $)$ $φ$ $($ $s$ $)は$ 整式となり、 $R$ $($ $s$ $) = (2$ $π$ $)$ $-$ $s$ $Γ($ $s$ $)$ $φ$ $($ $s$ $)は次$ の関数方程式を満たします。

R(ks)=(-1)^{k/2}R(s);

$これは1929年にウィルトン$ によって証明された。fと $φ$ の対応は1対1である（ $a 0 = (-1) k /2 Res s = k R (s)$ ）。x $> 0$ $に対して$ g $(x) = f (ix) - a 0$ とすると、 $g$ $($ $x$ $)は$ メリン変換を介して $R$ $($ $s$ $)$ と関連付けられる。

R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\,dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}\,ds.

$この対応は、上記の関数方程式を満たすディリクレ級数とSL(2, Z)$ の離散部分群の保型形式を関連付けます。

$k \geq 3$ の場合、ハンス・ペテルソンはモジュラー形式の空間上にペテルソン計量と呼ばれる計量を導入しました(ヴェイユ・ペテルソン計量も参照)。この予想は彼にちなんで名付けられました。ペテルソン計量のもとで、モジュラー形式の空間上の直交性をカスプ形式の空間とその直交空間として定義でき、それらが有限次元を持つことが示されます。さらに、リーマン・ロッホの定理を使用して、正則モジュラー形式の空間の次元を具体的に計算できます(モジュラー形式の次元を参照)。

Deligne (1971) は、アイヒラー-志村同型性を利用して、ラマヌジャン予想をヴェイユ予想に還元し、後にこれを証明した。合同部分群の楕円モジュラー形式の理論における正則カスプ形式に対するより一般的なラマヌジャン-ピーターソン予想は、指数 $($ $k$ $- 1)/2$ で同様の定式化がなされ、 $k は$ 形式の重みである。これらの結果もヴェイユ予想から導かれるが、 $k$ $= 1$ の場合は例外で、この場合は Deligne & Serre (1974) の結果である。

マース形式に対するラマヌジャン-ピーターソン予想は、正則な場合にはうまく機能するドリーニュ法が実解析的な場合には機能しないため、まだ未解決である（2022年現在）。

保型形式に対するラマヌジャン・ペーターソン予想

$Satake (1966) はラマヌジャン-ピーターソン予想をGL(2)$ の保型表現の観点から再定式化し、保型表現の局所成分が主系列に含まれると述べ、この条件をラマヌジャン-ピーターソン予想の他の群上の保型形式への一般化として提案した。別の言い方をすると、カスプ形式の局所成分は緩和される必要があるということである。しかし、何人かの著者は、無限遠成分が緩和されない異方性群の反例を発見した。Kurokawa (1978) と Howe & Piatetski-Shapiro (1979) は、表現 θ 10 に関連して、ほぼどこでも緩和されないユニタリー群 U ( $2, 1)$ とシンプレクティック群 $Sp(4)$ の保型形式を構築することにより、この予想がいくつかの $準$ 分割群と分割群に対しても誤りであることを示した $。$

反例が見つかった後、Howe と Piatetski-Shapiro (1979) は、予想を再定式化してもまだ成り立つはずだと示唆した。一般化されたラマヌジャン予想の現在の定式化は、連結簡約群の大域的に一般的な尖点保型表現に対するものであり、一般的な仮定は、表現がWhittaker モデルを許容することを意味する。それは、そのような表現の各局所成分が緩和されるべきであると述べている。GL $($ $n$ $)$ の保型表現の対称冪の関数性を確立するとラマヌジャン-ピーターソン予想が証明されるというのは、ラングランズによる観察である。

数体上のラマヌジャンへの境界

数体の場合の一般化ラマヌジャン予想に対する最良の境界を得ることは、多くの数学者の注目を集めてきました。それぞれの改善は、現代数論の世界における画期的な出来事と考えられています。GL $($ $n$ $)$ のラマヌジャン境界を理解するために、ユニタリ尖角保型表現を考えてみましょう。

\pi =\bigotimes \pi _{v}.

バーンスタイン・ゼレビンスキー分類によれば、各p進 $πv は$ 表現からユニタリ放物線誘導によって得られる。

\tau_{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau_{d,v}.

ここでそれぞれは、 $GL($ $n$ $i$ $)の$ $v$ 位上の表現であり、 $\tau_{i,v}$

\tau _{i_{0},v}\otimes \left|\det \right|_{v}^{\sigma _{i,v}}

$緩和された。n$ $\geq 2$ のとき、ラマヌジャン境界は $δ$ $\geq 0 と$ なる数であり、 $\tau _{i_{0},v}$

\max_{i}\left|\sigma_{i,v}\right|\leq\delta.

ラングランズ分類はアルキメデスの場所に対して使用できます。一般化されたラマヌジャン予想は、境界 $δ = 0$ と同等です。

Jacquet、Piatetskii-Shapiro & Shalika (1983) は、一般線型群 $GL($ $n$ $)$ について、自明な境界として知られる $δ \leq 1/2という最初の境界を得ました。重要なブレークスルーは Luo、Rudnick & Sarnak (1999) によって達成され、彼らは現在、任意の$ $n$ と任意の数体について $δ$ $\equiv 1/2 - ($ $n$ $2$ $+1)$ $-1$ $という最良の一般的な境界を保持しています。 GL(2)$ の場合、Kim と Sarnak は、数体が有理数体のときに $δ$ $= 7/64$ という画期的な境界を確立しました。これは、 Langlands-Shahidi 法によって得られた対称 4 次に関する Kim (2002) の関数性の結果の結果として得られます。Blomer & Brumley (2011) の結果により、任意の数体への Kim-Sarnak 境界の一般化が可能になります。

$GL($ $n$ $)$ 以外の簡約群については、一般化されたラマヌジャン予想はラングランズ関数原理から導かれる。重要な例としては古典群があり、その最良の境界はラングランズ関数リフトの結果としてCogdellら(2004)によって得られた。

大域関数体上のラマヌジャン・ペーターソン予想

Drinfeld による大域関数体上の $GL(2)$ の大域ラングランズ対応の証明は、ラマヌジャン-ピーターソン予想の証明につながる。Lafforgue (2002) は Drinfeld の shtuka法を正特性の $GL($ $n$ $)$ の場合に拡張することに成功した。Lomelí (2009) はラングランズ-シャヒディ法を大域関数体を含むように拡張する別の手法により、古典群に対するラマヌジャン予想を証明した。

アプリケーション

ラマヌジャン予想の応用として、ルボツキー、フィリップス、サルナックによるラマヌジャングラフの明示的な構築がある。実際、「ラマヌジャングラフ」という名前はこの関係から派生したものである。別の応用として、一般線型群 $GL($ $n$ $)$ に対するラマヌジャン-ピーターソン予想は、いくつかの離散群に対するラプラシアンの固有値に関するセルバーグ予想を意味する。

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