ピーターソン内積

数学において、ピーターソン内積は、モジュラー形式全体の空間上で定義される内積です。ドイツの数学者ハンス・ピーターソンによって導入されました。

を重みのモジュラー形式の全体空間とし、を カスプ形式の空間とします。 ${\displaystyle \mathbb {M} _{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {S} _{k}}$

マッピング、 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {M} _{k}\times \mathbb {S} _{k}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\mathrm {F} }f(\tau ){\overline {g(\tau )}}(\operatorname {Im} \tau )^{k }d\nu (\タウ)}$

はピーターソン内積と呼ばれ、

${\displaystyle \mathrm {F} =\left\{\tau \in \mathrm {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq {\frac {1}{2}},\left|\tau \right|\geq 1\right\}}$

はモジュラー群 の基本領域であり、${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \tau =x+iy}$

${\displaystyle d\nu (\tau )=y^{-2}dxdy}$

双曲体積形式です。

積分は絶対収束し、ピーターソンの内積は正定値 エルミート形式です。

ヘッケ演算子 、およびレベル の形式については、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle \Gamma_{0}}$

${\displaystyle \langle T_{n}f,g\rangle =\langle f,T_{n}g\rangle }$

これを使用して、レベルのカスプ形式の空間がヘッケ演算子の同時固有関数からなる正規直交基底を持ち、これらの形式のフーリエ係数がすべて実数であることを示すことができます。 ${\displaystyle \Gamma_{0}}$

• ヴァイル・ペーターソン計量

• TM アポストル『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数』、シュプリンガー出版ベルリンハイデルベルクニューヨーク 1990 年、ISBN  3-540-97127-0
• M. Koecher、A. Krieg、Elliptische Funktionen und Modulformen、Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998、ISBN 3-540-63744-3 
• S. Lang,モジュラー形式入門、Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001、ISBN 3-540-07833-9