マース波形

数学において、マース形式またはマース波形は保型形式の理論で研究される。マース形式は上半平面の複素数値の滑らかな関数であり、 の離散部分群の作用素の下でモジュラー形式と同様に変換される。これらはで定義される双曲ラプラス作用素の固有形式であり、 の基本領域の尖端で特定の成長条件を満たす。モジュラー形式とは対照的に、マース形式は正則である必要はない。これらは 1949 年にハンス・マースによって初めて研究された。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \ガンマ}$

グループ

${\displaystyle G:=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {R} ):ad-bc=1\right\}}$

上半分の平面上で動作する

${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

分数線形変換によって:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

以下を定義することで、操作に拡張できます。 ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}\cup \mathbb {\mathbb {R} } }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z:={\begin{cases}{\frac {az+b}{cz+d}}&{\text{if }}cz+d\neq 0,\\\infty &{\text{if }}cz+d=0,\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot \infty :=\lim _{\operatorname {Im} (z)\to \infty }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\begin{cases}{\frac {a}{c}}&{\text{if }}c\neq 0\\\infty &{\text{if }}c=0\end{cases}}}$

ラドン測定

${\displaystyle d\mu (z):={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

上で定義されたはの演算に対して不変です。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

を の離散部分群とする。 の基本領域は開集合 であり、の代表値系が存在する。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle F\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$

${\displaystyle F\subset R\subset {\overline {F}}{\text{ and }}\mu ({\overline {F}}\setminus F)=0.}$

モジュラー群の基本領域は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle F:=\left\{z\in \mathbb {H} \mid \left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\frac {1}{2}},|z|>1\right\}}$

(モジュラー形式を参照)。

関数が -不変であるとは、すべてのおよびすべてのに対して成り立つ場合です。 ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f(\gamma z)=f(z)}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

測定可能な不変関数に対して、方程式 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{F}f(z)\,d\mu (z)=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z)\,d\mu (z),}$

が成り立つ。ここで、式の右側の測度は商の誘導測度である。${\displaystyle d\mu }$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} .}$

双曲型ラプラス演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \Delta :C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),}$

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

群の マース形式は、${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z){\text{ for all }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in \mathbb {H} }$
2. ${\displaystyle {\text{there exists }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ with }}\Delta (f)=\lambda f}$
3. ${\displaystyle {\text{there exists }}N\in \mathbb {N} {\text{ with }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ for }}y\geq 1}$

もし

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ for all }}z\in \mathbb {H} }$

これをマースカスプ形式 と呼びます。${\displaystyle f}$

をマース形式と する。${\displaystyle f}$

${\displaystyle \gamma :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}$

我々は持っています：

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {H} :\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).}$

したがって、次の形式のフーリエ展開が得られる。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},}$

係数関数付き${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} .}$

がマース カスプ形式であるためには かつ の場合に限ることを示すのは簡単です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0}$

係数関数を正確に計算することができます。そのためにはベッセル関数が 必要です。 ${\displaystyle K_{v}}$

定義:ベッセル関数は次のように定義される。 ${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.}$

積分はにおいて絶対的に局所一様収束し、不等式は ${\displaystyle y>0}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}$

すべてに当てはまります。 ${\displaystyle y>4}$

したがって、 はに対して指数的に減少します。さらに、すべての に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle |K_{s}|}$${\displaystyle y\to \infty }$${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,y>0}$

証明：我々は

${\displaystyle \Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.}$

フーリエ係数の定義により、

${\displaystyle a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx}$

のために${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

これらを合わせると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}(y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

のために${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

(1)では、最初の和の項としてのn番目のフーリエ係数を使用しました。2番目の項では、積分と微分の順序を変えましたが、これは f が y に関して滑らかであるため可能です。2次の線形微分方程式が得られます。 ${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$${\displaystyle (2\pi in)^{2}a_{n}(y)}$

${\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}$

なぜなら、あらゆる解に対して、次のような性質を持つ一意の係数が存在することが示されるからである。${\displaystyle n=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.}$

あらゆる解は次のような形式の係数を持つ。 ${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)}$

一意の です。ここで、 と はベッセル関数です。 ${\displaystyle c_{n},d_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle K_{v}(s)}$${\displaystyle I_{v}(s)}$

ベッセル関数は指数的に増加しますが、ベッセル関数は指数的に減少します。多項式増加条件 3) と合わせて、一意の に対して(また) が得られます。QED${\displaystyle I_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}$${\displaystyle d_{n}=0}$${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$

偶数および奇数のマアス形式:とします。このとき、i はすべての関数に対して によって作用し、双曲ラプラシアンと可換です。マアス形式は、 の場合には偶数、 の場合には奇数と呼ばれます。f がマアス形式である場合、 は偶数マアス形式かつ奇数マアス形式であり、 が成り立ちます。 ${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i(f)=f}$${\displaystyle i(f)=-f}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$${\displaystyle f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$

させて

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n\neq 0}c_{n}{\sqrt {y}}K_{\nu }(2\pi |n|y)e^{2\pi inx}}$

はマースカスプ形式である。L関数を次のように 定義する。${\displaystyle f}$

${\displaystyle L(s,f)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}n^{-s}.}$

すると、級数はについて収束し、 上の関数全体にまで拡大することができます。 ${\displaystyle L(s,f)}$${\textstyle \Re (s)>{\frac {3}{2}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

が偶数か奇数の 場合は${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Lambda (s,f):=\pi ^{-s}\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon +\nu }{2}}\right)\Gamma \left({\frac {s+\varepsilon -\nu }{2}}\right)L(s,f).}$

ここでが偶数でが奇数の場合、関数方程式を満たす 。${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon =-1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (s,f)=(-1)^{\varepsilon }\Lambda (1-s,f).}$

非正則アイゼンシュタイン級数は次のように定義される。 ${\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {H} }$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle E(z,s):=\pi ^{-s}\Gamma (s){\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}}}$

ここでガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma (s)}$

この級数は について絶対収束し、について局所一様収束する。なぜなら、級数が ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \Re (s)>1}$${\displaystyle \mathbb {H} \times \{\Re (s)>1\}}$

${\displaystyle S(z,s):=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{|mz+n|^{s}}}}$

は、 のとき、で絶対収束します。より正確には、 は、任意のコンパクト集合および任意の に対して、任意の集合 上で一様収束します。 ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \Re (s)>2}$${\displaystyle K\times \{\Re (s)\geq \alpha \}}$${\displaystyle K\subset \mathbb {H} }$${\displaystyle \alpha >2}$

ここでは-不変性と微分方程式のみを示します。滑らかさの証明は Deitmar または Bump で見つけることができます。成長条件は、アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開から得られます。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

まず、-不変性を示します。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}$

に対する操作に対応する安定化グループとする。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {H} \cup \{\infty \}}$

命題。E は不変です。${\displaystyle \Gamma (1)}$

証明。定義:

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.}$

(a) は、に対して絶対収束し、${\displaystyle {\tilde {E}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \Re (s)>1}$${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).}$

以来

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im (z)}{|cz+d|^{2}}},}$

我々は得る

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

これは、の絶対収束を証明するものである。${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

さらに、

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},}$

地図から

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}}$

は一対一である (a) が成り立つ。

(b)すべての に対してが成り立ちます。 ${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$

私たち は${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)}$

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(z,s).}$

(a) と合わせて、も に対して不変である。QED ${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (1)}$

命題。E は双曲型ラプラス演算子の固有形式である。

次の補題が必要です:

補題: は 上のの作用素と可換である。より正確には、すべてに対して次が成り立つ。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.}$

証明:グループはフォームの要素によって生成される ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R} ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}$

これらのジェネレータのクレームを計算し、すべてのクレームを取得します。QED ${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

の微分方程式を示すだけで十分であるため、次式が得られます。 ${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)}$

さらに、

${\displaystyle \Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.}$

ラプラス演算子は の演算と可換なので、 ${\displaystyle \Gamma (1)}$

${\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}}$

など

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).}$

したがって、微分方程式はにおいてEに対して成り立ちます。すべての に対してこの主張を得るためには、関数 を考えます。この関数のフーリエ展開を明示的に計算すると、この関数が有理型であることがわかります。この関数は に対してゼロになるため、恒等定理により零関数でなければなりません。 ${\displaystyle \Re (s)>3}$${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}$${\displaystyle \Re (s)>3}$

非正則アイゼンシュタイン級数はフーリエ展開される

${\displaystyle E(z,s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y,s)e^{2\pi inx}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}(y,s)&=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2(1-s))y^{1-s}\\a_{n}(y,s)&=2|n|^{s-{\frac {1}{2}}}\sigma _{1-2s}(|n|){\sqrt {y}}K_{s-{\frac {1}{2}}}(2\pi |n|y)&&n\neq 0\end{aligned}}}$

の場合には、は 上で有理型接続を持つ。 は、における単純極を除いて正則である。${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle E(z,s)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle s=0,1.}$

アイゼンシュタイン級数は関数方程式を満たす

${\displaystyle E(z,s)=E(z,1-s)}$

すべてに対して。 ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$

成長条件 において局所的に均一${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(x+iy,s)={\mathcal {0}}(y^{\sigma })}$

保持され、${\displaystyle \sigma =\max(\operatorname {Re} (s),1-\operatorname {Re} (s)).}$

Eの有理型接続は、双曲型ラプラス演算子のスペクトル理論において非常に重要です。

を正準射影の核と する。${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Gamma (N)}$

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$

レベルの主合同部分群を と呼びます。が存在する場合、部分群は合同部分群と呼ばれます。すべての合同部分群は離散的です。 ${\displaystyle \Gamma (N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma }$

させて

${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.}$

合同部分群について、を におけるの像とする。Sがの代表の系である場合、 ${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}}$

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}$

は の基本領域です。 集合は基本領域 によって一意に決定されます。 さらに、は有限です。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle SD}$${\displaystyle S}$

の点は、基本領域 の尖点と呼ばれます。これらは のサブセットです。 ${\displaystyle \gamma \infty }$${\displaystyle \gamma \in S}$${\displaystyle SD}$${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$

すべてのカスプにはが存在します。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \sigma \in \Gamma (1)}$${\displaystyle \sigma \infty =c}$

を合同部分群とし、${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

重みの双曲ラプラス演算子を次のように 定義する。${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \Delta _{k}:C^{\infty }(\mathbb {H} )\to C^{\infty }(\mathbb {H} ),}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$

これは双曲型ラプラス演算子の一般化です。 ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta }$

の演算を次のように定義する。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {H} )}$

${\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)}$

どこ

${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ).}$

それは次のことが証明できる

${\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}$

すべておよびあらゆるに当てはまります。 ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ),k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

したがって、ベクトル空間上で動作する ${\displaystyle \Delta _{k}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k):=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {H} ):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}}$。

定義。の重みのマース形式は、の固有関数であり、頂点で中程度に増加する 関数です。${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \Delta _{k}}$

尖端における中程度の増加という用語には、説明が必要です。 無限大は、関数 がで中程度の増加であるとき、 がyの多項式 によって として制限されます。を別の尖端とします。すると、 が存在することになります。 とします。すると、 は合同部分群 です。 が で中程度の増加であるとき、は尖端 で中程度の増加であると言います。 ${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f(x+iy)}$${\displaystyle y\to \infty }$${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \theta (\infty )=c}$${\displaystyle f':=f_{||k}\theta }$${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \Gamma '}$${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle \infty }$

定義。がレベルの主合同部分群を含む場合、 は無限遠点で尖っているという。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {H} :\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

が無限遠で尖っている場合、は尖点で尖っていると言います。 がすべての尖点で尖っている場合、 を尖点形式と呼びます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

モジュラー群の 重みのマース形式の簡単な例を示します。${\displaystyle k>1}$

例:を の偶数重みのモジュラー形式とします。すると は、群 の重みのマース形式になります。 ${\displaystyle g:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma (1).}$${\displaystyle f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma (1)}$

を の合同部分群とし、をを満たす すべての測定可能な関数のベクトル空間とします。${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f_{||k}\gamma =f}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

${\displaystyle \|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty }$

を法とする関数は-不変なので、積分は明確に定義される。これは内積を持つヒルベルト空間である。 ${\displaystyle \|f\|=0.}$${\displaystyle |f(z)|^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash \mathbb {H} }f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).}$

演算子は、に稠密なベクトル空間で定義できます。正の半定値対称演算子があります。 に一意の自己随伴接続が存在することが示されます。${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle B\subset L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).}$

をすべてのカスプ形式の空間として定義すると、 はに作用し、離散スペクトルを持ちます。直交補集合に属するスペクトルは連続部分を持ち、(修正された) 非正則アイゼンシュタイン級数、それらの有理型接続、およびその留数を使用して記述できます。(Bump または Iwaniec を参照)。 ${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k).}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle C(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$

がの離散的（ねじれのない）部分群で、商がコンパクトである場合、スペクトル問題は単純化されます。これは、離散ココンパクト部分群には尖点がないためです。ここで、空間全体は固有空間の和です。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$

${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$は、 の位相を持つ局所コンパクト ユニモジュラ群です。 を合同部分群とします。は で離散的であるため、 でも閉じています。 群はユニモジュラであり、計数測度は離散群 上のハール測度であるため、もユニモジュラです。商積分公式により、局所コンパクト空間 上には-右不変のラドン測度が存在します。を対応する-空間とします。この空間はヒルベルト空間の直和に分解されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \Gamma \backslash G}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

どこ

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}}$

そして

${\displaystyle k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .}$

ヒルベルト空間はヒルベルト空間に等長的に埋め込むことができる。等長写像は ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash \mathbb {H} ,k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}}$

したがって、合同群のすべてのマースカスプ形式はの要素として考えることができます。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$は、群の演算、いわゆる右正則表現を伴うヒルベルト空間です。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle R_{g}\phi :=\phi (xg),{\text{ where }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ and }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).}$

はヒルベルト空間 上ののユニタリ表現であることは簡単に示せます。既約な部分表現への分解に興味があります。これはがココンパクトである場合にのみ可能です。そうでない場合は、連続ヒルベルト積分部分もあります。興味深いのは、この問題の解がマース形式のスペクトル問題も解くことです。(Bump, C. 2.3 を参照) ${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$${\displaystyle \Gamma }$

マースカスプ形式は、マースカスプ形式の一種で、モジュラー形式のように変換されるが、必ずしも正則である必要はない上半平面上の関数である。これらは、ハンス・マースがマースカスプ形式 (1949) で初めて研究した。

k を整数、s を複素数、Γ をSL ₂ ( R )の離散部分群とします。ラプラス固有値sを持つ Γ の重みkのマース形式は、上半平面から複素数への 滑らかな関数であり、次の条件を満たします。

• 誰にとっても、私たちは${\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma }$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).}$
• となる。ここで重みkは双曲ラプラシアンで、次のように定義される。${\displaystyle \Delta _{k}f=sf}$${\displaystyle \Delta _{k}}$$${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$
• この関数は、尖点において最大で多項式増加します。${\displaystyle f}$

弱いマース形式も同様に定義されますが、3 番目の条件が「関数は、尖端で最大でも線形指数関数的増加を示します」に置き換えられます。さらに、ラプラシアン演算子によって消滅する場合、調和的であると言われます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

を重み 0 の Maass カスプ形式とします。素数pにおけるその正規化フーリエ係数は、 p ^7/64 + p ^−7/64で制限されます。この定理は Henry Kim とPeter Sarnakによるものです。これはRamanujan-Petersson 予想への近似です。 ${\displaystyle f}$

マースカスプ形式はGL(2)上の保型形式とみなすことができる。GL( n )上のマースカスプ形式を有理数体上の GL( n )上の球面保型形式として定義するのは自然である。その存在はミラー、ミュラー等によって証明されている。

を単位を持つ可換環とし、を の要素と可逆行列式を持つ行列の群とします。を有理数アデールの環、を有限（有理数）アデールの環とし、素数に対してをp進数の体とします。さらに、をp 進整数の環とします（アデール環を参照）。 を定義します。 と は、それぞれ の部分空間位相を備える場合、両方とも局所コンパクト ユニモジュラ群です。このとき、 ${\displaystyle R}$${\displaystyle G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\text{fin}}}$${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

右側は、のコンパクトな開部分群に関する制限積です。制限積位相を備えると、局所コンパクト群になります。 ${\displaystyle K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle G_{\text{fin}}}$

この群は ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle G_{\text{fin}}\times G_{\mathbb {R} }}$

とは両方とも局所コンパクトであるため、積位相を持つ局所コンパクト群です。 ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$

させて

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}.}$

サブグループ

${\displaystyle G_{\widehat {\mathbb {Z} }}:=\prod _{p<\infty }K_{p}}$

は の最大コンパクト開部分群であり、の埋め込みを考えると、の部分群と考えることができます。 ${\displaystyle G_{\text{fin}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle x_{\text{fin}}\mapsto (x_{\text{fin}},1_{\infty })}$

を の中心として定義します。つまり、は（ここで ）の形式の対角行列全体の群です。によって群を埋め込むことができるため、 はのサブグループであると考えられます。 ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle G_{\infty }}$${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &\\&\lambda \\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{\times }}$${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle z\mapsto (1_{G_{\text{fin}}},z)}$

群はに対角的に埋め込まれますが、これは の 4 つの要素すべてが有限個の素因数しか持てないため、有限個以外のすべての素数 に対して となるため可能です。 ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle x\in K_{p}}$${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

を を満たすすべての の群とします。(アデルの絶対値の定義についてはアデル環を参照してください)。 がのサブグループであることは簡単に計算できます。 ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$${\displaystyle x\in G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle |\det(x)|=1}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$

1対1のマップを使用すると、グループと互いを識別できます。 ${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}\hookrightarrow G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$

群はでは稠密ででは離散的です。商はコンパクトではありませんが、有限のハール測度を持ちます。 ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\text{fin}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }=G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$

したがって、 は、モジュラー群および の古典的な場合と同様に、 の格子です。調和解析により、 がユニモジュラーであることもわかります。 ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1},}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}}$

ここで、重み0のモジュラー群の古典的なマースカスプ形式を に埋め込みたい。これは、「強近似定理」によって達成できる。これは、写像 ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle \psi :G_{\mathbb {Z} }x_{\infty }\mapsto G_{\mathbb {Q} }(1,x_{\infty })G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

は-同変同相写像である。従って、 ${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}$

そしてさらに

${\displaystyle G_{\mathbb {Z} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {R} }{\overset {\sim }{\to }}G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }}.}$

モジュラー群の重み0のマース尖端形式は、

${\displaystyle L^{2}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ))\cong L^{2}(\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )Z_{\mathbb {R} }\backslash \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )).}$

強近似定理により、この空間は

${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }/G_{\widehat {\mathbb {Z} }})\cong L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })^{G_{\widehat {\mathbb {Z} }}}}$

これは${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} }).}$

同じように、古典的な正則カスプ形式を埋め込むことができます。近似定理を少し一般化することで、任意の合同部分群の任意の重みのすべてのマースカスプ形式（および正則カスプ形式）を埋め込むことができます。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$

保型形式の空間をアデール群と 呼びます。${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$

を環とし、 を となるすべての の群とします。この群はRの加法群と同型です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle N_{R}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&r\\&1\\\end{pmatrix}},}$${\displaystyle r\in R}$

関数をカスプ形式と呼ぶのは、 ${\displaystyle f\in L^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$

${\displaystyle \int _{N_{\mathbb {Q} }\backslash N_{\mathbb {A} }}f(nx)dn=0}$

はほぼすべての に対して成り立つ。（または単に）をこれらのカスプ形式のベクトル空間とする。は の閉部分空間であり、 の右正規表現の下で不変である。${\displaystyle x\in G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1}}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}(G_{\mathbb {Q} }\backslash G_{\mathbb {A} }^{1})}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$${\displaystyle L^{2}(G_{\mathbb {Q} }Z_{\mathbb {R} }\backslash G_{\mathbb {A} })}$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }^{1}.}$

ここで再び、 を既約な閉部分空間に 分解することに興味があります。${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$

次の定理が成り立ちます。

この空間は有限重複度を持つ既約ヒルベルト空間の直和に分解される。 ${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )\in \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}={\widehat {\bigoplus _{\pi \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}}}N_{\text{cusp}}(\pi )\pi }$

これらの重複度の計算は、保型形式の理論における最も重要かつ最も難しい問題の 1 つです。 ${\displaystyle N_{\text{cusp}}(\pi )}$

群の既約表現は、それが の部分表現と同型である場合に、尖端的であると呼ばれます。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle L_{\text{cusp}}^{2}}$

群の既約表現は、のコンパクト部分群が存在し、すべての に対してとなる場合、許容されると呼ばれます。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subset G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle \dim _{K}(V_{\pi },V_{\tau })<\infty }$${\displaystyle \tau \in {\widehat {G}}_{\mathbb {A} }}$

あらゆる尖頭表現が許容されることを示すことができます。

許容性は、いわゆるテンソル積定理の証明に必要であり、これは、群のすべての既約、ユニタリ、許容表現が無限テンソル積に同型である というものである。${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$

${\displaystyle \bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}.}$

は群の既約表現です。それらのほとんどは非分岐化される必要があります。 ${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle G_{p}}$

（群の表現は、ベクトル空間が ${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle (p<\infty )}$

${\displaystyle V_{\pi _{p}}^{K_{p}}=\left\{v\in V_{\pi _{p}}\mid \pi _{p}(k)v=v\forall k\in K_{p}\right\}}$

ゼロ空間ではありません。

無限テンソル積の構築については、Deitmar,C.7 を参照してください。

を の既約で許容可能なユニタリ表現とします。テンソル積定理により、は次のような形式になります(アデール群の尖頭表現を参照)。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G_{\mathbb {A} }}$${\displaystyle \pi }$${\textstyle \pi =\bigotimes _{p\leq \infty }\pi _{p}}$

を、すべての分岐した場所を含む場所の有限集合とする。の大域ヘッケ関数を次のように 定義する。${\displaystyle S}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle L^{S}(s,\pi ):=\prod _{p\notin S}L(s,\pi _{p})}$

ここで、 は局所表現のいわゆる局所 L 関数です。局所 L 関数の構築については、Deitmar C. 8.2 を参照してください。 ${\displaystyle L(s,\pi _{p})}$${\displaystyle \pi _{p}}$

が尖端表現である場合、L 関数は上で有理型接続を持ちます。は特定の関数方程式を満たす ため、これは可能です。${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle L^{S}(s,\pi )}$

• ハーモニック・マース形式
• 模擬モジュラー形式
• 実解析的アイゼンシュタイン級数
• 保型形式
• モジュラー形式
• ボロノイ式