三次相互性

三次相互性は、初等および代数 的整数論における、合同式 x ³  ≡  p  (mod  q ) が解ける条件を述べた定理の集合です。「相互性」という言葉は、主定理の形に由来しており、pとq がアイゼンシュタイン整数環の主要数で、両方とも 3 と互いに素である場合、合同式x ³ ≡ p (mod q ) が解けるのは、 x ³ ≡ q (mod p ) が解ける場合のみであると述べています 。

1748年より前にオイラーは小さな整数の3次剰余性についての最初の予想を立てたが、それが発表されたのは彼の死後62年後の1849年になってからだった。^[1]

ガウスの著作には、立方剰余と相互性について3回言及されている。立方剰余に関する結果は、 Disquisitiones Arithmeticae (1801)に1つある。^{[2]二次相互性の5番目と6番目の証明 (1818) [3]}の序文で、ガウスは、これらの証明を出版したのは、その技術 (それぞれガウスの補題とガウス和) が三次および双二次相互性に適用できるからだと述べている。最後に、双二次相互性に関する2番目のモノグラフ(1832) の脚注では、三次相互性はアイゼンシュタイン整数の環で最も簡単に記述できると述べている。^[4]

日記やその他の未発表の資料によると、ガウスは1805年までに整数の3次剰余と4次剰余の規則を知っており、1814年頃に3次および4次の相互性の完全な定理と証明を発見したようです。 ^{[5] [6]}これらの証明は彼の死後に書かれた論文の中に見つかりましたが、それが彼のものかアイゼンシュタインのものかは明らかではありません。^[7]

ヤコビは1827年に立方剰余に関するいくつかの定理を発表したが、証明はなかった。^[8]ヤコビは1836年から1837年にかけてのケーニヒスベルク講義で証明を発表した。^[7]最初に公表された証明はアイゼンシュタイン（1844年）によるものである。^{[9] [10] [11]}

立方剰余（mod p）は整数の3乗（mod p）に一致する任意の数である。x 3 ≡ a（mod p ）に整数解がない場合、 aは立方非剰余（mod ^p ）である。^[12]

立方剰余は通常、n を法として、 ( nのカーマイケルラムダ関数)が 3 で割り切れる場合にのみ定義されます。これは、他の整数nの場合、すべての剰余が立方剰余であるためです。 ${\displaystyle \lambda (n)}$

数論ではよくあることですが、素数を法として扱う方が簡単なので、このセクションではp、qなどを法として扱うものはすべて正の奇数の素数であると仮定します。^[12]

まず、q ≡ 2 (mod 3) が素数であれば、すべての数はq を法とする三次剰余であることに注意してください。 q = 3 n + 2とします。 0 = 0 ^{3 は}明らかに三次剰余なので、x はqで割り切れないと仮定します。 すると、フェルマーの小定理により、

${\displaystyle x^{q}\equiv x{\bmod {q}},\qquad x^{q-1}\equiv 1{\bmod {q}}}$

二つの合同を掛け合わせると

${\displaystyle x^{2q-1}\equiv x{\bmod {q}}}$

ここで、 qに3 n + 2 を代入すると次のようになります。

${\displaystyle x^{2q-1}=x^{6n+3}=\left(x^{2n+1}\right)^{3}.}$

したがって、興味深いのは、法p ≡ 1 (mod 3)の場合のみです。この場合、非ゼロ剰余類 (mod p ) は、それぞれ ( p −1)/3 の数を含む 3 つのセットに分割できます。eを3 次非剰余とします。最初のセットは 3 次剰余です。2 番目は最初のセットの数のe倍、3 番目は最初のセットの数のe ^{2倍です。この分割を記述する別の方法は、} e を原始根(mod p )とすることです。すると、最初の (または 2 番目、3 番目) のセットは、この根に関するインデックスが 0 (または 1, 2) (mod 3) に一致する数です。群論の語彙では、3 次剰余は乗法群のインデックス3 のサブグループを形成し、3 つのセットはその剰余類です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$

フェルマーの定理^{[13] [14]}によれば、すべての素数p≡1 （mod 3）はp = a2 + 3b2と表すことができ、（ aと^bの符号を除いて^）この表現は一意である。

m = a + b、 n = a − bとすると、これはp = m ² − mn + n ²（ ( n − m ) ² − ( n − m ) n + n ² = m ² + m ( n − m ) + ( n − m ) ²に等しいため、mとn は一意に決定されない）と同等であることがわかる。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}}$

そして、 m、n、m − nのうちのちょうど1つが3の倍数である ことを示すのは簡単な演習なので、

${\displaystyle p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}),}$

この表現はLとMの符号まで一意である。^[15]

互いに素な整数mとnに対して、有理数3乗剰余記号を次のように 定義する。

${\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}}$

この記号はルジャンドル記号の乗法特性を持た ないことに注意することが重要です。このためには、以下に定義される真の 3 次特性が必要です。

オイラーの予想。p = a 2 ⁺ 3 b ²を素数とする。すると次のことが成り立つ: ^{[16] [17] [18]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\tfrac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 3\mid b\\\left[{\tfrac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm b)\\\left[{\tfrac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 15\mid b{\text{ or }}3\mid b{\text{ and }}5\mid a{\text{ or }}15\mid (a\pm b){\text{ or }}15\mid (2a\pm b)\\\left[{\tfrac {6}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm 2b)\\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a)\end{aligned}}}$

最初の2つは次のように言い換えることができる。pを1を法として3と一致する素数とする。すると次のようになる。^{[19] [20] [21]}

• 2 がpの三次剰余となるのは、 p = a ² + 27 b ²の場合のみです。
• 3 がpの三次剰余となるのは、 4 p = a ² + 243 b ²の場合のみである。

ガウスの定理。pを正の素数とし 、

${\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}$

その後^{[22] [23]}${\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}.}$

ガウスの定理が次のことを意味していることは容易に分かります。

${\displaystyle \left[{\tfrac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}{p}}\right]_{3}=1.}$

ヤコビの定理（証明なしで述べられている）。^[24] q ≡ p ≡ 1 (mod 6) を正の素数とする。明らかにpとq は両方とも 1 を法として 3 と合同なので、次のように仮定する。

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right).}$

xをx ² ≡ −3 (mod q )の解とします。すると

${\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},}$

そして次のようになります:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {{\frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}\right]_{3}=1\\\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}\right]_{3}=1\end{aligned}}}$

レーマーの定理。qとpを素数とし、次の式を満たすものとする。 ^[25]${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}$

${\displaystyle \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text{ or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},}$

どこ

${\displaystyle u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and}}\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.}$

最初の条件は、 LまたはM を割り切る任意の数は、( pを法として) 3 乗剰余であることを意味することに注意してください。

この最初のいくつかの例^[26]はオイラーの予想と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left[{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left[{\frac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}}$

明らかにL≡M(mod 2)なので、q = 2の基準は次のように簡略化できます。

${\displaystyle \left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.}$

マルティネの定理。p ≡ q ≡ 1 ( mod 3)を素数とすると、 ^[27]${\displaystyle pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2}).}$

${\displaystyle \left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1.}$

シャリフィの定理。p = 1 + 3 x + 9 x ²を素数とする。するとxの任意の約数はpを法として3次剰余となる。^[28]

ガウスは、双二次相互性に関する2番目の論文で次のように述べています。

四乗剰余に関する定理は、算術の分野が虚数にまで拡張され、制限なく a + bi の形式の数が研究対象となった場合にのみ、最大の単純さと真の美しさを放ちます。このような数を整複素数と呼びます。^[29] [太字は原文のまま]

これらの数はガウス整数環と呼ばれ、 Z [ i ]で表されます。iは1の4乗根であることに注意してください。

脚注で彼はこう付け加えている。

3次剰余の理論も同様に、a + bhの形式の数の考察に基づいている必要があります。ここでhは、 h ³ = 1の式の虚根です...同様に、高次の剰余の理論は、他の虚数の量の導入につながります。^[30]

アイゼンシュタインは、三次相互性に関する最初のモノグラフ^[31]で、 1の3乗根から構成される数の理論を展開しました。これらは現在アイゼンシュタイン整数環と呼ばれています。アイゼンシュタインは、この環の性質を調べるには、ガウスのZ [ i ]に関する研究を参考にして証明を修正するだけでよいと述べました。どちらの環も一意の因数分解領域であるため、これは驚くべきことではありません。

「高次の冪の留数の理論」に必要な「その他の虚数量」は円分数体の整数環であり、ガウス整数とアイゼンシュタイン整数はこれらの最も単純な例です。

させて

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi i}{3}},\qquad \omega ^{3}=1.}$

アイゼンシュタイン整数の環を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\left\{a+b\omega \ :\ a,b\in \mathbb {Z} \right\}.}$

これは、ノルム関数が次のように与えられるユークリッド領域です。

${\displaystyle N(a+b\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

ノルムは常に 0 または 1 (mod 3) と一致することに注意してください。

の単位群（乗法逆元または同等に単位ノルムを持つ元）は、1の6乗根の巡回群である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$は一意の因数分解領域である。素数は3つのクラスに分類される: ^[32]

• 3は特別なケースです:

${\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}.}$

これは、 の素数の平方で割り切れるにおける唯一の素数です。素数 3 はで分岐すると言われています。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

• 2 (mod 3) と合同なにおける正の素数はにおいても素数です。これらの素数はにおいて不活性であると言われます。が任意の不活性素数である場合、次のことに注意してください。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.}$

• 1 (mod 3) と合同なにおける正の素数はにおける 2 つの共役素数の積です。これらの素数はにおいて分解されると言われています。それらの因数分解は次のように表されます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.}$

例えば

${\displaystyle 7=(3+\omega )(2-\omega ).}$

ある数が3 と互いに素であり、通常の整数を法として合同である場合、その数は基本数です。これは、その数が3 を法として合同であるということと同じです。またはのいずれかが基本数である場合。さらに、2 つの基本数の積は基本数であり、基本数の共役数も基本数です。 ${\displaystyle (1-\omega )^{2},}$${\displaystyle \pm 2}$${\displaystyle \gcd(N(\lambda ),3)=1}$${\displaystyle \lambda ,\omega \lambda ,}$${\displaystyle \omega ^{2}\lambda }$

の唯一の因数分解定理は次の 通りである。${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \lambda \neq 0,}$

${\displaystyle \lambda =\pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \geqslant 0}$

ここで、それぞれは（アイゼンシュタインの定義による）主要な素数です。そして、この表現は因数の順序まで一意です。 ${\displaystyle \pi _{i}}$

合同^[33]と最大公約数^[34]の概念は、通常の整数の場合と同じように で定義されます。単位はすべての数を割り切るので、 を法とする合同はの任意の関連を法としても真であり、 GCD の任意の関連も GCD です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

フェルマーの小定理の類似はにおいて成り立つ：が素数 で割り切れない場合、^[35]${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }}.}$

ここで、次のように仮定します。あるいは、別の言い方をすると、次のように書くことができます。 ${\displaystyle N(\pi )\neq 3}$${\displaystyle N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.}$${\displaystyle 3\mid N(\pi )-1.}$

${\displaystyle \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}\equiv \omega ^{k}{\bmod {\pi }},}$

唯一の単位であるこの単位は法の3次剰余指標と呼ばれ、 ^[36]で示される。${\displaystyle \omega ^{k}.}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N(\pi )-1}{3}}{\bmod {\pi }}.}$

立方剰余記号はルジャンドル記号に似た形式的性質を持つ。

• もしそうなら${\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\pi }}}$${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}$
• ${\displaystyle {\overline {\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}}=\left({\tfrac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}\right)_{3},}$ここでバーは複素活用を表します。
• とが関連している場合${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\theta }}\right)_{3}}$
• 合同式は、次の場合にのみ解を持つ^[37]${\displaystyle x^{3}\equiv \alpha {\bmod {\pi }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1.}$
• もし、が であるならば^{[38] [39]}${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,3)=1,}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)_{3}=1.}$
• ルジャンドル記号がヤコビ記号に一般化されるのと同じように、立方特性は「分母」の合成数（3 と互いに素）に乗法的に拡張できます。ヤコビ記号と同様に、この拡張は「分子は分母を法とする立​​方剰余である」という意味を犠牲にします。つまり、「分子」が立方剰余である場合、記号は 1 になることが保証されますが、その逆は成立しなくなります。

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right)_{3}^{\alpha _{1}}\left({\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right)_{3}^{\alpha _{2}}\cdots ,}$

どこ

${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots }$

αとβを一次関数とする。すると

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

単位と素数1−ωに関する 補足定理^{[40] [41]}がある。

α = a + b ω を基本数とし、a = 3 m + 1、b = 3 nとする。( a ≡ 2 (mod 3) の場合は、α を対応する −α に置き換えます。これにより、3 次係数の値は変わりません。)

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}$

• 二次相互性
• 四次相互性
• オクトスの相互関係
• エイゼンシュタインの相互主義
• アルティンの相互関係

オイラー、ヤコビ、アイゼンシュタインの原著論文への参照は、レマーマイヤーとコックスの参考文献からコピーしたものであり、本論文の作成には使用されていません。

• オイラー、レオンハルト (1849)、Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt、コメント。算数。 2

これは実際には1748年から1750年に書かれたものですが、死後に出版されました。第5巻、182～283ページに掲載されています。

• オイラー、レオンハルト（1911–1944）、オペラ・オムニア、シリーズ・プリマ、第I巻～第V巻、ライプツィヒ＆ベルリン：トイプナー

ガウスが出版した双二次相互性に関する 2 つのモノグラフには、連続番号が付けられたセクションがあります。最初のモノグラフには §§ 1 ～ 23 が含まれ、2 番目のモノグラフには §§ 24 ～ 76 が含まれます。これらを参照する脚注の形式は、「Gauss, BQ, § n」です。Disquisitiones Arithmeticaeを参照する脚注の形式は、「Gauss, DA, Art. n」 です。

• ガウス、カール・フリードリッヒ (1828)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio prima、ゲッティンゲン: コメント。社会科学領域、ゲッティンゲン 6

• ガウス、カール・フリードリッヒ (1832)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio secunda、ゲッティンゲン: コメント。社会地理領域、ゲッティンゲン 7

これらはガウスの作品集第2巻65～92ページと93～148ページ に掲載されている。

ガウスの二次相互法則の5番目と6番目の証明は

• ガウス、カール・フリードリッヒ (1818)、残余二次理論の理論的原理と新発見

これはガウスの作品集第2巻47～64ページ に掲載されている。

上記 3 つのドイツ語訳は次のとおりです。これには、Disquisitiones Arithmeticaeと Gauss の整数論に関するその他の論文も含まれています。

• ガウス、カール・フリードリヒ（1965年）『高等算術の研究（Disquisitiones Arithmeticaeとその他の数論論文）』（第2版）、 Maser, H.訳、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 0-8284-0191-8

• アイゼンシュタイン、フェルディナンド・ゴットホルト (1844)、Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen、J. Reine Angew。数学。 27、289–310ページ (クレルの日記)

• アイゼンシュタイン、フェルディナンド・ゴットホルト (1844)、Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen、Criterien des cubischen Character der Zahl 3 および ihrer Tailer、J. Reine Angew。数学。 28、28–35 ページ (クレルの日記)

• アイゼンシュタイン、フェルディナンド・ゴットホルト (1845)、超越数学の応用、J. Reine Angew。数学。 29 pp. 177–184 (クレルの日記)

これらの論文はすべて彼の作品集第 1 巻に収録されています。

• Jacobi、Carl Gustave Jacob (1827)、De residuis cubicis commentatio numerosa、J. Reine Angew。数学。 2 pp. 66–69 (クレルの日記)

これは彼の作品集第 6 巻に収録されています。

• コックス、デビッド A. (1989)、 x ² + ny ²の形の素数、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-50654-0

• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）、現代数論への古典的入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97329-X

• Lemmermeyer、Franz (2000)、相反性の法則: オイラーからエイゼンシュタインまで、ベルリン: Springer、ISBN 3-540-66957-4

• Weisstein、Eric W.「三次相互定理」。MathWorld。