正方形のタイル

幾何学において、正方形のタイル張り、正方形のモザイク張り、または正方形のグリッドは、ユークリッド平面の規則的なタイル張りです。これは、すべての頂点の周りに 4 つの正方形があることを意味する、シュレーフリ記号 ${4,4}$ を持ちます。コンウェイはこれをカドリールと呼びました。

正方形の内角は 90 度なので、4つの正方形を 1 点に配置すると 360 度になります。これは、平面の 3 つの規則的なタイリングのうちの 1 つです。他の 2 つは、三角形のタイリングと六角形のタイリングです。

均一なカラーリング

正方形のタイルには、9 つの異なる均一な色付けがあります。頂点の周りの 4 つの正方形のインデックスで色に名前を付けると、1111、1112(i)、1112(ii)、1122、1123(i)、1123(ii)、1212、1213、1234 となります。(i) の場合は単純な反射対称性があり、(ii) はすべり反射対称性があります。同じ対称領域で、縮小された色付けとして 3 つが見られます。1213 からの 1112 _i、1234 からの 1123 _i、 1123 _iiからの縮小された1112 _iiです。

正方形のタイルを使ったウィトフ構造

均一な多面体と同様に、通常の正方形のタイリングを基にして作成できる均一なタイリングが 8 つあります。

元の面には赤、元の頂点には黄色、元のエッジには青でタイルを描くと、8 つのフォームはすべて異なります。ただし、面を同一に扱うと、位相的に異なるフォームは、正方形のタイル、切り詰められた正方形のタイル、スナブ正方形のタイルの 3 つだけになります。

位相的に同等なタイリング

正方形タイリング（各頂点の周りに 4 つの四角形）と位相的に同等な他の四角形タイリングも作成できます。

等面体タイリングは面が同一（面推移性）かつ頂点推移性を有し、 18 種類のバリエーションがあり、そのうち 6 つは辺同士が接続されていない三角形、または 2 つの辺が同一線上にある四辺形として識別されます。対称性は、すべての面が同じ色であることを前提としています。^[1]

サークルパッキング

正方形のタイリングは、各点の中心に等しい直径の円を配置する円充填として使用することもできます。すべての円は、充填内の他の4つの円と接触しています（キス数）。^[2]充填密度はπ/4 = 78.54％の被覆率です。円充填には4つの均一な色があります。

参照

参考文献

^ タイルとパターン、107 個の等面体タイルの一覧より、p.473-481
^ 空間の秩序: デザインソースブック、キース・クリッチロー、p.74-75、円パターン3
^ Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111-112、p. 136。

Coxeter, HSM Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8、p. 296、表 II: Regular honeycombs
Klitzing、Richard。「2D ユークリッドタイル o4o4x - squat - O1」。
ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。p36
グリュンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。ニューヨーク：WHフリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的なタイリングと均一なタイリング、p.58-65）
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 [1]

外部リンク

Weisstein、Eric W.「Square Grid」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「Regular tessellation」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「均一テッセレーション」。MathWorld。

[1] タイルとパターン、107 個の等面体タイルの一覧より、p.473-481

[Critchlow-2] 空間の秩序: デザインソースブック、キース・クリッチロー、p.74-75、円パターン3

[3] Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 111-112、p. 136。