ヘルムホルツ分解

物理学と数学において、ヘルムホルツ分解定理あるいはベクトル解析の基本定理^{[1] [2] [3] [4] [5 ] [6] [7]}は、ある種の微分可能ベクトル場は、回転しない（回転しない）ベクトル場とソレノイド（発散しない）ベクトル場の和に分解できることを述べています。物理学では、3次元における十分に滑らかで急速に減衰するベクトル場の分解のみが議論されることが多いです。ヘルマン・フォン・ヘルムホルツにちなんで名付けられました。

領域 上で定義されたベクトル場 に対して、ヘルムホルツ分解は次のような ベクトル場とのペアです。 ここで、はスカラーポテンシャル、はその勾配、 はベクトル場 の発散です。非回転ベクトル場は勾配場と呼ばれ、はソレノイド場または回転場と呼ばれます。この分解はすべてのベクトル場に対して存在するわけではなく、一意でもありません。^[8]${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \nabla \Phi }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

3次元におけるヘルムホルツ分解は、1849年にジョージ・ガブリエル・ストークスが回折理論のために初めて記述した^[9]。ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは1858年にいくつかの流体力学の基本方程式に関する論文を発表した^{[10] [11]} 。これは渦線付近の流体の運動を記述するヘルムホルツの定理に関する研究の一部であった。 ^[11]それらの導出には、ベクトル場が無限遠で十分に速く減衰することが必要であった。後にこの条件は緩和され、ヘルムホルツ分解はより高次元に拡張された。^{[8] [12] [13]}リーマン多様体については、微分幾何学とテンソル計算を用いたヘルムホルツ-ホッジ分解が導出された。^{[8] [11] [14] [15]}

分解は理論物理学の多くの問題に対する重要なツールとなっているが^{[11] [14] 、}アニメーション、コンピュータービジョン、ロボット工学にも応用されている^[15]。

多くの物理学の教科書では、ヘルムホルツ分解を3次元空間に限定し、その適用範囲を無限遠で十分速く減衰するベクトル場、または境界領域で定義されるバンプ関数に限定しています。すると、ベクトル場の回転を利用して、回転場が で与えられるようなベクトルポテンシャルを定義できます。 ^[16] ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} }$

を境界領域上のベクトル場とし、内部で2回連続微分可能とし、を領域を囲む曲面とします。すると、を回転のない成分と発散のない成分に分解することができます。^[17]${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$$

および はに関するナブラ演算子であり、に関するナブラ演算子ではありません。 ${\displaystyle \nabla '}$${\displaystyle \mathbf {r'} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

およびが従って無限大であり、よりも速く消滅するならば、^[18]${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle r\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$$ これは特に、が で 2 回連続微分可能であり、かつ有界サポートである場合に当てはまります。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

が のヘルムホルツ分解である場合、 は 別の分解であり、その場合のみ、 ${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$そして${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

どこ

• ${\displaystyle \lambda }$は調和スカラー場であり、
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$はベクトル場であり、${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$スカラー場です。

証明: ととする。ヘルムホルツ分解の定義によれば、この条件は ${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$。

この方程式の各要素の発散をとると となり 、したがって は調和的です。 ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$${\displaystyle \lambda }$

逆に、任意の調和関数が与えられた場合、 はソレノイド関数となる。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \nabla \lambda }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

したがって、上記のセクションによれば、となる ベクトル場が存在します。 ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$

が別のそのようなベクトル場である場合、 が満たされ、したがって 何らかのスカラー場 に対して が満たされます。 ${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$${\displaystyle C=\nabla \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

「ヘルムホルツの定理」という用語は、次のことも指します。C をソレノイドベクトル場、d を R 3 上のスカラー場とします。これらは十分に滑らか^で、無限遠で1/ r ²より速く消えます。すると、ベクトル場F が存在し、

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$$

さらにベクトル場Fがr →∞で消滅するならば、Fは一意である。^[18]

言い換えれば、ベクトル場は、指定された発散と指定された回転の両方で構成することができ、それが無限遠で消える場合、その発散と回転によって一意に指定されます。この定理は静電気学において非常に重要です。なぜなら、静的な場合の電場と磁場のマクスウェル方程式はまさにこのタイプだからです。^[18]証明は、上記のものを一般化した構成によって行われます。

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla ({\mathcal {G}}(d))-\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

ここで はニュートンポテンシャル演算子を表します。( ∇ × Fなどのベクトル場に対して作用する場合、各成分に対して作用すると定義されます。) ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

ヘルムホルツ分解は、正則性の仮定（強い微分の存在の必要性）を減らすことで一般化できる。Ωが有界で単連結なリプシッツ領域であるとする。すべての平方積分可能なベクトル場u ∈ ( L ² (Ω)) ^{3 は}直交分解を持つ: ^{[19] [20] [21]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

ここで、φ は、超関数の意味で定義された偏微分が二乗積分可能なΩ上の二乗積分可能関数のソボレフ空間 H ¹ (Ω)にあり、A ∈ H (curl, Ω)は、二乗積分可能な回転を持つ二乗積分可能ベクトル場からなるベクトル場のソボレフ空間です。

少し滑らかなベクトル場u ∈ H (curl, Ω)の場合、同様の分解が成り立ちます。

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

ここでφ ∈ H ¹ (Ω)、v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^{d です}。

ここで述べた定理では、が有界領域上で定義されていない場合、 はよりも速く減衰するという条件を課していることに注意する。したがって、と表記されるのフーリエ変換が存在することが保証される。慣例を適用する。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

スカラー場のフーリエ変換はスカラー場であり、ベクトル場のフーリエ変換は同じ次元のベクトル場です。

ここで、次のスカラー場とベクトル場を考えてみましょう。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

したがって

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

物理学でよく使われる用語では、ベクトル場の回転のない成分を縦方向成分、発散のない成分を横方向成分と呼びます。^[22]この用語は、次の構成から来ています。ベクトル場の3次元フーリエ変換を計算します。次に、各点 kでこのフィールドを2つの成分に分解します。1つは縦方向、つまりkに平行を指し、もう1つは横方向、つまりkに垂直を指します。これまでのところ、 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

ここで、これらの各成分に逆フーリエ変換を適用します。フーリエ変換の特性を使用して、次の式を導出します。

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

および以来、 ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

私たちは得ることができます

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

つまりこれはまさにヘルムホルツ分解である。^[23]

回転演算子と外積は3 次元でのみ (ベクトルとして) 定義されている ため、ベクトル ポテンシャルでは次元への一般化を行うことはできません。${\displaystyle d}$

およびに対してよりも速く減衰する有界領域上のベクトル場を とします。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$${\displaystyle \delta >2}$

スカラーポテンシャルは、3次元の場合と同様に次のように定義されます。 ここで、積分カーネルはラプラス方程式の基本解ですが、d次元空間では 次のようになります。d次元単位球の体積とガンマ関数 を使用します。 $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$$${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$

の場合、は に等しく、上記と同じ前因子を生成します。回転ポテンシャルは、次の要素を持つ 反対称行列です。 対角線の上には、対角線で再び鏡映された要素がありますが、負の符号を持ちます。3 次元の場合、行列要素はベクトル ポテンシャル の成分にちょうど対応します。ただし、このような行列ポテンシャルは、に対してのみ有効であるため、3 次元の場合のみベクトルとして記述できます。 ${\displaystyle d=3}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$$${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$${\displaystyle d=3}$

3次元の場合と同様に、勾配場は 次のように定義されます 。一方、回転場は一般的な場合には行列の行発散として定義されます。3 次元空間では、これはベクトルポテンシャルの回転と同等です。^{[8] [24]}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$$${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$

次元ベクトル空間で は、によって定義される ラプラシアン の適切なグリーン関数で置き換えることができます。 ここで、インデックス にはアインシュタインの総和規則が使用されます。たとえば、2D では次のようになります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d\neq 3}$${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$${\displaystyle \mu }$${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

上記と同じ手順で、 と書くことができます 。 ここではクロネッカーのデルタです（ここでも和の規則が使われます）。上記で使用したベクトルラプラシアンの定義の代わりに、今度はレヴィ・チヴィタ記号の 恒等式を使用します。これは次元 で有効で、 は- 成分の多重指数です。これは次のようになります。 $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (d-2)}$$${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

したがって、次のように 書くことができます 。 ベクトルポテンシャルは次元の階数テンソルに置き換えられることに注意してください。 $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$${\displaystyle (d-2)}$${\displaystyle d}$

は のみの関数なので、 を置き換えて を与える ことができます。次に、部分積分を使用して を与えることができます 。 はの境界です。これらの式は、上記の 3 次元空間に対する式と類似しています。 ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$${\displaystyle S=\partial V}$${\displaystyle V}$

多様体へのさらなる一般化については、以下のホッジ分解の説明を参照してください。

ホッジ分解はヘルムホルツ分解と密接な関係があり、^[25] R ³上のベクトル場からリーマン多様体M上の微分形式へと一般化されます。ホッジ分解のほとんどの定式化では、 M がコンパクトである必要があります。^{[26]これは}R ³には当てはまらないため、ホッジ分解定理は厳密にはヘルムホルツ定理の一般化ではありません。ただし、ホッジ分解の通常の定式化におけるコンパクト性制限は、関係する微分形式上の無限遠での適切な減衰仮定に置き換えることができ、ヘルムホルツ定理の適切な一般化が得られます。

ほとんどの教科書では、無限遠でよりも速く減衰するベクトル場のみを扱っています。^{[16] [13] [27]}しかし、オットー・ブルーメンタールは1905年に、 よりも速く減衰する場を積分するために、適応積分カーネルを使用できることを示しました。これは、かなり厳密ではありません。これを実現するには、畳み込み積分のカーネルを に置き換える必要があります。^[28] さらに複雑な積分カーネルを使用すると、多項式よりも速く増加する必要のない発散関数に対しても解を見つけることができます。^{[12] [13] [24] [29]}${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$${\displaystyle \delta >1}$${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$${\displaystyle K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')}$

無限大でもゼロになる必要のないすべての解析ベクトル場については、部分積分と繰り返し積分のコーシーの公式^{[30]に基づく方法を使用して、}多変数多項式、正弦関数、余弦関数、指数関数の場合のように、回転ポテンシャルとスカラーポテンシャルの閉じた形の解を計算することができます。^[8]

一般に、ヘルムホルツ分解は一意に定義されません。調和関数は 、 を満たす関数です。スカラーポテンシャル を加えると、異なるヘルムホルツ分解が得られます。 ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Delta H(\mathbf {r} )=0}$${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

ベクトル場 が無限大で減衰する場合、スカラーポテンシャルと回転ポテンシャルも無限大で減衰すると考えるのが妥当である。はリウヴィルの定理から導かれるこの性質を持つ唯一の調和関数であるため、勾配場と回転場の一意性が保証される。^[31]${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle H(\mathbf {r} )=0}$

この一意性はポテンシャルには当てはまりません。3次元の場合、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルは合わせて4つの成分を持ちますが、ベクトル場は3つしかありません。ベクトル場はゲージ変換に対して不変であり、ゲージ固定として知られる適切なポテンシャルの選択はゲージ理論の主題です。物理学からの重要な例としては、ローレンツゲージ条件とクーロンゲージがあります。別の方法としては、ポロイダル-トロイダル分解を使用することです。

ヘルムホルツの定理は、マクスウェル方程式をポテンシャル像で表し、より簡単に解くことができるため、電気力学において特に興味深い定理である。ヘルムホルツ分解は、電流密度と電荷密度が与えられれば、電場と磁束密度を決定できることを証明するために使用できる。密度が無限大でゼロになり、ポテンシャルについても同じことが仮定される場合、それらは一意である。^[16]

流体力学において、ヘルムホルツ射影は、特にナビエ・ストークス方程式の可解理論において重要な役割を果たしている。ヘルムホルツ射影を線形化された非圧縮ナビエ・ストークス方程式に適用すると、ストークス方程式が得られる。これは流れの中の粒子の速度のみに依存し、静圧には依存しないため、方程式を1つの未知数に簡約することができる。しかし、ストークス方程式と線形化方程式の両方の方程式は同等である。この演算子はストークス演算子と呼ばれる。^[32]${\displaystyle P\Delta }$

力学系の理論では、ヘルムホルツ分解は「準ポテンシャル」を決定するために使用できるほか、場合によってはリアプノフ関数を計算するためにも使用できます。 ^{[33] [34] [35]}

大気対流の簡略化されたモデルであるローレンツシステム（エドワード・N・ローレンツ、1963 ^[36] ）などのいくつかの力学系では、ヘルムホルツ分解の閉じた形式の表現が得られます。 のヘルムホルツ分解は、スカラーポテンシャルとともに次のように与えられます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

2次スカラーポテンシャルは座標原点の方向への運動をもたらし、あるパラメータ範囲では安定した固定点となる。他のパラメータでは、回転場によってストレンジアトラクターが生成され、モデルがバタフライ効果を示すようになる。^{[8] [37]}

磁気共鳴エラストグラフィー（MRイメージングの一種で、機械波を使用して臓器の粘弾性を調べる）では、ヘルムホルツ分解を使用して、測定された変位場をせん断成分（発散なし）と圧縮成分（カールなし）に分離することがあります。 ^[38]この方法では、圧縮波の寄与なしに複素せん断弾性率を計算することができます。

ヘルムホルツ分解はコンピュータ工学の分野でも利用されている。ロボット工学や画像再構成だけでなく、コンピュータアニメーションでも流体やベクトル場のリアルな視覚化に利用されている。^{[15] [39]}

• ベクトル場の関連分解に対するクレプシュ表現
• アプリケーションのためのダーウィンラグランジアン
• 発散のない成分をさらに分解するためのポロイダル-トロイダル分解。${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• スカラー・ベクトル・テンソル分解
• ヘルムホルツ分解を一般化したホッジ理論
• 極因数分解定理
• ヘルムホルツ・ルレイ分解はルレイ投影の定義に用いられる