宇宙船の飛行力学

宇宙船の飛行力学は、機械力学を応用して、宇宙船や宇宙船に作用する外力がその飛行経路をどのように決定するかをモデル化したものです。これらの力には、主に 3 つの種類があります。宇宙船のエンジンによってもたらされる推進力、地球や​​他の天体によって及ぼされる重力、そして空気力学的揚力と抗力(地球や火星、金星などの他の天体の大気圏を飛行する場合) です。

飛行力学の原理は、地球からの打ち上げ時の車両の動力飛行、宇宙船の軌道飛行、軌道変更の操縦、月周回飛行および惑星間飛行、大気圏の有無にかかわらず天体からの打ち上げと着陸、地球または他の天体の大気圏への突入、および姿勢制御をモデル化するために使用されています。これらは通常、車両の慣性航法システムにプログラムされており、 NASAでは飛行力学責任者、欧州宇宙機関では宇宙船ナビゲーターと 呼ばれる飛行管制チームのメンバーによって地上で監視されています。

飛行力学は、推進、航空力学、天体力学（軌道力学と天体力学）の分野に依存します。単純な姿勢制御に還元することはできません。実際の宇宙船には、飛行機や船のようなハンドルや舵輪はありません。架空の宇宙船の描写とは異なり、宇宙船は実際には宇宙空間で旋回することはありません。宇宙空間では、その飛行経路は、宇宙船に作用する重力と適用される推進操作に厳密に依存します。

宇宙船の飛行は、ニュートンの運動の第 2 法則を適用して決定されます。ここで、 F は宇宙船に作用するすべての力のベクトルの合計、 m は現在の質量、 aは加速度ベクトル、つまり瞬間的な速度の変化率 ( v ) であり、これは瞬間的な変位の変化率です。aについて解くと、加速度は力の合計を質量で割った値に等しくなります。加速度を時間で積分すると速度が得られ、速度を積分すると位置が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$

飛行力学の計算は機体に搭載されたコンピュータ化された誘導システムによって行われ、飛行力学の状態は動力操縦中に地上でNASAの有人宇宙飛行センターでは飛行力学担当官、欧州宇宙機関では宇宙船ナビゲーターとして知られる飛行管制チームのメンバーによって監視される。^[1]

動力付き大気圏飛行の場合、機体に作用する主な力は推進力、空気力、重力の3つです。遠心力、コリオリの力、太陽放射圧などの他の外力は、動力付き飛行時間が比較的短く、宇宙船のサイズが小さいため、一般的には重要ではなく、簡略化された性能計算では無視できます。^[2]

大気圏内で作動する一般的な場合のロケットエンジンの推力は次のように近似される: ^[3]

$${\displaystyle F={\dot {m}}\;v_{e}={\dot {m}}\;v_{\text{e-opt}}+A_{e}(p_{e}-p_ {\text{amb}})}$$ どこ、

• ${\displaystyle {\dot {m}}}$排気ガスの質量流量は
• ${\displaystyle v_{e}}$有効排気速度（出版物ではcと表記されることもある）
• ${\displaystyle v_{\text{e-opt}}}$p _amb = p _eのときの有効ジェット速度である。
• ${\displaystyle A_{e}}$ノズル出口面（または分離流の場合はジェットがノズルから出る面）における流れ面積です。
• ${\displaystyle p_{e}}$ノズル出口面の静圧
• ${\displaystyle p_{\text{amb}}}$周囲（または大気圧）の圧力です

ロケット推進剤の有効排気速度は真空比推力に比例し、大気圧の影響を受ける：^[4] $${\displaystyle v_{e}=g_{0}\left(I_{\text{sp-vac}}-{\frac {A_{e}\,p_{\text{amb}}}{\dot {m}}}\right)}$$

どこ：

• ${\displaystyle I_{\text{sp-vac}}}$単位は秒です
• ${\displaystyle g_{0}}$地球表面における重力加速度である

比推力は、デルタv容量と消費される推進剤の量をツィオルコフスキーロケット方程式に従って関連付けます。^[5] ここで、 $${\displaystyle \Delta v\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$$

• ${\displaystyle m_{0}}$推進剤を含む初期の総質量（kg（またはlb））
• ${\displaystyle m_{1}}$最終的な総質量はkg（またはlb）で表されます。
• ${\displaystyle v_{e}}$有効排気速度（m/s（またはft/s））
• ${\displaystyle \Delta v}$デルタvはm/s（またはft/s）で表されます。

地球、火星、金星など大気の大きな天体付近に存在する空気力は、次のように解析されます。揚力は飛行方向に対して垂直な力成分（飛行機のように重力と釣り合うために必ずしも上向きである必要はありません）として定義されます。抗力は飛行方向と平行で反対方向の成分です。揚力と抗力は、基準領域に作用する動圧と係数の積としてモデル化されます。 ^[6] $${\displaystyle \mathbf {L} =C_{L}qA_{\text{ref}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {D} =C_{D}qA_{\text{ref}}}$$

どこ：

• C _{L は}、機体の軸と飛行方向との間の迎え角α （限界値まで）とほぼ線形であり、軸対称体の場合はα = 0 で 0 になります。
• C _{D は}α ²に応じて変化します。
• C _LとC _{D は}レイノルズ数とマッハ数によって変化します。
• 動圧qは1/ 2ρv ²に等しく、ρは大気の密度であり、国際標準大気における高度の関数として地球に対してモデル化される（仮定の温度分布、静水圧の変化、および理想気体の法則を使用）。
• ref_は、最大直径における断面積など、車両の特性領域です。

天体が宇宙船に及ぼす重力は、天体と宇宙船を質点としてモデル化されます。天体 (地球、月など) は球として簡略化され、宇宙船の質量は天体の質量よりもはるかに小さいため、重力加速度への影響は無視できます。したがって、重力は次のように計算されます。

$${\displaystyle \mathbf {W} =m\cdot g}$$

どこ：

• ${\displaystyle W}$重力（重さ）です。
• ${\displaystyle m}$宇宙船の質量であり、
• ${\displaystyle r}$宇宙船から惑星の中心までの半径距離であり、
• ${\displaystyle r_{0}}$惑星の表面から中心までの半径距離であり、
• ${\displaystyle g_{0}}$惑星の表面における重力加速度である
• gは高度における重力加速度であり、惑星の中心からの半径距離の2乗に反比例して変化する。^[7] $${\displaystyle g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}}$$

打ち上げ時の機体の動力飛行を記述するために使用される運動方程式は、飛行計算では6自由度と複雑になる場合もあれば、予備的な性能推定では2自由度と単純になる場合もあります。飛行計算では、地球の扁平率や質量分布の不均一性、月、太陽、その他の惑星を含むすべての近傍天体の重力などの摂動要因が考慮されます。予備的な推定では、球形で均一な惑星、機体は質点として表せる、飛行経路の解は2体問題となる、局所的な飛行経路は単一平面上にある、などの単純化された仮定を立てることができます。精度の低下は比較的小さいです。^[7]

地球からの打ち上げの一般的なケースでは、エンジンの推力、空気力、重力を考慮する必要があります。加速度方程式は、発射台に対する接線方向 (速度) と角度方向 (局所的な垂直方向に対する飛行経路の角度) の時間変化率成分に分解することで、ベクトル形式からスカラー形式に簡略化できます。したがって、2 つの方程式は次のようになります。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha}{m}}-{\frac {D}{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta}}&={\frac {F\sin \alpha}{mv}}+{\frac {L}{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

どこ：

• F はエンジン推力です。
• αは迎え角です。
• mは車両の質量です。
• D は車両の空気抵抗です。
• L は揚力である。
• rは惑星の中心までの半径距離であり、
• g は高度における重力加速度です。

推進剤が消費され、ロケットの段、エンジン、またはタンク（該当する場合）が取り外されると、質量は減少します。

飛行中の任意の時点での惑星固定の v と θ の値は、2 つの速度方程式を時間ゼロ ( vとθが両方とも 0 のとき) から数値積分することによって決定されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}}$$

有限要素解析を使用すると、飛行を小さな時間増分に分割して方程式を積分できます。

ほとんどの打ち上げロケットでは、比較的小さなレベルの揚力が生成され、主に角度速度方程式の第 3 項に応じて重力旋回が採用されます。角度と速度が両方ともゼロである打ち上げの瞬間、シータドット方程式は数学的に不確定であり、打ち上げ直後に速度がゼロでなくなるまで評価できません。ただし、この状態では、機体をピッチオーバーさせる唯一の力は、ゼロでない迎え角 (第 1 項) で作用するエンジン推力と、おそらくわずかな揚力 (第 2 項) であり、ピッチ角がゼロでなくなるまで続きます。重力旋回では、迎え角が増加すると (ジンバルエンジン推力によって) ピッチオーバーが開始され、その後、残りの飛行を通じて迎え角が徐々に減少します。^{[7] [8]}

速度と飛行経路角がわかれば、高度と距離は次のように計算される。^[7]${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}}$$

惑星に固定されたvとθの値は、次の変換によって宇宙に固定された（慣性）値に変換されます。^[7] ここで、ωは惑星の自転速度（ラジアン/秒）、_{φは発射地点の緯度、Az}は発射方位角です。 $${\displaystyle v_{s}={\sqrt {v^{2}+2\omega rv\cos \varphi \sin \theta \sin A_{z}+(\omega r\cos \theta )^{2} }},}$$$${\displaystyle \theta _{s}=\arccos \left({\frac {v\cos \theta }{v_{s}}}\right)}$$

最終的なv _s、θ _{s 、}およびr は、軌道力学によって決定される目標軌道の要件と一致する必要があります (上記の軌道飛行を参照)。ここで、最終的なv _sは通常、必要な近点 (または円) 速度であり、最終的なθ _{s は}90 度です。動力降下解析では、逆の境界条件を使用して同じ手順を使用します。

軌道力学は、中心天体の周りの軌道上の飛行を計算するために使用されます。十分に高い軌道（地球の場合、一般的に少なくとも 190 キロメートル（100 海里））の場合、比較的短期間のミッションでは空気力は無視できると想定できます（ただし、長期間にわたって軌道エネルギーの減衰につながるわずかな抗力が存在する場合があります）。中心天体の質量が宇宙船よりもはるかに大きく、他の天体が十分に離れている場合、軌道の解は 2 体問題として扱うことができます。^[9]

これにより、軌道は理想的には円錐曲線（円、楕円、放物線、双曲線）^[10]となり、中心物体は1つの焦点に位置することが示される。軌道軌道は円または楕円のいずれかであり、放物線軌道は中心物体の重力場からの乗り物の最初の脱出を表す。双曲線軌道は超過速度での脱出軌道であり、以下の惑星間飛行で説明される。

楕円軌道は3つの要素によって特徴付けられる。^[9]長半径aは遠点と近点の半径の平均である。 $${\displaystyle a={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}}$$

楕円の離心率 e は、後円がわかれば次のように計算できます。 $${\displaystyle e={\frac {r_{a}}{a}}-1}$$

完全な軌道の周期は長半径のみに依存し、離心率とは無関係です。^[11] ここで、は中心天体の 標準的な重力パラメータです。$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$${\displaystyle \mu}$

宇宙における軌道の方向は、次の 3 つの角度によって指定されます。

• 軌道面と基本面（通常は惑星または衛星の赤道面、または太陽軌道の場合は地球が太陽の周りを回る軌道面、黄道面）の傾斜角 i。正の傾斜は北向き、負の傾斜は南向きです。
• 基準面（通常は春分点）から宇宙船がこの面を南から北に横切る線まで、南を向いて反時計回りに基本面で測定された昇交点Ωの経度。（傾斜がゼロの場合、この角度は定義されず、0と見なされます。）
• 近点引数 ωは、軌道面内で南を向いて反時計回りに、昇交点から近点まで測定されます。傾斜が 0 の場合、昇交点は存在しないため、ω は基準方向から測定されます。円軌道の場合、近点は存在しないため、ω は0 とみなされます。

軌道面は理想的には一定ですが、通常は惑星の扁平率や他の天体の存在によって生じる小さな摂動の影響を受けます。

宇宙船の軌道上の位置は、真 近点から測った角度、または円軌道の場合は昇交点または基準方向から測った角度である真近点角によって指定される。半緯度直角、つまり近点から90度の半径は、次の式で表される。^[12]${\displaystyle \nu}$ $${\displaystyle p=a(1-e^{2})\,}$$

飛行中の任意の位置での半径は: そしてその位置での速度は: $${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \nu }}}$$$${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}$$

円軌道の場合、ra = r _p = aで_あり、離心率は 0 です。与えられた半径における円速度は次のようになります。 $${\displaystyle v_{c}={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$$

楕円軌道の場合、e は0 より大きく 1 より小さくなります。近点速度は次のように表され 、遠点速度は次のように表されます。 $${\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {\mu (1+e)}{a(1-e)}}}}$$$${\displaystyle v_{a}={\sqrt {\frac {\mu (1-e)}{a(1+e)}}}\,}$$

限界条件は、e = 1でra_が無限大になる放物線状の脱出軌道である。近点における脱出速度は、 $${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2\mu }{r_{p}}}}$$

任意の円錐軌道の特定の角運動量hは一定であり、近点における半径と速度の積に等しい。軌道上の他の点では、次の式に等しい: ^[13] ここで、φは局所水平線(  rに垂直)から測定した飛行経路角度である。これにより、半径と速度がわかれば、軌道上の任意の点における φを計算できる:$${\displaystyle h=rv\cos\varphi,}$$$${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {r_{p}v_{p}}{rv}}\right)}$$

円軌道の場合、飛行経路の角度は一定の 0 度 (ローカル垂直から 90 度) であることに注意してください。

上に示した角運動量方程式は、真近点角の変化率をr、v、φに関係づけていることが示されており、したがって、真近点角は積分によって近点通過後の時間の関数として求められる。^[14] $${\displaystyle \nu =r_{p}v_{p}\int _{t_{p}}^{t}{\frac {1}{r^{2}}}\,dt}$$

逆に、特定の異常に到達するのに必要な時間は次のとおりです。 $${\displaystyle t={\frac {1}{r_{p}v_{p}}}\int _{0}^{\nu }r^{2}\,d\nu }$$

軌道に乗ると、宇宙船はロケット エンジンを点火して、高度や軌道の種類を変えたり、軌道面を変えたりすることがあります。これらの操作には宇宙船の速度の変更が必要であり、与えられた delta-v に対する推進剤の必要量を計算するために古典的なロケット方程式が使用されます。delta - v予算は、ミッションに必要な推進剤をすべて合計するか、与えられた量の推進剤から得られる合計 delta-v を決定します。軌道上の操作のほとんどは、精度の低下を最小限に抑えながら、ほぼ瞬時の速度変更として、つまり 衝動的にモデル化できます。

楕円軌道は、目的の軌道の円速度と現在の軌道の近点または遠点速度の差に等しいデルタ v で単一のエンジン燃焼を適用することにより、近点または遠点で円軌道に最も簡単に変換できます。

近点で円軌道を描くには、逆行噴射を行います。 $${\displaystyle \Delta v\ =v_{c}-v_{p}}$$

遠点で円を描くようにするには、正行噴射を行います。 $${\displaystyle \Delta v\ =v_{c}-v_{a}}$$

ホーマントランスファー軌道は、宇宙船をある高度から別の高度に移動させるために使用できる最も単純な操作です。2 回の噴射が必要です。1 回目は宇宙船を楕円形のトランスファー軌道に送り、2 回目は目標軌道を円形にします。

円軌道を に上げるには、最初の等速噴射で速度を移行軌道の近点速度まで上げます。 遠点で行われる 2 回目の等速噴射では、速度を目標軌道の速度まで上げます。 ${\displaystyle v_{1}}$$${\displaystyle \Delta v_{1}\ =v_{p}-v_{1}}$$$${\displaystyle \Delta v_{2}\ =v_{2}-v_{a}}$$

軌道を下げる操作は軌道を上げる操作の鏡像であり、両方の燃焼は逆行的に行われます。

もう少し複雑な高度変更操作は、2つの半楕円軌道からなる双楕円軌道移行である。最初の正行噴射では、宇宙船を中心天体から離れた任意の高い遠点に送り込む。この時点で、2回目の噴射で近点を最終的な目標軌道の半径に一致するように修正し、3回目の逆行噴射で宇宙船を目標軌道に投入する。^[15]この方法は移行に長い時間がかかるが、初期軌道半径と目標軌道半径の比が12以上の場合、双楕円軌道移行ではホーマン移行よりも総燃料が少なくて済む。^{[16] [17]}${\displaystyle r_{b}}$

噴射 1 (正行)： 噴射 2 (正行または逆行)、近点を目標軌道の高度に合わせる： 噴射 3 (逆行)： $${\displaystyle \Delta v_{1}\ ={v_{p}}_{1}-v_{1}}$$$${\displaystyle \Delta v_{2}\ ={v_{a}}_{2}-{v_{a}}_{1}}$$$${\displaystyle \Delta v_{3}\ =v_{2}-{v_{p}}_{2}}$$

平面変更操作は、単独でも、他の軌道調整と組み合わせても実行できます。軌道の傾斜角の変更のみからなる純粋な回転平面変更操作の場合、初期軌道と最終軌道の特定の角運動量hは大きさは等しくなりますが、方向は等しくありません。したがって、特定の角運動量の変化は次のように表すことができます。 ここで、hは平面変更前の特定の角運動量、Δ i は傾斜角の望ましい変化です。このことから、必要なデルタvは次の式で表されることがわかります^[18]。 $${\displaystyle \Delta h=2h\sin \left({\frac {|\Delta i|}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \Delta v={\frac {2h\sin {\frac {|\Delta i|}{2}}}{r}}}$$

hの定義から、これは次のようにも書けます。 ここで、vは平面変更前の速度の大きさ、φ は飛行経路の角度です。小角近似を使用すると、次のようになります。 $${\displaystyle \Delta v=2v\cos \varphi \sin \left({\frac {\left|\Delta i\right|}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \Delta v=v\cos(\varphi )\left|\Delta i\right|}$$

複合操作の合計デルタv は、純粋な回転デルタvと他の計画された軌道変更の デルタvのベクトル加算によって計算できます。

月や惑星へのミッションに送られる宇宙船は、通常、出発軌道に直接投入されて打ち上げられるのではなく、まず低地球駐機軌道に投入されます。これにより、より大きな打ち上げウィンドウの柔軟性が得られ、宇宙船が飛行に適した状態にあるかどうかを確認するための時間が増えます。

月への飛行には脱出速度は必要ない。むしろ、宇宙船の遠地点は、月の重力圏(SOI) に入る地点を通過するのに十分な高さまで上昇する。これは、宇宙船の重力が中心天体の重力と等しくなる衛星からの距離として定義され、 D は衛星から中心天体までの平均距離、m _cとm _{s は}それぞれ中心天体と衛星の質量である。この値は、地球の月からおよそ 66,300 キロメートル (35,800 海里) である。^[19]$${\displaystyle r_{\text{SOI}}=D\left({\frac {m_{s}}{m_{c}}}\right)^{2/5},}$$

軌道を正確に解くには三体問題として扱う必要があるが、地球と月の周りの軌道のパッチ円錐近似を使用して予備的な推定を行うことができ、この軌道は SOI ポイントでパッチされ、月は地球の周りを回転する基準フレームであるという事実を考慮に入れている。

これは、月がロケットを捕獲できる位置にあるようにタイミングを合わせる必要があり、ホーマン転移として第一近似でモデル化できるかもしれない。しかし、ロケットの燃焼時間は通常十分に長く、飛行経路角が十分に変化している間に発生するため、これはあまり正確ではない。これは非衝動的な操縦としてモデル化されなければならず、速度と飛行経路角を得るために、推進力と重力による加速度を有限要素解析で積分する必要がある: ^[7] ここで: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}&={\frac {F\cos \alpha }{m}}-g\cos \theta \\{\dot {\theta }}&={\frac {F\sin \alpha }{mv}}+\left({\frac {g}{v}}-{\frac {v}{r}}\right)\sin \theta ,\\v&=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {v}}\,dt\\\theta &=\int _{t_{0}}^{t}{\dot {\theta }}\,dt\end{aligned}}}$$

• F はエンジン推力です。
• αは迎え角です。
• mは車両の質量です。
• rは惑星の中心までの半径距離であり、
• gは重力加速度であり、半径距離の2乗に反比例して変化する。^[7] $${\displaystyle g=g_{0}\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{2}}$$

高度、ダウンレンジ距離、地球の中心からの半径距離は次のように計算されます。^[7]${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{t_{0}}^{t}v\cos \theta \,dt\\r&=r_{0}+h\\s&=r_{0}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v}{r}}\sin \theta \,dt\end{aligned}}}$$

単純な月軌道は 1 つの平面上にとどまり、月の赤道に対する傾斜の狭い範囲内で月をフライバイまたは周回することになります。これにより「自由帰還」も可能になり、月周回軌道に投入されなければ、宇宙船は地球の大気圏への再突入に適した位置に戻ります。軌道誤差を修正するには、通常、比較的小さな速度変化が必要です。このような軌道は、アポロ 8 号、アポロ 10 号、アポロ 11 号、アポロ 12 号の有人月探査ミッションで使用されました。

飛行中に飛行機の乗り換え操作を行うことで、月軌道や着陸地点のカバー範囲の柔軟性を高めることができます (月の傾斜角が大きい場合)。ただし、新しい飛行機が宇宙船の緊急帰還軌道を地球の大気圏再突入点から遠ざけ、宇宙船を地球の高軌道に残すため、自由帰還の選択肢がなくなります。このタイプの軌道は、最後の 5 回のアポロ計画 (13 から 17) で使用されました。

アポロ計画では、月の裏側の高度約110キロメートル（59海里）で逆行月周回軌道投入噴射が行われた。これが初期軌道の近日点となり、遠日点は300キロメートル（160海里）程度となった。デルタvは約1,000メートル/秒（3,300フィート/秒）であった。2周回後、軌道は110キロメートル（59海里）で円形化された。^[20]各ミッションでは、飛行力学担当官が10通りの月周回軌道投入ソリューションを準備し、その中から最適（最小）な燃料燃焼でミッション要件を最も満たすものを選択できるようにした。これは宇宙船のコンピュータにアップロードされ、地球との無線連絡が取れない月の裏側にいる宇宙飛行士によって実行され、監視されなければならなかった。^[20]

ある惑星の重力場から完全に離れて別の惑星に到達するためには、出発惑星に対する双曲軌道が必要であり、出発惑星の太陽の周りの軌道速度に過剰速度が加算（または減算）される。上位惑星への望ましい太陽中心移行軌道は、出発惑星に近日点を持つため、宇宙船が太陽から離れているときに双曲過剰速度を正行方向に適用する必要があります。下位惑星の目的地の場合、遠日点は出発惑星にあり、宇宙船が太陽に向かっているときに逆行方向で過剰速度が適用されます。正確なミッション計算を行うには、惑星の軌道要素をNASAのジェット推進研究所が発行しているものなどのエフェメリス^[21]から取得する必要があります。

予備的なミッション分析と実現可能性調査の目的で、デルタvの計算を非常に小さな誤差で行うことができるように、いくつかの単純化された仮定が立てられる場合がある。^[24]

• 水星を除くすべての惑星の軌道は離心率が非常に小さいため、一定の軌道速度と太陽からの平均距離で円形であると想定できます。
• すべての惑星の軌道（水星を除く）はほぼ同一平面上にあり、黄道に対する傾斜角は非常に小さい（3.39 度以下、水星の傾斜角は 7.00 度）。
• 他の惑星の重力による摂動効果はごくわずかです。
• 宇宙船は、出発惑星と目的地惑星の影響圏内にある短い期間を除いて、飛行時間のほとんどを太陽の重力の影響下で過ごすことになります。

惑星間宇宙船は、比較的離れた距離にある惑星間の太陽中心軌道で長い時間を過ごすため、パッチ円錐近似は、月周回軌道よりも惑星間軌道の方がはるかに正確です。 ^[24]出発惑星に対する双曲軌道と太陽中心遷移軌道の間のパッチポイントは、上記の軌道飛行で定義されているように、太陽に対する惑星の影響圏半径で発生します。太陽の質量比が地球の333,432倍で、距離が149,500,000キロメートル（80,700,000海里）であることを考えると、地球の影響圏半径は924,000キロメートル（499,000海里）（約1,000,000キロメートル）です。^[25]

宇宙船を出発惑星の軌道から目的の惑星まで運ぶために必要な遷移軌道は、いくつかの選択肢の中から選択されます。

• ホーマン遷移軌道は、最小限の燃料とデルタvを必要とする。これは、両惑星の軌道に接する遠日点と近日点を持つ楕円軌道の半分であり、最長の往路飛行時間は楕円の周期の半分に等しい。これは、合クラスのミッションとして知られている。^{[26] [27]}「自由帰還」の選択肢はない。宇宙船が目的の惑星の周回軌道に入らずに遷移軌道を完了した場合、出発惑星は元の位置にはないからである。帰還に別のホーマン遷移を使用すると、目的の惑星でかなりの滞留時間が必要になり、往復ミッションの合計時間が非常に長くなる。^[28] SF作家アーサー・C・クラークは、1951年の著書『宇宙の探査』で、地球から火星への往復には往路に259日、復路にさらに259日かかり、火星での滞在は425日になると書いている。
• 出発時の遠方遠方速度（したがって長半径）を増加させると、反対側の遠方遠方に到達する前に目的の惑星の軌道を非接線方向に横切る軌道となり、デルタvは増加するが、出発時の通過時間は最大値を下回る。^[28]
• 重力アシスト操作は、 1956年に提案したガエターノ・クロッコにちなんで「スリングショット操作」またはクロッコミッションとも呼ばれ、目的地での滞在時間が大幅に短縮された対向クラスのミッションとなります。 ^{[29] [27]}これは、別の惑星を通り過ぎ、その重力を利用して軌道を変えることで実現されます。たとえば、火星への往復旅行は、地球に戻る際に金星を通り過ぎることで、合ミッションに必要な943日から1年未満に大幅に短縮できます。

必要とされる双曲的過剰速度v∞（特性速度と呼ばれることもある）_は、トランスファー軌道の離脱速度と出発惑星の太陽中心軌道速度の差である。これが決定されると、近点における出発惑星に対する投入速度は次のようになる。^[30] $${\displaystyle v_{p}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{p}}}+v_{\infty }^{2}}}\,}$$

双曲線の過剰速度ベクトルは近点接線から特徴的な角度だけずれているため、近点噴射燃焼は惑星の出発点を同じ角度だけ先行させる必要がある。^[31] $${\displaystyle \delta =\arcsin {\frac {1}{e}}}$$

楕円の離心率の幾何学的方程式は双曲線には適用できない。しかし、離心率は力学式から次のように計算できる：^[32] ここで、hは軌道飛行の項で示したように近点で計算された特定の角運動量である：^[31] ε は特定のエネルギーである：^[31]$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2\varepsilon h^{2}}{\mu ^{2}}}}},}$$ $${\displaystyle h=r_{p}v_{p},}$$ $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}\,}$$

また、軌道飛行で与えられた r と v の方程式は半長軸に依存するため、脱出軌道には使用できません。しかし、近点半径を r 方程式と等しく設定すると、半長軸直角の別の表現が得られます。 これは、任意の離心率で使用できる、半径と短軸のより一般的な方程式になります。 $${\displaystyle p=r_{p}(1+e),\,}$$$${\displaystyle r={\frac {r_{p}(1+e)}{1+e\cos \nu }}\,}$$

p の別の表現を代入すると、a の別の表現も得られます (これは双曲線に対して定義されますが、長半径を表しません)。これにより、同様に任意の離心率で使用できる速度対半径の式が得られます。 $${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1-e^{2}}{r_{p}(1+e)}}\right)}}\,}$$

軌道飛行で示されている飛行経路角度と異常度と時間の方程式は、双曲線軌道にも使用できます。

惑星の相対的な位置は常に変化するため、ミッションに必要な速度変化は時間とともに大きく変化します。そのため、最適な打ち上げ時期は、出発時間と到着時間に対して特性エネルギー ( v _∞ ² ) の等高線をプロットしたポークチョップ プロットの結果から選択されることがよくあります。

機体の制御された突入、降下、着陸は、抗力による空気加熱によって余分な運動エネルギーを放出することによって達成されますが、これには何らかの熱シールドや逆方向推力が必要です。最終降下は通常、パラシュートや空気ブレーキによって達成されます。

宇宙船は飛行時間のほとんどを宇宙空間の真空中で無動力で惰性飛行して過ごすため、大気圏内飛行中に揚力と抗力を制御する場合と、動力飛行中に推力ベクトルを合わせる場合を除いて、姿勢（向き）によって飛行軌道が決定されないという点で航空機とは異なります。それでも、天体観測、通信、または太陽光発電の目的で宇宙船を一定の向きに保つため、または受動的な熱制御のために宇宙船を制御されたスピン状態にするため、または宇宙船内に人工重力を作り出すために、無動力飛行中でも姿勢 制御が維持されることがよくあります。

姿勢制御は、慣性参照フレームまたは別のエンティティ（天球、特定のフィールド、近くのオブジェクトなど）を基準にして維持されます。機体の姿勢は、ロール、ピッチ、ヨーと呼ばれる、互いに垂直な 3 つの回転軸に対する角度で表されます。向きは、基準となる星または太陽に対する角度を決定するなどの外部誘導システムを使用した較正によって決定され、その後、機械式または光学式ジャイロスコープの慣性システムを使用して内部で監視されます。向きは、瞬間的な方向の 3 つの角度と、3 つの回転軸すべてにおける瞬間的なロール速度によって表されるベクトル量です。制御の側面は、瞬間的な向きとロール速度を認識することと、反応制御システムまたはその他の手段を使用してロール速度を変更して新しい向きをとる能力の両方を意味します。

ニュートンの第2法則を直線運動ではなく回転運動に適用すると次のようになります。^[33] ここで、は車両に作用する回転軸周りの正味トルク、 I _xはその軸周りの慣性モーメント（質量と軸周りの分布を組み合わせた物理的特性）、はラジアン/秒/秒で表したその軸周りの角加速度です。したがって、加速度は度/秒/秒で表されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{x}=I_{x}{\boldsymbol {\alpha }}_{x},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{x}}$${\displaystyle \alpha _{x}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{x}={\tfrac {180}{\pi }}{\boldsymbol {\tau }}_{x}/I_{x},}$$

直線運動と同様に、角回転速度（度/秒）は、 α を時間に対して 積分することによって得られます。 角回転は、速度の時間積分です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{x}}$$${\displaystyle {\omega _{x}}=\int _{t_{0}}^{t}{\alpha _{x}}dt}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{x}}$$${\displaystyle \theta _{x}=\int _{t_{0}}^{t}{\omega _{x}}dt}$$

ロール、ピッチ、ヨー軸の周りの3 つの主な慣性モーメントI _x、I _y、I _{z は、車両の}質量中心によって決まります。

打ち上げロケットの制御トルクは、可動フィンによって空気力学的に提供される場合があり、通常はエンジンをジンバルに取り付けて推力を質量中心の周りに方向付けることによって提供されます。トルクは、空気力学的な力が存在しない状態で稼働する宇宙船に、反応制御システム、つまりロケットの周囲に配置された一連のスラスタによって頻繁に適用されます。スラスタは、手動または自動誘導制御によって短時間噴射され、目的の回転速度を達成した後、反対方向に噴射されて目的の位置で回転を停止します。特定の軸の周りのトルクは、次の式で表されます。r は質量中心からの距離、F は個々のスラスタの推力です ( rに垂直なFの成分のみが含まれます)。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}),}$$

推進剤の消費が問題となる状況（長期滞在衛星や宇宙ステーションなど）では、リアクションホイール^[34]や制御モーメントジャイロスコープ^[35]などの代替手段を使用して制御トルクを供給することができます。

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