ロケットの運動を記述する数式
有効排気速度 比 の関数としての ロケットの必要 質量比 古典 ロケット方程式 、または 理想ロケット方程式は、 ロケット の基本原理に従う乗り物の運動を記述する数式である。ロケットの基本原理とは、 質量の一部を高速で放出することで 推力 を使って加速を加え、 運動量保存則 により移動できる 装置である 。この方程式は コンスタンチン・ツィオルコフスキー が独立に導出し、1903年に発表したとされているが、 [1] [2] ウィリアム・ムーア が1810年に独立に導出し発表し 、 [3] 後に1813年に別の本で発表した。 [4] ロバート・ゴダード も1912年に独立してこの方程式を開発し、 ヘルマン・オーベルト も1920年頃に独立してこの方程式を導出した。
車両の 速度 の最大変化 （外部力が作用していない場合）は次のとおりです。
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
Δ
v
=
v
e
ln
m
0
m
f
=
I
sp
g
0
ln
m
0
m
f
,
{\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}
どこ：
v
e
=
I
sp
g
0
{\displaystyle v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}g_{0}}
有効排気速度 です 。
I
sp
{\displaystyle I_{\text{sp}}}
時間の次元における 特定のインパルス です。
g
0
{\displaystyle g_{0}}
標準重力 です 。
ln
{\displaystyle \ln }
自然対数 関数です 。
m
0
{\displaystyle m_{0}}
推進剤 を含む初期の総質量 （湿質量とも呼ばれます）です。
m
f
{\displaystyle m_{f}}
推進剤を含まない最終的な総質量、つまり乾燥質量です。 ロケットモーターの設計によって決まる有効排気速度、望ましいデルタv（例えば、 軌道速度 または 脱出速度 ）、および与えられた乾燥質量が与えられると 、必要な推進剤の質量を求める方程式を解くことができます 。
m
f
{\displaystyle m_{f}}
m
0
−
m
f
{\displaystyle m_{0}-m_{f}}
m
0
=
m
f
e
Δ
v
/
v
e
.
{\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.}
必要な湿質量は、望ましいデルタ v とともに指数関数的に増加します。
歴史 この方程式は、この方程式を独立に導き出し、1903年の論文で発表したロシアの科学者 コンスタンチン・ツィオルコフスキー にちなんで名付けられました。 [5] [2]
この方程式は1810年にイギリスの数学者 ウィリアム・ムーア によって導かれ、 [3] 後に1813年に別の本として出版されました。 [4]
アメリカ人の ロバート・ゴダードは 、1912 年に宇宙飛行を可能にするロケット エンジンの改良に関する研究を開始したときに、独自にこの方程式を開発しました。ドイツのエンジニアである ヘルマン・オーベルトは 、1920 年頃に宇宙旅行の実現可能性を研究していたときに、独自にこの方程式を導き出しました。
ロケット方程式の導出は単純な 微積分演習であるが、ツィオルコフスキーはそれをロケットが 宇宙旅行 に必要な速度を達成できるかどうかという疑問に初めて適用した人物として称賛されている 。
ツィオルコフスキーの「ボートの実験」
ロケット推進の原理を理解するために、コンスタンチン・ツィオルコフスキーは「ボート」の有名な実験を提案しました。ある人がオールを持たずに岸から離れたボートに乗っています。その人は岸にたどり着きたいと思っています。その人はボートに一定量の石が積まれていることに気づき、これらの石を岸とは反対の方向に 1 つずつ、できるだけ速く投げることを思いつきます。実際、ある方向に投げられた石の移動量は、反対方向のボートの移動量に等しくなります (摩擦/抗力は無視します)。
導出
最も人気のある派生語 次のシステムを考えてみましょう。
ツィオルコフスキーの理論上のロケット（t = 0 から t = delta_t まで） 以下の派生語では、「ロケット」は「ロケットとその未使用の推進剤すべて」を意味します。
ニュートンの運動の第二法則は、 外力 ( ) とシステム全体 (ロケットと排気を含む) の線形運動量の変化を次のように関連付けています。
ここでは、 時刻 におけるロケットの運動量です 。
また、ここでは 、時刻 におけるロケットと排気された質量の運動量です 。
また、観測者に関して、次のようになります。
F
→
i
{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}
∑
i
F
→
i
=
lim
Δ
t
→
0
P
→
Δ
t
−
P
→
0
Δ
t
{\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}}
P
→
0
{\displaystyle {\vec {P}}_{0}}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
P
→
0
=
m
V
→
{\displaystyle {\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}}
P
→
Δ
t
{\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}}
t
=
Δ
t
{\displaystyle t=\Delta t}
P
→
Δ
t
=
(
m
−
Δ
m
)
(
V
→
+
Δ
V
→
)
+
Δ
m
V
→
e
{\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}}
V
→
{\displaystyle {\vec {V}}}
ロケットの速度は
t
=
0
{\displaystyle t=0}
V
→
+
Δ
V
→
{\displaystyle {\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}}
ロケットの速度は
t
=
Δ
t
{\displaystyle t=\Delta t}
V
→
e
{\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}
排気ガスに加えられた質量（そしてロケットによって失われた質量）の速度である。
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
m
{\displaystyle m}
その時のロケットの質量は
t
=
0
{\displaystyle t=0}
(
m
−
Δ
m
)
{\displaystyle \left(m-\Delta m\right)}
その時のロケットの質量は
t
=
Δ
t
{\displaystyle t=\Delta t}
観測フレームにおける排気速度は、 ロケットフレームにおける排気速度と 次の式で関係付けられます。
したがって、
これを解くと次の式が得られます。
および が 反対で、と 同じ方向を持ち 、 は無視できます ( のため )。また、 を使用すると (正の を排出すると、 時間の経過とともにロケットの質量が減少するため)、
V
→
e
{\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}}
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
v
→
e
=
V
→
e
−
V
→
{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}}
V
→
e
=
V
→
+
v
→
e
{\displaystyle {\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}}
P
→
Δ
t
−
P
→
0
=
m
Δ
V
→
+
v
→
e
Δ
m
−
Δ
m
Δ
V
→
{\displaystyle {\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}}
V
→
{\displaystyle {\vec {V}}}
v
→
e
{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{e}}}
F
→
i
{\displaystyle {\vec {F}}_{\text{i}}}
V
→
{\displaystyle {\vec {V}}}
Δ
m
Δ
V
→
{\displaystyle \Delta m\Delta {\vec {V}}}
d
m
d
v
→
→
0
{\displaystyle dm\,d{\vec {v}}\to 0}
d
m
=
−
Δ
m
{\displaystyle dm=-\Delta m}
Δ
m
{\displaystyle \Delta m}
∑
i
F
i
=
m
d
V
d
t
+
v
e
d
m
d
t
{\displaystyle \sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}
外力がなければ （ 線形運動量保存則 ）
∑
i
F
i
=
0
{\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}
−
m
d
V
d
t
=
v
e
d
m
d
t
{\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}
が定数であると仮定すると （ツィオルコフスキーの仮説 [2] として知られている）、積分の対象にはならないので、上記の式は次のように積分できる。
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
−
∫
V
V
+
Δ
V
d
V
=
v
e
∫
m
0
m
f
d
m
m
{\displaystyle -\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}}
これにより、
または同等の
または
または
が得られます。
ここで は、 推進剤を含む初期の全質量、 最終質量、および ロケットに対するロケット排気の速度 ( 比推力、または時間で測定される場合は、それに地球上の 重力 加速度 を乗じた値) です。 が定数でない場合、上記の形式ほど単純なロケット方程式は得られない可能性があります。多くのロケット力学研究は、ツィオルコフスキー定数仮説に基づいています 。
Δ
V
=
v
e
ln
m
0
m
f
{\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}
m
f
=
m
0
e
−
Δ
V
/
v
e
{\displaystyle m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}
m
0
=
m
f
e
Δ
V
/
v
e
{\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}
m
0
−
m
f
=
m
f
(
e
Δ
V
/
v
e
−
1
)
{\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}
m
0
{\displaystyle m_{0}}
m
f
{\displaystyle m_{f}}
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
この値は消費された推進剤の 総 作業質量 です。
m
0
−
m
f
{\displaystyle m_{0}-m_{f}}
Δ
V
{\displaystyle \Delta V}
( デルタ v ) は、ロケット エンジンを使用することで生成される加速度の大きさ (外部の力がない場合は実際の加速度) を時間で積分したものです。自由空間では、速度の方向への加速の場合、これは速度の増加です。反対方向への加速 (減速) の場合、これは速度の減少です。もちろん、重力と抗力も車両を加速し、車両が経験する速度の変化に加算または減算する可能性があります。したがって、デルタ v は必ずしも車両の実際の速度の変化または速度とは限りません。
その他の派生
衝動に基づく この方程式は、質量に対する力（推力）の形で加速度の基本積分から導くこともできます。デルタ v 方程式を次のように表します。
Δ
v
=
∫
t
0
t
f
|
T
|
m
0
−
t
Δ
m
d
t
{\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt}
ここで、Tは推力、 は初期（湿潤）質量、は 初期質量から最終（乾燥）質量を引いた値である。
m
0
{\displaystyle m_{0}}
Δ
m
{\displaystyle \Delta m}
そして、推力のみが関与する力であると仮定すると、合力の積分が時間とともに全力積分となることを理解し、
∫
t
0
t
f
F
d
t
=
J
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J}
積分は次のようになります。
J
ln
(
m
0
)
−
ln
(
m
f
)
Δ
m
{\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}}
質量変化に対する衝撃は推進剤の質量流量（p）に対する力に等しく、推進剤の質量流量自体は排気速度に等しいことを理解すると、
積分は次の式で表される。
J
Δ
m
=
F
p
=
V
exh
{\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}}
Δ
v
=
V
exh
ln
(
m
0
m
f
)
{\displaystyle \Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)}
加速ベース 宇宙空間で静止し、力が加わっていないロケットを想像してください ( ニュートンの運動の第一法則 )。エンジンが始動した瞬間 (時計を 0 に設定) から、ロケットは 一定の質量流量 R (kg/s) で、 ロケットに対する排気速度 v e (m/s) でガス質量を排出します。これにより、ロケットを推進する 一定の力 F が生成され、これは R × v e に等しくなります。ロケットは一定の力を受けますが、ガスを排出しているため、その総質量は着実に減少しています。ニュートンの運動の第二法則 によれば 、任意の時刻 t におけるロケットの加速度は、推進力 F を 現在の質量 m で割った値になります。
a
=
d
v
d
t
=
−
F
m
(
t
)
=
−
R
v
e
m
(
t
)
{\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}}
ここで、ロケットに最初に搭載されている燃料の質量は、 m 0 – m f に等しい。したがって、質量流量 R が一定であれば、この燃料をすべて燃焼させるには、 T = ( m 0 – m f )/ R の 時間がかかる。方程式の両辺を 0から T までの 時間について積分すると( R = dm/dt なので 右側で代入できる)、次の式が得られる。
Δ
v
=
v
f
−
v
0
=
−
v
e
[
ln
m
f
−
ln
m
0
]
=
v
e
ln
(
m
0
m
f
)
.
{\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}
有限質量の「ペレット」排出の限界 ロケット方程式は、燃料をペレット の形で連続的に噴射するロケットの速度変化の極限ケースとして導くこともできます。この場合 、有効排気速度は、 単位燃料質量あたりに得られる機械的エネルギーが で与えられることになります 。
N
{\displaystyle N}
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
v
eff
{\displaystyle v_{\text{eff}}}
1
2
v
eff
2
{\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}
ロケットの重心系において、質量のペレットが 速度で発射され 、ロケットの残りの質量が である場合 、ロケットとペレットの運動エネルギーを増加させるために変換されるエネルギーの量は
m
p
{\displaystyle m_{p}}
u
{\displaystyle u}
m
{\displaystyle m}
1
2
m
p
v
eff
2
=
1
2
m
p
u
2
+
1
2
m
(
Δ
v
)
2
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.}
ロケット発射直前のフレームにおける運動量保存則を用いる と
、
u
=
Δ
v
m
m
p
{\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}
Δ
v
=
v
eff
m
p
m
(
m
+
m
p
)
.
{\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.}
をロケットに搭載された燃料の初期質量分率、を ロケットに燃料を充填した際の初期質量とする。燃料の総質量を質量 の個別のペレットに分割する 。 ペレット を 排出した後のロケットの残りの質量 は となる 。ペレットを排出した後の全体的な速度変化は、 合計
[6]となる。
ϕ
{\displaystyle \phi }
m
0
{\displaystyle m_{0}}
ϕ
m
0
{\displaystyle \phi m_{0}}
N
{\displaystyle N}
m
p
=
ϕ
m
0
/
N
{\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}
j
{\displaystyle j}
m
=
m
0
(
1
−
j
ϕ
/
N
)
{\displaystyle m=m_{0}(1-j\phi /N)}
j
{\displaystyle j}
Δ
v
=
v
eff
∑
j
=
1
j
=
N
ϕ
/
N
(
1
−
j
ϕ
/
N
)
(
1
−
j
ϕ
/
N
+
ϕ
/
N
)
{\displaystyle \Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}}
大きい場合、 分母の最後の項とを無視して、 および を 与えることができることに
注意してください 。
N
{\displaystyle N}
ϕ
/
N
≪
1
{\displaystyle \phi /N\ll 1}
Δ
v
≈
v
eff
∑
j
=
1
j
=
N
ϕ
/
N
1
−
j
ϕ
/
N
=
v
eff
∑
j
=
1
j
=
N
Δ
x
1
−
x
j
{\displaystyle \Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}}
Δ
x
=
ϕ
N
{\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}
x
j
=
j
ϕ
N
{\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}
ロケットの最終的な残りの質量は なので、 この リーマン 和は 定積分になります
。
N
→
∞
{\displaystyle N\rightarrow \infty }
lim
N
→
∞
Δ
v
=
v
eff
∫
0
ϕ
d
x
1
−
x
=
v
eff
ln
1
1
−
ϕ
=
v
eff
ln
m
0
m
f
,
{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}
m
f
=
m
0
(
1
−
ϕ
)
{\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}
特殊相対性理論 特殊相対性理論 を考慮に入れると、 相対論的ロケット に対して次の式を導くことができる 。 [7] ここで は、ロケットが 静止状態（燃料を含む静止質量は最初は ）で始動した 慣性系における ロケットの最終速度（反応質量をすべて放出し、静止質量 に減少した後 ）を表し 、 は真空中の 光速 を表す 。
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
0
{\displaystyle m_{0}}
c
{\displaystyle c}
m
0
m
1
=
[
1
+
Δ
v
c
1
−
Δ
v
c
]
c
2
v
e
{\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}
と 書くと、 この式は次のように変形できる。
m
0
m
1
{\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}
R
{\displaystyle R}
Δ
v
c
=
R
2
v
e
c
−
1
R
2
v
e
c
+
1
{\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}}
そして、 恒等式 （ここで「exp」は 指数関数 を表します。 自然対数 と対数 恒等式の「べき乗」恒等式 も参照 ）と恒等式 （ 双曲関数を 参照 ）を使用すると、これは次式と等しくなります。
R
2
v
e
c
=
exp
[
2
v
e
c
ln
R
]
{\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}
tanh
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
Δ
v
=
c
tanh
(
v
e
c
ln
m
0
m
1
)
{\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}
方程式の項
デルタ- ヴ デルタ v (文字通り「 速度 の 変化 」) は、 宇宙船の飛行力学 で使用される場合、 Δ v と表記され、 デルタ-ヴィーと発音され、惑星や月からの発射、惑星や月への着陸、または宇宙空間での 軌道操作 などの操作を実行するために必要な 力積 の尺度です。これは 速度 の単位を持つ スカラー です 。この文脈で使用される場合、 車両の
速度の物理的な変化 とは異なります 。
デルタ v は、 ロケット エンジン などの反動エンジンによって生成され、単位質量あたりの 推力 と燃焼時間に比例し、 ロケット方程式を通じて特定の操作に必要な
推進剤 の質量を決定するために使用されます。
複数の操作の場合、デルタ v は 線形に合計されます。
惑星間ミッションの場合、デルタ v は 、必要なミッション デルタ v を 打ち上げ日の関数として
表示する ポークチョップ プロット 上にプロットされることがよくあります。
質量分率 航空宇宙工学 において 、推進剤の質量分率は、目的地に到達しない乗り物の質量の部分であり、通常は乗り物の性能の尺度として使用されます。言い換えれば、推進剤の質量分率は、推進剤の質量と乗り物の初期質量の比率です。宇宙船の場合、目的地は通常軌道ですが、航空機の場合は着陸地点です。質量分率が高いほど、設計上の重量が軽いことを表します。もう 1 つの関連する尺度は、 ペイロード分率 で、これは初期重量のうちペイロードが占める割合です。
有効排気速度 有効排気速度は、多くの場合、 特定の推力 として指定され、それらは
次
のように相互に関連しています。
v
e
=
g
0
I
sp
,
{\displaystyle v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},}
I
sp
{\displaystyle I_{\text{sp}}}
秒単位の比推力です。
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
はm/s で測定される比推力であり、m/s（gがft/s 2 の場合はft/s）で測定される有効排気速度と同じである 。
g
0
{\displaystyle g_{0}}
標準重力 は9.80665 m/s 2 （ ヤードポンド法 では32.174 ft/s 2 ）です 。
適用範囲 ロケット方程式は、ロケット飛行物理学の本質を 1 つの短い方程式にまとめたものです。また、有効排気速度が一定であれば、ロケットのような反動体にも当てはまり、有効排気速度が変化する場合は合計または積分できます。ロケット方程式は、ロケット エンジンからの反動力のみを考慮します。 空気力 や 重力 など、ロケットに作用する可能性のある他の力は考慮しません。そのため、大気圏のある惑星からの打ち上げ (または惑星への動力降下) に必要な推進剤を計算するためにこの方程式を使用する場合、これらの力の影響をデルタ V 要件に含める必要があります (以下の例を参照)。いわゆる「ロケット方程式の暴政」では、ロケットが運ぶことができる ペイロード の量には制限があり、推進剤の量が増えると全体の重量が増加し、燃料消費も増加します。 [8]この式は、 エアロブレーキ 、 銃砲発射 、 宇宙エレベーター 、 打ち上げループ、 テザー推進 、 軽帆 など の ロケット以外のシステム には適用されません 。
ロケット方程式は、 特定の新しい軌道に変更するために必要な推進剤の量を決定するため、または特定の推進剤燃焼の結果としての新しい軌道を見つけるために、軌道操作に 適用できます。軌道操作に適用する場合、推進剤が放出され、デルタ v が瞬時に適用される 衝撃操作を 前提とします。この仮定は、中間コース修正や軌道投入操作などの短時間の燃焼では比較的正確です。燃焼時間が長くなると、操作期間中の車両に対する重力の影響により、結果の精度は低下します。 電気推進 などの低推力で長時間の推進の場合は、宇宙船の状態ベクトルの伝播と推力の積分に基づくより複雑な分析を使用して、軌道運動を予測します。
例 排気速度を毎秒 4,500 メートル (15,000 フィート/秒)、 を 毎秒 9,700 メートル (32,000 フィート/秒) (地球から LEO まで、 重力と空気抵抗を克服するため) と想定します。
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
単段式軌道 ロケット: = 0.884、したがって、初期総質量の 88.4% は推進剤である必要があります。残りの 11.6% は、エンジン、タンク、およびペイロード用です。
1
−
e
−
9.7
/
4.5
{\displaystyle 1-e^{-9.7/4.5}}
2 段式軌道投入 : 第 1 段が 5,000 メートル/秒 (16,000 フィート/秒) の推進力を提供すると仮定します。 = 0.671 であるため、最初の総質量の 67.1% が第 1 段の推進剤となります。残りの質量は 32.9% です。第 1 段を処分した後、この 32.9% から第 1 段のタンクとエンジンの質量を引いた質量が残ります。これが最初の総質量の 8% だとすると、24.9% が残ります。第 2 段は 4,700 メートル/秒 (15,000 フィート/秒) の推進力を提供すると仮定します。 = 0.648 なので、残りの質量の 64.8% は推進剤、つまり元の総質量の 16.2% に相当し、8.7% は第 2 段のタンクとエンジン、ペイロード、そしてスペース シャトルの場合はオービターに使用されます。したがって、 エンジン、タンク、ペイロード すべてを合わせると、元の打ち上げ質量の 16.7% が使用可能になります。
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
1
−
e
−
5.0
/
4.5
{\displaystyle 1-e^{-5.0/4.5}}
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
1
−
e
−
4.7
/
4.5
{\displaystyle 1-e^{-4.7/4.5}}
ステージ 連続的に推進するロケット段 の場合 、各段に式が適用されます。各段の式の初期質量は、前の段を廃棄した後のロケットの総質量であり、式の最終質量は、当該段を廃棄する直前のロケットの総質量です。各段の比推力は異なる場合があります。
例えば、ロケットの質量の80%が第1段の燃料で、10%が第1段の乾燥質量、残りの10%がロケットの質量だとすると、
Δ
v
=
v
e
ln
100
100
−
80
=
v
e
ln
5
=
1.61
v
e
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}}
3 つの類似した、その後に小さくなるステージがあり、 各ステージが同じである場合、次のようになります。
v
e
{\displaystyle v_{\text{e}}}
Δ
v
=
3
v
e
ln
5
=
4.83
v
e
{\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}
ペイロードは初期質量の 10% × 10% × 10% = 0.1% になります。
同等の SSTO ロケットも0.1%のペイロードを搭載しており、燃料タンクとエンジンの質量が11.1%、燃料が88.8%となる。
Δ
v
=
v
e
ln
(
100
/
11.2
)
=
2.19
v
e
.
{\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.}
前のステージが廃棄される前に新しいステージのモーターが点火され、同時に作動するモーターが異なる比推力を持つ場合（固体ロケットブースターと液体燃料ステージの場合によくあるケース）、状況はさらに複雑になります。
参照
宇宙飛行ポータル
参考文献
^ К。 Ціолковскій、Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами、1903年 (オンラインで入手可能。2011 年 8 月 15 日に ウェイバック マシンで RAR 形式の PDFで アーカイブ ) ^ abc Tsiolkovsky, K. 「反応型飛行機械」 （PDF） 。 ^ abムーア、ウィリアム (1810)。 「 非抵抗媒体と抵抗媒体の両方におけるロケットの運動について」 自然哲学、化学、芸術ジャーナル 。27 : 276–285。 ^ ab ムーア、ウィリアム (1813)。ロケットの運動に関する論文: これに海軍砲術の理論と実践に関する論文などが加えられている。G. & S. ロビンソン。 ^ К。 Ціолковскій、Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами、1903年 (オンラインで入手可能。2011 年 8 月 15 日に ウェイバック マシンで RAR 形式の PDFで アーカイブ ) ^ Blanco, Philip (2019年11月). 「ロケット推進への離散的かつエネルギー的なアプローチ」. 物理教育 . 54 (6): 065001. Bibcode :2019PhyEd..54f5001B. doi :10.1088/1361-6552/ab315b. S2CID 202130640. ^ ロバート L. フォワード「相対論的ロケット方程式の透明な導出」（最終ページの方程式 15 の右側を参照。R は 初期 質量と最終質量の比、w は排気速度で、この記事の表記法の v e に相当） ^ 「ロケット方程式の暴政」 NASA.gov 。2022年3月6日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2016年4月18日 閲覧。
外部リンク ロケット方程式の導出方法 相対性理論計算機 – ツィオルコフスキーのロケット方程式を学ぶ WolframAlpha の Tsiolkovsky のロケット方程式のグラフと計算機
![{\displaystyle ~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b3f9376e3f80de022939656d53c9fdb0f5a881)
![{\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506b68f3ef6f9d1d236a2f4ab7bfbf995189b937)
![{\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed86ee6ab335e3c73886168248dbc1443e0b40)
